平夏PING Xia；王國(guó)民WANG Guo-min；童云飛TONG Yun-fei

（無(wú)錫市計(jì)量測(cè)試中心，無(wú)錫 214101）

（Wuxi Measurement Test Center，Wuxi 214101，China）

0 引言

首先，要指出一個(gè)長(zhǎng)久以來(lái)存在的誤區(qū)。我們總是會(huì)看到這么一句話(huà)：“一直以來(lái)，劣弧的圓心及其半徑的測(cè)定是一項(xiàng)未解決的技術(shù)難題……”其實(shí)，這并不是一個(gè)真實(shí)存在的很?chē)?yán)重的問(wèn)題。當(dāng)然，這里并不是說(shuō)能夠測(cè)準(zhǔn)劣弧圓心和半徑，事實(shí)上確實(shí)是測(cè)不準(zhǔn)，但是，為題在于：我們?yōu)槭裁匆欢ㄒ獪y(cè)準(zhǔn)圓心和半徑？這么做有何實(shí)際意義？

事實(shí)上，真實(shí)存在的點(diǎn)處于弧狀部位，我們實(shí)際測(cè)量的正是這些點(diǎn)的位置，而所謂用各種方法擬合出來(lái)的圓心和半徑只是我們自己定義的一個(gè)假象的概念，它們的重要性是很低的。那么如何來(lái)描述及評(píng)價(jià)一段劣弧，是本文將要探討的問(wèn)題。

1 描述與評(píng)價(jià)

在幾何量測(cè)量中，永遠(yuǎn)是取實(shí)際物體的某些特征點(diǎn)，即使是掃描也不可能“面面俱到”，所以測(cè)量的點(diǎn)的數(shù)目是可數(shù)的。某次測(cè)量了若干個(gè)點(diǎn)，我們稱(chēng)記錄測(cè)量點(diǎn)的過(guò)程稱(chēng)之為“描述”。

在測(cè)量完畢后，我們要把記錄的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理以得到測(cè)量的結(jié)果，那么我們稱(chēng)處理數(shù)據(jù)的過(guò)程為“評(píng)價(jià)”，那么將上述N 個(gè)點(diǎn)擬合成的圓、平面、直線(xiàn)等就是評(píng)價(jià)的結(jié)果。

2 傳統(tǒng)的描述與評(píng)價(jià)

三點(diǎn)擬合圓的方法是大家都熟知的，那么在零件表面的形狀誤差與測(cè)量誤差不可避免的情況下，所采點(diǎn)的誤差與所計(jì)算出來(lái)的半徑誤差存在如下關(guān)系：

如圖1，設(shè)實(shí)際測(cè)得到三點(diǎn)A1，B1，C1與理論三點(diǎn)A，B，C 的誤差均為e，可以推導(dǎo)得：

圖1

由上式可知，圓心角越小，誤差放大比例越大，這就是所謂的“差之毫厘，謬以千里”。

那么為什么會(huì)引起誤差放大呢？正是因?yàn)槲覀兊拿枋霾皇且粋€(gè)完備的描述，即使我們?cè)诹踊∩媳M量采集更多的點(diǎn)，它也是不完備的，那么用傳統(tǒng)的評(píng)價(jià)方式得到的半徑及圓心坐標(biāo)偏離理論值就非常大。

通常來(lái)說(shuō)，上述“描述”的“評(píng)價(jià)”可以取為：

其中f（xi）為實(shí)際測(cè)量點(diǎn)，是原始的描述，f（xi）′為擬合圓，是評(píng)價(jià)的結(jié)果，J 越小說(shuō)明越接近實(shí)測(cè)點(diǎn)的真實(shí)信息。最小二乘法的思想就是令J 取最小值為約束條件，從而得到一些結(jié)果。

3 一種新的描述與評(píng)價(jià)

圓與圓弧的測(cè)量一般分為二種情況：定圓心與半徑的測(cè)量或只定半徑的測(cè)量。

對(duì)于整圓或大圓心角圓弧來(lái)講，測(cè)量圓心位置及半徑是較為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，這里不作進(jìn)一步討論，而對(duì)于劣弧來(lái)說(shuō)，測(cè)量圓心位置及半徑就如引言中所說(shuō)，是測(cè)不準(zhǔn)的。那么我們是否能換一種思維方式呢？測(cè)不準(zhǔn)圓心位置及半徑，我們是否能通過(guò)評(píng)價(jià)其輪廓度來(lái)確定其圓心位置及半徑的準(zhǔn)確性？我們認(rèn)為是可行的，與實(shí)際工作狀態(tài)也是相符的。這就引出了一種新的描述與評(píng)價(jià)。

以劣弧為例，這種“描述”型式的“評(píng)價(jià)”怎么計(jì)算呢？

我們令f（x）=（x-x0）2+（y-y0）2=R2，該曲線(xiàn)為理論圓的“描述”曲線(xiàn)。

當(dāng)所測(cè)劣弧是定圓心與半徑的，則其描述與評(píng)價(jià)如下式：J=max

上面表達(dá)式的含義是求出每個(gè)實(shí)測(cè)點(diǎn)到理論圓心的距離與理論半徑的差值的絕對(duì)值，取其中的最大值為J，則其輪廓度為2J。

當(dāng)所測(cè)劣弧只定半徑，則其描述與評(píng)價(jià)就相對(duì)復(fù)雜，如下式：J=

上面表達(dá)式的含義如下：不斷平移同一個(gè)“描述”曲線(xiàn)（即理論圓），計(jì)算每個(gè)實(shí)測(cè)點(diǎn)到理論圓心的距離與理論半徑的差值的絕對(duì)值的最大值，這些不同位置的“描述”曲線(xiàn)所得到的所有值中取一個(gè)最小值，將此最小值作為我們的“評(píng)價(jià)”：J，取2J 作為該劣弧的輪廓度。該描述與評(píng)價(jià)可以編制一應(yīng)用程序，進(jìn)行快速計(jì)算，部分程序見(jiàn)下：

綜上所述，傳統(tǒng)的“描述”是記錄測(cè)量點(diǎn)的過(guò)程，“評(píng)價(jià)”是擬合特征（圓、橢圓、面、線(xiàn)）的過(guò)程，評(píng)價(jià)結(jié)果為特征，例如由圓心及半徑構(gòu)成的圓。而我們新的“描述”是先構(gòu)建理論曲線(xiàn)（特征），然后對(duì)測(cè)量點(diǎn)與“描述”曲線(xiàn)進(jìn)行“評(píng)價(jià)”，評(píng)價(jià)的結(jié)果為一偏離量。

有了這種：“測(cè)點(diǎn)——描述——評(píng)價(jià)”的思想，就可以把長(zhǎng)度與幾何量測(cè)量中的幾乎所有有關(guān)誤差放大的問(wèn)題歸結(jié)于同一類(lèi)，即：我們只需要關(guān)心怎么把每一個(gè)單點(diǎn)測(cè)量準(zhǔn)確，而不需要考慮其他問(wèn)題，因?yàn)槟切┒伎梢杂谩皽y(cè)點(diǎn)——描述——評(píng)價(jià)”的思想加以解釋?zhuān)@種方法有邏輯性，并且與工業(yè)中的實(shí)際操作更為契合。

下面給出一個(gè)在會(huì)產(chǎn)生誤差放大的測(cè)量中如何表示測(cè)量結(jié)果的建議：

①給出描述類(lèi)型，比如“圓描述”或者“橢圓描述”等；②給出此描述的“評(píng)價(jià)”，即J（偏離量）的表達(dá)式；③求出此次測(cè)量的J 的數(shù)值。

4 結(jié)論

前面討論了由劣弧測(cè)量而引出的一種新的描述及評(píng)價(jià)測(cè)量的方法，主要是為計(jì)量檢測(cè)人員提供一種新的檢測(cè)思路，不能總是按部就班，受困于傳統(tǒng)的思維方式中。希望能與大家共勉，共同提高計(jì)量檢測(cè)技術(shù)。

[1]陳其偉.三坐標(biāo)測(cè)量短圓弧和短直線(xiàn)[J].金屬加工，2002.

[2]第一機(jī)械工業(yè)部.六項(xiàng)基礎(chǔ)互換性標(biāo)準(zhǔn)匯編[M].中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)出版社，2004.

[3]董良海.關(guān)于短圓弧測(cè)量問(wèn)題探討[C].江蘇省計(jì)量測(cè)試學(xué)會(huì)論文集，2010.