王海霞，蔣里強，王桂花

（1.鄭州師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，河南 鄭州 450044；2.防空兵學院 基礎部，河南 鄭州 450052）

0 引言

直到最近幾年，肺結核還是世界上許多地方引起死亡的主要原因.眾所周知，一個人隨時都會染上結核病.這就是說，通過偶然接觸一個染病者，或者是通過接觸一個結核病患者的其他家庭成員是都會染上的.據(jù)報道，每年大概有800萬人會染上結核病，而且這些人每人每年僅僅通過呼吸又可以傳染10～15 人.因此，研究結核病的控制與傳染具有重大意義.

本文提出并討論了兩個結核病傳染的數(shù)學模型：一個常微分方程模型；然后引入一個離散時滯來描述一個易感者從感染到真正成為一個結核患者的時間（即潛伏期），從而得到了一個帶有離散時滯的離散時滯模型.各種類型的時滯已被眾多學者引入到生物模型中（［1-6］）.本文通過分析時滯模型的超越特征方程，得到了染病平衡點穩(wěn)定的條件，它只和相關參數(shù)有關，而與時滯的具體大小無關.

1 常微分方程模型

受文獻［7］中常微分方程模型的啟發(fā)，采用雙線性發(fā)生率，提出以下常微分方程模型：

式中：Λ代表人口輸入率；μ代表自然死亡率；d代表由結核病引起的死亡率.β1，β2是有效傳染率；γ代表治愈率.假設所有參數(shù)均非負并且不失一般性，并假設β1≥β2.

注意到，

因此總人口N（N＝S+I+R）會隨著時間的變化而變化.在無病的情況下，總人口N（t）收斂于平衡點.從式（2）可知，因此在可行域

中來討論模型（1），可以證明這正是關于（1）的正不變區(qū)域.記?Γ和分別代表區(qū)別Γ的邊界和內部.定義其中ω＝μ+d+γ.R0代表在一個大小為的完全易感人群中一個結核病患者傳染易感者的平均數(shù)量，通常被稱為基本再生數(shù)（［8］）.

模型（1）平衡點滿足方程

在無病的（I＝0）情況下，解方程（4），得模型的唯一的無病平衡點疾病可能持續(xù)存在（I≠0）的情況下對應于模型的地方病平衡點.考慮到平衡點（當存在時）不能被顯式表示，本文將在模型參數(shù)滿足某些特定條件時討論它們的存在性.注意到方程（4）中第1和第3個方程，有又I≠0，將它們帶入方程（4）中第2個方程，即

通過一個復雜的計算，得到一個二次方程

假設R0≤1，顯然有C≥0，B＞0，從而Q（I）沒有正根.也就是說，模型沒有地方病平衡點.假設R0＞1，C＜0，此時Q（I）有兩個實根，一正一負.因此模型有唯一的地方病平衡點

由上面的分析可以知道，如果R0≤1，則E0是Γ內唯一的平衡點；如果R0＞1，則在˙Γ內有唯一的地方病平衡點.其中而是二次方程Q（I）的正根.

首先考慮無病平衡點E0.模型（1）的雅可比矩陣為

從而模型（1）在E0處的雅可比矩陣為

定理1 如果R0＜1，則無病平衡點E0是局部漸近穩(wěn)定的；如果R0＞1，則無病平衡點E0不穩(wěn)定.

相應的特征方程為

也就是

由Routh-Hurwitz判別準則可得到穩(wěn)定性條件A1＞0，A3＞0和B1＝A1A2-A3＞0.注意到，對所有參數(shù)均有A1＞0.

由上，就有

因此，當R0＞1時，地方病平衡點是局部漸近穩(wěn)定的.綜上分析有以下定理：

定理2 如果R0＞1，則地方病平衡點是局部漸近穩(wěn)定的.

2 時滯模型

在模型（1）中引入一個離散時滯，代表潛伏期，模型如下：

滿足初始條件S（θ）＝S0，I（θ）＝0，R（θ）＝R0，θ∈［-τ，0］.這里除了τ代表潛伏期的長度即天數(shù)外，其他參數(shù)均與模型（1）中的相同.同樣，又找到了一個無病平衡點和一個地方病平衡點，其中與第2部分中的一樣.既然當τ＝0 且R0＞1 時無病平衡點E0是不穩(wěn)定的，引入時滯也不會改變其不穩(wěn)定性，因此當R0＞1時，E0不穩(wěn)定，而R0＞1也正是地方病平衡點存在的條件.

以矩陣的形式表示系統(tǒng)（8），即

這里C1和C2是3 階矩陣，

人們知道，當相應特征方程（9）的所有特征根均具有負實部時，平衡點是漸近穩(wěn)定的［9］.然而，與常微分方程模型的特征方程（6）相比，方程（9）更難以處理.首先，它是一個超越方程，有無窮多個特征根；其次，由于它是超越方程，經典的Routh-Hurwitz判別準則對它將不再適用；再者，盡管也有一些常規(guī)的方法［4］可以用來確定超越特征方程的特征根何時均具有負實部，但用這樣一個常規(guī)的方法來處理這個特定的超越方程也是相當復雜的［10］.

為此，本文將分析性地研究超越特征方程（9）的根的分布.回想一下常微分方程模型（1），當R0＞1時地方病平衡點是穩(wěn)定的.本文的出發(fā)點是假設常微分方程（1）的地方病平衡點是穩(wěn)定的，然后當導出保證時滯方程（7）仍然穩(wěn)定時，其中參數(shù)滿足的條件.為此，考慮τ＝0時的方程（9），也就是方程（6），并且方程（6）的所有特征根均具有負實部.由Rouché′s 定理［11］以及關于τ的連續(xù)性，超越方程（9）具有正實部的特征根當且僅當它具有純虛根.將確定如果方程（9）具有純虛根，從中將會找到其所有特征根均具有負實部的條件.

記方程（9）的特征根λ＝η（τ）+iξ（τ）（ξ＞0），其中η（τ）和ξ（τ）依賴于時滯τ.既然常微分方程模型的平衡點ˉE是穩(wěn)定的，因此當τ＝0 時η（0）＜0.由連續(xù)性知，當τ＞0 且足夠小時，仍然有η（0）＜0 并且仍是穩(wěn)定的.如果對某些τ0＞0使η（τ0）＝0，這時λ＝iξ（τ0）便是方程（9）的純虛根.換言之，如果這樣的ξ（τ0）不存在，也就是說如果對所有時滯，特征方程（9）都沒有純虛根，那么地方病平衡點始終是穩(wěn)定的.本文將證明對特征方程（9）來說確實是這樣的.

顯然，如果iξ（ξ＞0）是方程（9）的一個根，當且僅當

分離其實部和虛部，有

將方程兩邊平方再相加，得

注意到，

事實上，注意到對所有參數(shù)都有

因此b＞0，a＞0，并且a2-3b＜a2.也就是說所以v1和v2均不是正的，因此方程（12）沒有正根.又h（0）＝c＞0，從而方程（11）沒有正根.

上面的斷言意味著不存在這樣的ξ使得iξ是特征方程（9）的特征根.所以，特征方程（9）的所有特征根的實部對所有時滯τ≥0 都是負的.綜上分析，有如下定理：

定理3 如果R0＞1，則時滯模型（7）的地方病平衡點是絕對穩(wěn)定的.這就是說，對所有的τ≥0，對所有時滯都是漸近穩(wěn)定的.

正如人們所知，定理3 表示如果參數(shù)滿足R0＞1，也就是說只要存在，時滯模型（7）的地方病平衡點對所有時滯都是近穩(wěn)定的，也即與時滯無關.

3 結束語

提出并討論了兩個肺結核傳染病的數(shù)學模型：一個常微分方程模型，一個帶有時滯的模型.盡管其中的常微分方程模型與肺結核的實際傳染情況有所偏差（修改了四維模型是為了給后面討論時滯模型提供方便），通過穩(wěn)定性的討論，得到了一個閾值R0，也就是基本再生數(shù)；然后在模型中引入了一個離散時滯，它描述了從感染到進一步成為結核患者的時間，即潛伏期.通過分析超越特征方程，得到了地方病平衡點穩(wěn)定的條件，它只和相關參數(shù)有關，而與時滯的具體大小無關.

［1］Busenberg S，Cooke K.Vertically Transmitted Diseases［M］.Berlin：Springer，1993.

［2］Cushing J M.Integro-differential Equations and Delay Models in Population Dynamics［M］.Heidelberg：Springer，1977.

［3］Kuang Y.Delay-differential Equations with Applications in Population Dynamics［M］.NewYork：Academic Press，1993.

［4］Stépán G.Retarded Dynamical Systems：Stability and Characteristic Functions［M］.UK：Longman，1989.

［5］何澤榮，劉炎.一類基于時滯和年齡分布的種群控制問題［J］.系統(tǒng)科學與數(shù)學，2010（1）：53-59.He Zerong，Liu Yan.On a control problem for a class of population systems with time delay and age distribution［J］.Journal of System Science and Mathematical Science，2010（1）：53-59.（in Chinese）

［6］劉祥東，王輝，胡志興，等.一類具有時滯和治愈率的HIV 病理模型的穩(wěn)定性［J］.生物數(shù)學學報，2011（1）：108-116.Liu Xiangdong，Wang Hui，Hu Zhixing，et al.Stability of the model with delay and cure rate for HIV pathology［J］.Journal of Biomathematics，2011（1）：108-116.（in Chinese）

［7］Castillo-Chavez C，F(xiàn)eng Z.Totreat or not to treat the case of tuberculosis［J］.J.Math.Biol.，1997，35：629-656.

［8］Andersion R M，May R M.Population biology of infectious diseases：Part 1［J］.Nature，1979，280：361-367.

［9］Bellman R，Cooke K L.Differential-Difference Equations［M］.New York：Academic Press，1963.

［10］Culshaw R V.Mathematical Models of Cell-to-Cell and Cell-Free Viral Spread of HIV infection［D］.Halifax Canada：Dalhousie University，1997.

［11］Dieudonne J.Foundations of Modern Analysis［M］.New York：Academic Press，1960.