胡磊

以三角函數(shù)為背景的創(chuàng)新題，試題情境新穎、構思精巧、解法靈活，顯示了數(shù)學的活力和魅力.下面剖析這類三角函數(shù)問題的創(chuàng)新題.

一、信息遷移型

信息遷移題指的是不便于直接運用所學數(shù)學知識解決問題，而需要從所給材料中獲取信息，并用于新問題解決的一類問題.這一類問題，往往出現(xiàn)在一個較新的背景之下，題型新穎，形式多樣，融綜合性、應用性、開放性、創(chuàng)新性于一體.信息遷移型題可分為定義信息型、圖表信息型、圖形圖象信息型等.

例1（2014·福建模擬）定義一種運算S=ab，在框圖所表達的算法中揭示了這種運算“”的含義.那么，按照運算“”的含義，計算tan15°tan30°+tan30°tan15°=.

分析：先由tan45°=tan（15°+30°），利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡，整理后得到tan15°+tan30°=1-tan15°tan30°，然后根據(jù)題中的選擇結構將所求式子的新定義運算轉化為普通運算，整理后將tan15°+tan30°=1-tan15°tan30°代入，即可求出值.

解析：∵tan45°=tan（15°+30°）=tan15°+tan30°1-tan15°·tan30°=1，∴tan15°+tan30°=1-tan15°tan30°，

根據(jù)題意得：tan15°tan30°+tan30°tan15°

=tan15°tan30°+tan15°+tan30°

=tan15°tan30°+1-tan15°tan30°

=1.故答案為：1

點評：此題考查了兩角和與差的正切函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，利用了整體代入的思想，屬于新定義的題型，理解本題的選擇結構是解本題的關鍵.

例2常數(shù)e=2.71828…，定義函數(shù)f（x）=ex-e-x2為雙曲正弦函數(shù)，記為sinhx，定義函數(shù)g（x）=ex+e-x2為雙曲余弦函數(shù)，記為coshx.則以下三個命題正確的是.（只需填正確命題序號）.

（1）cosh（x+y）=coshx·coshy-sinhx·sinhy；

（2）sinh（x+y）=sinhx·coshy+coshx·sinhy；

（3）（sinhx）2-（coshx）2=1.

分析：根據(jù)題中的新定義分別表示出題目所求式子，利用同底數(shù)冪的乘法法則及多項式的乘法則即可作出判斷.

解析：（1）cosh（x+y）=ex+y+e-（x+y）2，

coshx·coshy-sinhx·sinhy=ex+e-x2·ey+e-y2-ex-e-x2·ey-e-y2=ex-y+ey-x2，

∴cosh（x+y）≠coshx·coshy-sinhx·sinhy，故本選項錯誤；

（2）sinh（x+y）=ex+y-e-（y+x）2，

sinhx·coshy+coshx·sinhy=ex-e-x2·ey+e-y2+ex+e-x2·ey-e-y2=ex+y-e-（y+x）2，故本選項正確；

（3）（sinhx）2-（coshx）2=（ex-e-x2）2-（ex+e-x2）2=-1≠1，

故本選項錯誤，則三個命題正確的是（2）.故答案為：（2）

點評：此題考查了新定義的理解，解答此類題要切實對題中的新定義加以正確的理解，這樣才能對新定義下的運算熟練運用，注意新定義下對普通運算不一定成立，比如本題（1）對于兩角和與差的余弦函數(shù)公式不成立，靈活運用題中的新定義是解本題的關鍵.

二、入手基礎，深挖概念內涵

例3如圖，直線與圓x2+y2=1分別在第一和第二象限內交于P1，P2兩點，若點P1的橫坐標為35，∠P1OP2=π3，則點P2的橫坐標為.

分析：利用圓的方程與點P1的橫坐標，求出∠xOP1的正弦值與余弦值，通過兩角和的三角函數(shù)公式求出P2的橫坐標即可.

解析：因為直線與圓x2+y2=1分別在第一和第二象限內交于P1，P2兩點，若點P1的橫坐標為35，所以cos∠xOP1=35，sin∠xOP1=45，又∠P1OP2=π3，

所以cos（∠xOP1+π3）=cos∠xOP1cosπ3-sin∠xOP1sinπ3

=35×12-45×32

=3-4310.

所以P2的橫坐標為：3-4310.

故答案為：3-4310.

點評：本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，考查計算能力.

三、綜合交匯

高考三角函數(shù)的考題在高考中?？汲Ｐ拢羌瓤贾R又考能力的好題型，在高考備考中有較高的訓練價值，同時這類問題在高考中頻頻出現(xiàn)，是歷年高考試題中不容忽視的一個考點.

例4已知m=（2sinx，2cosx），n=（3cosx，cosx），f（x）=m·n-1.

（1）求函數(shù)y=f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間；

（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標先縮短到原來的13，把所得到的圖象再向右平移π12單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[0，π12]上的最大值.

分析：利用兩個向量的數(shù)量積公式，三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式，再利用函數(shù)的性質求解.

解析：（1）因為f（x）=23sinx·cosx+2cos2x-1=3sin2x+cos2x=2sin（2x+π6），∴函數(shù)f（x）的最小正周期為T=π.又由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2（k∈Z），可得kπ-π3≤x≤kπ+π6（k∈Z），∴f（x）的單調遞增區(qū)間為每一個[kπ-π3，kπ+π6]（k∈Z）.

（2）根據(jù)條件得g（x）=2sin[6（x-π12）+π6]=2sin（6x-π3），當x∈[0，π12]時，6x-π3∈[-π3，π6]，-32≤sin（6x-π3）≤12，所以當x=π12時，g（x）max=1.

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，三角函數(shù)的周期性的求法，正弦函數(shù)的單調性、定義域和值域，函數(shù)y=Asin（ωx+θ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題.

四、探索性問題

給出了題目的結論，但沒有給出滿足結論的條件，并且這類條件常常是不唯一的，一般是從結論出發(fā)去判斷，并通過推理予以確認.

例5已知函數(shù)f（x）=sin（2x+θ）+3cos（2x+θ）（x∈R）滿足2014f（-x）=12014f（x），且f（x）在[0，π4]上是減函數(shù)，則θ的一個可能值是.

分析：利用三角恒等變換可求得f（x）=2sin（2x+θ+π3），2014f（-x）=12014f（x）f（-x）=-f（x），于是可得θ=kπ-π3（k∈Z），再由f（x）在[0，π4]上是減函數(shù)，即可求得答案.

解析：∵f（x）=sin（2x+θ）+3cos（2x+θ）=2sin（2x+θ+π3），又2014f（-x）=12014f（x），∴f（-x）=-f（x），∴f（x）=2sin（2x+θ+π3）為奇函數(shù)，∴θ+π3=kπ（k∈Z），∴θ=kπ-π3（k∈Z）.又f（x）在[0，π4]上是減函數(shù)，∴k為奇數(shù)，當k=1時，θ=π-π3=2π3，符合題意.本題答案不唯一.

點評：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)公式，著重考查函數(shù)的奇偶性與單調性的綜合應用，屬于中檔題.endprint

以三角函數(shù)為背景的創(chuàng)新題，試題情境新穎、構思精巧、解法靈活，顯示了數(shù)學的活力和魅力.下面剖析這類三角函數(shù)問題的創(chuàng)新題.

一、信息遷移型

信息遷移題指的是不便于直接運用所學數(shù)學知識解決問題，而需要從所給材料中獲取信息，并用于新問題解決的一類問題.這一類問題，往往出現(xiàn)在一個較新的背景之下，題型新穎，形式多樣，融綜合性、應用性、開放性、創(chuàng)新性于一體.信息遷移型題可分為定義信息型、圖表信息型、圖形圖象信息型等.

例1（2014·福建模擬）定義一種運算S=ab，在框圖所表達的算法中揭示了這種運算“”的含義.那么，按照運算“”的含義，計算tan15°tan30°+tan30°tan15°=.

分析：先由tan45°=tan（15°+30°），利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡，整理后得到tan15°+tan30°=1-tan15°tan30°，然后根據(jù)題中的選擇結構將所求式子的新定義運算轉化為普通運算，整理后將tan15°+tan30°=1-tan15°tan30°代入，即可求出值.

解析：∵tan45°=tan（15°+30°）=tan15°+tan30°1-tan15°·tan30°=1，∴tan15°+tan30°=1-tan15°tan30°，

根據(jù)題意得：tan15°tan30°+tan30°tan15°

=tan15°tan30°+tan15°+tan30°

=tan15°tan30°+1-tan15°tan30°

=1.故答案為：1

點評：此題考查了兩角和與差的正切函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，利用了整體代入的思想，屬于新定義的題型，理解本題的選擇結構是解本題的關鍵.

例2常數(shù)e=2.71828…，定義函數(shù)f（x）=ex-e-x2為雙曲正弦函數(shù)，記為sinhx，定義函數(shù)g（x）=ex+e-x2為雙曲余弦函數(shù)，記為coshx.則以下三個命題正確的是.（只需填正確命題序號）.

（1）cosh（x+y）=coshx·coshy-sinhx·sinhy；

（2）sinh（x+y）=sinhx·coshy+coshx·sinhy；

（3）（sinhx）2-（coshx）2=1.

分析：根據(jù)題中的新定義分別表示出題目所求式子，利用同底數(shù)冪的乘法法則及多項式的乘法則即可作出判斷.

解析：（1）cosh（x+y）=ex+y+e-（x+y）2，

coshx·coshy-sinhx·sinhy=ex+e-x2·ey+e-y2-ex-e-x2·ey-e-y2=ex-y+ey-x2，

∴cosh（x+y）≠coshx·coshy-sinhx·sinhy，故本選項錯誤；

（2）sinh（x+y）=ex+y-e-（y+x）2，

sinhx·coshy+coshx·sinhy=ex-e-x2·ey+e-y2+ex+e-x2·ey-e-y2=ex+y-e-（y+x）2，故本選項正確；

（3）（sinhx）2-（coshx）2=（ex-e-x2）2-（ex+e-x2）2=-1≠1，

故本選項錯誤，則三個命題正確的是（2）.故答案為：（2）

點評：此題考查了新定義的理解，解答此類題要切實對題中的新定義加以正確的理解，這樣才能對新定義下的運算熟練運用，注意新定義下對普通運算不一定成立，比如本題（1）對于兩角和與差的余弦函數(shù)公式不成立，靈活運用題中的新定義是解本題的關鍵.

二、入手基礎，深挖概念內涵

例3如圖，直線與圓x2+y2=1分別在第一和第二象限內交于P1，P2兩點，若點P1的橫坐標為35，∠P1OP2=π3，則點P2的橫坐標為.

分析：利用圓的方程與點P1的橫坐標，求出∠xOP1的正弦值與余弦值，通過兩角和的三角函數(shù)公式求出P2的橫坐標即可.

解析：因為直線與圓x2+y2=1分別在第一和第二象限內交于P1，P2兩點，若點P1的橫坐標為35，所以cos∠xOP1=35，sin∠xOP1=45，又∠P1OP2=π3，

所以cos（∠xOP1+π3）=cos∠xOP1cosπ3-sin∠xOP1sinπ3

=35×12-45×32

=3-4310.

所以P2的橫坐標為：3-4310.

故答案為：3-4310.

點評：本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，考查計算能力.

三、綜合交匯

高考三角函數(shù)的考題在高考中?？汲Ｐ拢羌瓤贾R又考能力的好題型，在高考備考中有較高的訓練價值，同時這類問題在高考中頻頻出現(xiàn)，是歷年高考試題中不容忽視的一個考點.

例4已知m=（2sinx，2cosx），n=（3cosx，cosx），f（x）=m·n-1.

（1）求函數(shù)y=f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間；

（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標先縮短到原來的13，把所得到的圖象再向右平移π12單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[0，π12]上的最大值.

分析：利用兩個向量的數(shù)量積公式，三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式，再利用函數(shù)的性質求解.

解析：（1）因為f（x）=23sinx·cosx+2cos2x-1=3sin2x+cos2x=2sin（2x+π6），∴函數(shù)f（x）的最小正周期為T=π.又由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2（k∈Z），可得kπ-π3≤x≤kπ+π6（k∈Z），∴f（x）的單調遞增區(qū)間為每一個[kπ-π3，kπ+π6]（k∈Z）.

（2）根據(jù)條件得g（x）=2sin[6（x-π12）+π6]=2sin（6x-π3），當x∈[0，π12]時，6x-π3∈[-π3，π6]，-32≤sin（6x-π3）≤12，所以當x=π12時，g（x）max=1.

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，三角函數(shù)的周期性的求法，正弦函數(shù)的單調性、定義域和值域，函數(shù)y=Asin（ωx+θ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題.

四、探索性問題

給出了題目的結論，但沒有給出滿足結論的條件，并且這類條件常常是不唯一的，一般是從結論出發(fā)去判斷，并通過推理予以確認.

例5已知函數(shù)f（x）=sin（2x+θ）+3cos（2x+θ）（x∈R）滿足2014f（-x）=12014f（x），且f（x）在[0，π4]上是減函數(shù)，則θ的一個可能值是.

分析：利用三角恒等變換可求得f（x）=2sin（2x+θ+π3），2014f（-x）=12014f（x）f（-x）=-f（x），于是可得θ=kπ-π3（k∈Z），再由f（x）在[0，π4]上是減函數(shù)，即可求得答案.

解析：∵f（x）=sin（2x+θ）+3cos（2x+θ）=2sin（2x+θ+π3），又2014f（-x）=12014f（x），∴f（-x）=-f（x），∴f（x）=2sin（2x+θ+π3）為奇函數(shù)，∴θ+π3=kπ（k∈Z），∴θ=kπ-π3（k∈Z）.又f（x）在[0，π4]上是減函數(shù)，∴k為奇數(shù)，當k=1時，θ=π-π3=2π3，符合題意.本題答案不唯一.

點評：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)公式，著重考查函數(shù)的奇偶性與單調性的綜合應用，屬于中檔題.endprint

以三角函數(shù)為背景的創(chuàng)新題，試題情境新穎、構思精巧、解法靈活，顯示了數(shù)學的活力和魅力.下面剖析這類三角函數(shù)問題的創(chuàng)新題.

一、信息遷移型

信息遷移題指的是不便于直接運用所學數(shù)學知識解決問題，而需要從所給材料中獲取信息，并用于新問題解決的一類問題.這一類問題，往往出現(xiàn)在一個較新的背景之下，題型新穎，形式多樣，融綜合性、應用性、開放性、創(chuàng)新性于一體.信息遷移型題可分為定義信息型、圖表信息型、圖形圖象信息型等.

例1（2014·福建模擬）定義一種運算S=ab，在框圖所表達的算法中揭示了這種運算“”的含義.那么，按照運算“”的含義，計算tan15°tan30°+tan30°tan15°=.

分析：先由tan45°=tan（15°+30°），利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡，整理后得到tan15°+tan30°=1-tan15°tan30°，然后根據(jù)題中的選擇結構將所求式子的新定義運算轉化為普通運算，整理后將tan15°+tan30°=1-tan15°tan30°代入，即可求出值.

解析：∵tan45°=tan（15°+30°）=tan15°+tan30°1-tan15°·tan30°=1，∴tan15°+tan30°=1-tan15°tan30°，

根據(jù)題意得：tan15°tan30°+tan30°tan15°

=tan15°tan30°+tan15°+tan30°

=tan15°tan30°+1-tan15°tan30°

=1.故答案為：1

點評：此題考查了兩角和與差的正切函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，利用了整體代入的思想，屬于新定義的題型，理解本題的選擇結構是解本題的關鍵.

例2常數(shù)e=2.71828…，定義函數(shù)f（x）=ex-e-x2為雙曲正弦函數(shù)，記為sinhx，定義函數(shù)g（x）=ex+e-x2為雙曲余弦函數(shù)，記為coshx.則以下三個命題正確的是.（只需填正確命題序號）.

（1）cosh（x+y）=coshx·coshy-sinhx·sinhy；

（2）sinh（x+y）=sinhx·coshy+coshx·sinhy；

（3）（sinhx）2-（coshx）2=1.

分析：根據(jù)題中的新定義分別表示出題目所求式子，利用同底數(shù)冪的乘法法則及多項式的乘法則即可作出判斷.

解析：（1）cosh（x+y）=ex+y+e-（x+y）2，

coshx·coshy-sinhx·sinhy=ex+e-x2·ey+e-y2-ex-e-x2·ey-e-y2=ex-y+ey-x2，

∴cosh（x+y）≠coshx·coshy-sinhx·sinhy，故本選項錯誤；

（2）sinh（x+y）=ex+y-e-（y+x）2，

sinhx·coshy+coshx·sinhy=ex-e-x2·ey+e-y2+ex+e-x2·ey-e-y2=ex+y-e-（y+x）2，故本選項正確；

（3）（sinhx）2-（coshx）2=（ex-e-x2）2-（ex+e-x2）2=-1≠1，

故本選項錯誤，則三個命題正確的是（2）.故答案為：（2）

點評：此題考查了新定義的理解，解答此類題要切實對題中的新定義加以正確的理解，這樣才能對新定義下的運算熟練運用，注意新定義下對普通運算不一定成立，比如本題（1）對于兩角和與差的余弦函數(shù)公式不成立，靈活運用題中的新定義是解本題的關鍵.

二、入手基礎，深挖概念內涵

例3如圖，直線與圓x2+y2=1分別在第一和第二象限內交于P1，P2兩點，若點P1的橫坐標為35，∠P1OP2=π3，則點P2的橫坐標為.

分析：利用圓的方程與點P1的橫坐標，求出∠xOP1的正弦值與余弦值，通過兩角和的三角函數(shù)公式求出P2的橫坐標即可.

解析：因為直線與圓x2+y2=1分別在第一和第二象限內交于P1，P2兩點，若點P1的橫坐標為35，所以cos∠xOP1=35，sin∠xOP1=45，又∠P1OP2=π3，

所以cos（∠xOP1+π3）=cos∠xOP1cosπ3-sin∠xOP1sinπ3

=35×12-45×32

=3-4310.

所以P2的橫坐標為：3-4310.

故答案為：3-4310.

點評：本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，考查計算能力.

三、綜合交匯

高考三角函數(shù)的考題在高考中?？汲Ｐ?，是既考知識又考能力的好題型，在高考備考中有較高的訓練價值，同時這類問題在高考中頻頻出現(xiàn)，是歷年高考試題中不容忽視的一個考點.

例4已知m=（2sinx，2cosx），n=（3cosx，cosx），f（x）=m·n-1.

（1）求函數(shù)y=f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間；

（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標先縮短到原來的13，把所得到的圖象再向右平移π12單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[0，π12]上的最大值.

分析：利用兩個向量的數(shù)量積公式，三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式，再利用函數(shù)的性質求解.

解析：（1）因為f（x）=23sinx·cosx+2cos2x-1=3sin2x+cos2x=2sin（2x+π6），∴函數(shù)f（x）的最小正周期為T=π.又由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2（k∈Z），可得kπ-π3≤x≤kπ+π6（k∈Z），∴f（x）的單調遞增區(qū)間為每一個[kπ-π3，kπ+π6]（k∈Z）.

（2）根據(jù)條件得g（x）=2sin[6（x-π12）+π6]=2sin（6x-π3），當x∈[0，π12]時，6x-π3∈[-π3，π6]，-32≤sin（6x-π3）≤12，所以當x=π12時，g（x）max=1.

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，三角函數(shù)的周期性的求法，正弦函數(shù)的單調性、定義域和值域，函數(shù)y=Asin（ωx+θ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題.

四、探索性問題

給出了題目的結論，但沒有給出滿足結論的條件，并且這類條件常常是不唯一的，一般是從結論出發(fā)去判斷，并通過推理予以確認.

例5已知函數(shù)f（x）=sin（2x+θ）+3cos（2x+θ）（x∈R）滿足2014f（-x）=12014f（x），且f（x）在[0，π4]上是減函數(shù)，則θ的一個可能值是.

分析：利用三角恒等變換可求得f（x）=2sin（2x+θ+π3），2014f（-x）=12014f（x）f（-x）=-f（x），于是可得θ=kπ-π3（k∈Z），再由f（x）在[0，π4]上是減函數(shù)，即可求得答案.

解析：∵f（x）=sin（2x+θ）+3cos（2x+θ）=2sin（2x+θ+π3），又2014f（-x）=12014f（x），∴f（-x）=-f（x），∴f（x）=2sin（2x+θ+π3）為奇函數(shù)，∴θ+π3=kπ（k∈Z），∴θ=kπ-π3（k∈Z）.又f（x）在[0，π4]上是減函數(shù)，∴k為奇數(shù)，當k=1時，θ=π-π3=2π3，符合題意.本題答案不唯一.

點評：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)公式，著重考查函數(shù)的奇偶性與單調性的綜合應用，屬于中檔題.endprint