劉愛超，程俊芳，劉 浩

（1.黃淮學(xué)院 數(shù)學(xué)系，河南 駐馬店 463000；2.河南大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 開封 475004）

在多復(fù)變數(shù)中，利用不同的Roper-Suffridge算子（各種形式及相應(yīng)性質(zhì)可參見文獻［1-5］）在高維空間中可以構(gòu)造出多種星形映照、螺形映照及其擴充子族.零倫映照的概念由劉浩教授提出，其相關(guān)結(jié)果可參見文獻［6-7］.目前，零倫映照的研究成果并不多，僅可見文獻［6-8］.在拓?fù)鋵W(xué)中同倫是映射間的連續(xù)變形，能否將Roper-Suffridge算子與拓?fù)鋵W(xué)中同倫的概念相結(jié)合，構(gòu)造出復(fù)高維空間中的零倫映照呢？作者在參照文獻［5］與［6］的基礎(chǔ)上，結(jié)合不同形式的Roper-Suffridge算子對零倫全純映照進行了研究，并得出復(fù)平面中單位圓盤上的正規(guī)化零倫全純函數(shù)可以分別構(gòu)造出復(fù)Hilbert 空間單位球B和Ω（p2，…，pn+1）上的零倫映照.所得結(jié)論對復(fù)歐式空間Cn中的單位球Bn同樣成立.

1 預(yù)備知識

記C為復(fù)平面，U為C中的單位圓盤，即U＝｛z∈C∶｜z｜＜1｝.D是C中的域，H（D，D）表示從D到D的全純函數(shù)的集合.H為一復(fù)Hilbert空間，＜·，·＞為其中的內(nèi)積，對?z∈H，記B＝｛z∈H∶‖z‖ ＜1｝為H中的開單位球.

用H（B）表示B?H到H的全純映射的全體.若Df（z）（為f在z點的一階Fre′chet導(dǎo)數(shù)）在每一點z∈B有有界逆，稱f為B上的局部雙全純映射；若（DF（z））-1存在，且在f（B）上全純，稱f為B上的雙全純映射；若f∈H（B）滿足f（0）＝0，Df（0）＝I（為單位矩陣），稱f為B上正規(guī)化全純映射.

設(shè)X和Y都是拓?fù)淇臻g，記f，g∈C（X，Y）（C（X，Y）為從X到Y(jié)的所有連續(xù)映照構(gòu)成的集合），所謂f與g同倫，就是指f可以“連續(xù)地”變?yōu)間，這意味著在每一時刻t∈T（T＝［0，1］）有一連續(xù)映射Gt∈C（X，Y），使得G0＝f，G1＝g，并且Gt對t有連續(xù)地依賴關(guān)系，即

若有連續(xù)映射G∶X×T→Y，使得對任意的x∈X，G（x，0）＝f（x），G（x，1）＝g（x），則稱f與g同倫，簡記為f?g，并稱G是連接f與g的一個同倫，記作G∶f?g.

解析同倫的定義首先由劉浩教授給出，本文為了將Roper-Suffridge算子與拓?fù)鋵W(xué)中同倫的概念相結(jié)合，將解析同倫定義中的條件減弱如下：

定義1 設(shè)X，Y是H中的域，稱映照族｛Gt｝t∈T，Gt（z）＝G（z，t）∶X×T→Y為一解析同倫，如果G（z，t）關(guān)于z全純，關(guān)于t除去一零測度集外是C∞的.其中T＝［0，1］.

定義2 設(shè)f（z），g（z）是從X到Y(jié)的映照，稱f與g解析同倫，如果存在一個解析同倫G（z，t）∶X×T→Y，使得G（z，0）＝f（z），G（z，1）＝g（z）.簡記為G∶f?g，并稱G是連接f與g的一個解析同倫.

定義3 設(shè)f（z）∈H（B），稱f關(guān)于G零倫，如果f（B）上的恒等映照I解析同倫于f（B）上的零映照，即存在G（ω，t）∶f（B）×T→f（B），使得G（ω，0）＝0，G（ω，1）＝ω.

從幾何上講，f是零倫的相當(dāng)于對f（B）中任一點f（z），連接f（z）與零點的光滑曲線G（f（z），t）完全落在f（B）之中.

從上述定義出發(fā)，將兩種不同形式的Roper-Suffridge算子與零倫全純映照結(jié)合起來進行研究，得出復(fù)平面中單位圓盤上的一個正規(guī)化零倫全純函數(shù)可以分別構(gòu)造出復(fù)Hilbert空間單位球B和Ω（p2，…，pn+1）上的一個零倫映照.

在全文證明過程中，所使用的各種復(fù)指數(shù)函數(shù)ζα＝eαLnζ＝eα［ln｜ξ｜+i（argζ+2kπ）］＝eα［ln｜ξ｜+iargζ］，ζ≠0，α為實常數(shù)，均取分支，令k＝0.

2 主要結(jié)果與證明

在給出主要定理之前，首先給出以下兩個引理（以下記T＝［0，1］）.

引理1［9］若f∈H（U，U），則，z∈U.

引理2［10］若f∈H（U，U），且f（0）＝0，則｜f（z）｜≤｜z｜.

定理1X表示具有內(nèi)積 ＜·，·＞ 的復(fù)Hilbert空間，B為X中的單位球.f∈H（U，U）為正規(guī)化雙全純函數(shù)，f關(guān)于g是零倫的，且g（ω，t）滿足：

1）g（0，t）＝0；

2）g（ω，t）＝a1（t）ω+a2（t）ω2+…，a1（t）≠0.

令

則F在B上關(guān)于G零倫，其中β∈［0，1］，γ∈，β+γ≤1，冪函數(shù)取分支，使得此處

取分支使得

證明 由定義知G（ω，t）關(guān)于ω全純，除t≠0 外是C∞的，即G（ω，t）是一個解析同倫；又f關(guān) 于g是零倫的，則g（ω1，0）＝0，g（ω1，1）＝ω1，易得G（ω，0）＝0.

有意義，進而得G（ω，1）＝ω.注意到

計算易知

其中記〈x，e〉＝x1，x-〈x，e〉e＝x′.代入后有

由幾何意義，只須對?t∈T，x∈B，找到u∈B，使得連接0 與F（x）的曲線完全落在F（B）之中，即G（F（x），t）＝F（u）.當(dāng)t＝0 時，只須取u＝0 即可.下面僅討論t≠0 的情形.

因f關(guān)于g是零倫的，由定義知存在u1∈U，使得g（f（x1），t）＝f（u1）.令

易得〈u′，e〉＝0.記u＝u′+u1e，則〈u，e〉＝u1.于是

對g（f（x1），t）＝f（u1（x1））兩端關(guān)于x1求導(dǎo)，得），代入式（1）有

又u1（x1）＝f-1（g（f（x1），t））∈H（U，U），u1（0）＝0，由引理1 知，；由引理2 知，｜u1｜≤｜x1｜，且注意到2γ∈［0，1］，于是

即u∈B，由定義知F在B上關(guān)于G是零倫的.

注記 當(dāng)β＝0，γ＝0時，定理1分別有對應(yīng)的形式，文中不再贅述.

下面將在更廣泛的復(fù)Hilbert空間的域上討論推廣的Roper-Suffridge算子可以保持零倫的性質(zhì)不變.下述定理2 中的域及Roper-Suffridge 算子來源于文獻［11］.記

其中ej為H中相互正交的單位向量，pj＞0（1≤j≤n+1）.顯然當(dāng)pj＝2 時，Ω（p2，…，pn+1）就是Hilbert空間中的單位球B.

定理2X表示具有內(nèi)積〈·，·〉的復(fù)Hilbert空間，f∈H（U，U）為正規(guī)化雙全純函數(shù)，f關(guān)于g是零倫的，g（ω，t）∶f（U）×T→f（U）為一解析同倫，并且滿足：

則F在Ω（p2，…，pn+1）上關(guān)于G是零倫的，其中

證明 同定理1 的證明，有G（ω，0）＝0，G（ω，1）＝ω，且

記〈x，e〉＝x1，x-〈x，e〉e＝x′，代入（2）后有

由幾何意義，只須對?t∈T，x∈Ω（p2，…，pn+1），找到u∈Ω（p2，…，pn+1），使得連接0 與F（x）的曲線完全落在F（Ω（p2，…，pn+1））之中，即G（F（x），t）＝F（u）.當(dāng)t＝0 時，只須取u＝0 即可.下面僅討論t≠0 的情形.

因f關(guān)于h是零倫的，則存在u1∈U，使得g（f（x1），t）＝f（u1）.令

因此

3 結(jié)論

近幾年，馮淑霞帶領(lǐng)其團隊在Roper-Suffridge算子的性質(zhì)上做了很多工作，本文在參考文獻［5-6］的基礎(chǔ)上，對解析同倫定義中的條件作了減弱，利用劉小松博士和劉太順教授推廣的Roper-Suffridge算子，得出復(fù)平面中單位圓盤上的正規(guī)化零倫全純函數(shù)可以分別構(gòu)造出復(fù)Hilbert空間單位球B和Ω（p2，…，pn+1）上的一個零倫映照.所得結(jié)論對復(fù)歐式空間Cn中的單位球Bn同樣成立.

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