?

何 軍1 李滋剛2

（1.南京信息工程大學(xué)電子與信息工程學(xué)院 南京 210044）（2.東南大學(xué)儀器科學(xué)與工程學(xué)院 南京 210096）

1 引言

近年來，隨著傳感器技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，人們對(duì)于空間數(shù)據(jù)分析逐漸由全色波段、多光譜的柵格數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)向更高維的高光譜影像。然而，光譜數(shù)據(jù)維度的提高卻給空間數(shù)據(jù)的分析帶來了極大的困難，這就是數(shù)據(jù)分析領(lǐng)域的維度災(zāi)難問題（Curse of Dimensionality）［1］——即在保持一定取樣密度所需樣本的個(gè)數(shù)隨著數(shù)據(jù)空間維度的增加成指數(shù)級(jí)增加，而且散布在外圍的樣本數(shù)也隨著空間維數(shù)的增加成指數(shù)級(jí)增加，并且還表現(xiàn)為模型的復(fù)雜程度或模型的表示長(zhǎng)度隨維數(shù)成指數(shù)級(jí)增加。為了克服維度災(zāi)難給空間數(shù)據(jù)處理帶來的困難，我們希望能夠用低維的坐標(biāo)以近似等價(jià)的方式去刻畫原來的高維空間中的數(shù)據(jù)。PCA（Principle components analysis）［2］和 MDS（Multi－dimensional scaling）［3］等線性算法能夠有效發(fā)現(xiàn)線性子空間，且在數(shù)據(jù)內(nèi)插、外推、壓縮、去噪以及可視化等方面的應(yīng)用已經(jīng)被證明是非常有效的。由于PCA方法假設(shè)數(shù)據(jù)的固有結(jié)構(gòu)是線性的，即PCA的本質(zhì)是建立在全局線性假設(shè)之上，而高光譜數(shù)據(jù)中含有較多的非線性［4～6］，數(shù)據(jù)的分布呈現(xiàn)明顯的彎曲，不能再近似地認(rèn)為高光譜數(shù)據(jù)取自線性子空間。因此，若要對(duì)高維空間數(shù)據(jù)進(jìn)行更為準(zhǔn)確的分析，需要研究發(fā)現(xiàn)非線性結(jié)構(gòu)的方法。

近年來美國(guó)海軍研究實(shí)驗(yàn)室的Bachmann博士等學(xué)者，首先基于非線性低維流形思想對(duì)于高光譜數(shù)據(jù)進(jìn) 行 建 模［7～9］，并 取 得 了 非 常 顯 著 的 成果［10］。在Bachmann的工作啟發(fā)下，從擴(kuò)散過程的角度出發(fā)，利用擴(kuò)散映射思想［11～12］對(duì)高光譜數(shù)據(jù)的低維表示也展開了研究工作［13～14］。相對(duì)于傳統(tǒng)的線性表示技術(shù)，非線性的數(shù)據(jù)表示技術(shù)帶來的問題是較高的計(jì)算復(fù)雜性，難以處理的海量的數(shù)據(jù)。目前較為流行的一種方法是首先將大尺度的高光譜影像進(jìn)行分片，對(duì)每個(gè)分片分別進(jìn)行非線性降維，從而得到各自在流形上的內(nèi)蘊(yùn)坐標(biāo)表示，然后選擇一個(gè)分片作為基準(zhǔn)，并基于坐標(biāo)系對(duì)準(zhǔn)的思想，將其它分片的流形坐標(biāo)映射到這個(gè)基準(zhǔn)坐標(biāo)系統(tǒng)中［9，13］。本文提出一種新的基于局部線性重構(gòu)的擴(kuò)散坐標(biāo)系延拓算法，即對(duì)于海量的外采樣點(diǎn)（Out－of－sample），直接通過局部線性重構(gòu)算法找到它們?cè)跀U(kuò)散坐標(biāo)系的坐標(biāo)表示，這種新的方法相對(duì)于基于坐標(biāo)系配準(zhǔn)的延拓方法，高光譜影像數(shù)據(jù)在擴(kuò)散坐標(biāo)系下的表示更為一致。

2 擴(kuò)散映射與局部線性重構(gòu)算法

2.1 擴(kuò)散映射

通過研究圖或流形上的擴(kuò)散過程，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含在高維數(shù)據(jù)集中的信息，是Yale大學(xué)擴(kuò)散幾何小組近年來發(fā)展起來的對(duì)于高維數(shù)據(jù)分析的理論［11］。擴(kuò)散映射（Diffusion Maps）［12］算法簡(jiǎn)單描述如下：

把數(shù)據(jù)集視為由數(shù)據(jù)作為頂點(diǎn)做構(gòu)成的鄰接圖，數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)之間的邊的權(quán)重k（x，y）滿足如下的對(duì)稱半正定性質(zhì)：

·k是對(duì)稱的：k（x，y）＝k（y，x）；

·k是正保持的：對(duì)于數(shù)據(jù)集X中所有的x和y，都有k（x，y）≥0；

·k是半正定的：即對(duì)于定義在X上所有的實(shí)有界函數(shù)f，均有：

這里μ是X上的概率測(cè)度。

對(duì)于對(duì)稱化后的擴(kuò)散算子?A和擴(kuò)散核?a（x，y），有如下的譜分解：

其中特征值滿足λ1＝1≥λ2≥λ3≥…。對(duì)于第m次擴(kuò)散時(shí)刻的擴(kuò)散算子?Am及對(duì)應(yīng)的擴(kuò)散核?a（m）（x，y），則有

因此，可以引入如下的一族擴(kuò)散映射｛Φm｝：

對(duì)于高光譜影像在擴(kuò)散幾何坐標(biāo)下的可視化表示而言，該族擴(kuò)散映射能夠?qū)⒏吖庾V數(shù)據(jù)集Γ中任一x嵌入至低維的擴(kuò)散空間：

其中j0是在不引入明顯誤差情況下，所嵌入擴(kuò)散空間的維度。由擴(kuò)散映射理論可知，擴(kuò)散空間把握了特征空間內(nèi)蘊(yùn)幾何結(jié)構(gòu)，因此我們將此低維坐標(biāo)表示稱之為高光譜數(shù)據(jù)的擴(kuò)散幾何坐標(biāo)［13］。

2.2 局部線性重構(gòu)算法

對(duì)于規(guī)模諸如O（106）的全景高光譜影像構(gòu)造擴(kuò)散映射，直接計(jì)算無論是運(yùn)行內(nèi)存還是運(yùn)算時(shí)間均不可行。因此一種有效的解決方法是首先在少量采樣（In－Sample）的高光譜數(shù)據(jù)集上構(gòu)造擴(kuò)散映射，然后建立起由外采樣點(diǎn)（Out－of－Sample）到擴(kuò)散幾何坐標(biāo)的映射關(guān)系，利用該映射能夠近似得到外采樣點(diǎn)的擴(kuò)散坐標(biāo)。這里我們引入局部線性重構(gòu)算法（Local Linear Reconstruction）能夠建立起外采樣點(diǎn)和已經(jīng)構(gòu)造好的擴(kuò)散坐標(biāo)系之間的映射。局部線性重構(gòu)算法的示意圖如圖1所示。

對(duì)于高維數(shù)據(jù)集合Γ?RD，假定Γ分布在RD中的低維流形M 之上或附近，將Γ分為兩個(gè)子集合Γ1和Γ2，其中Γ1＝｛x1，x2，…，xn｝，Γ2＝｛xn＋1，xn＋2，…，xN｝∈RD，由Γ1構(gòu)造出擴(kuò)散映射Φ：RD→Rd，其中d≤D，使得yi＝Φ（xi），i＝1，2，…，n，這里yi對(duì)應(yīng)于xi在擴(kuò)散空間中的擴(kuò)散坐標(biāo)。相對(duì)于x1，x2，…，xn，xn＋1，xn＋2，…，xN稱之為外采樣點(diǎn)。對(duì)于Γ2的數(shù)據(jù)點(diǎn)xj，j＝n＋1，…，N，無法直接套用Φ得到對(duì)應(yīng)的yj，因?yàn)棣挡]有顯示的表達(dá)式，它蘊(yùn)含在特征值求解過程。由于Γ1和Γ2分布在相同的低維流形M之上或附近，因此借助于局部線性假設(shè)，我們可以把Γ2中任一數(shù)據(jù)點(diǎn)xj放入Γ1中，并找到xj在Γ1中的局部鄰域｛xj1，xj2，…，xjk｝，在該局部鄰域內(nèi)xj可由｛xj1，xj2，…，xjk｝線性表示，而線性表示的系數(shù)｛Wj1，Wj2，…，Wjk｝在嵌入空間保持不變，于是yj能夠利用此重構(gòu)系數(shù)計(jì)算得出。具體算法描述見算法1。

圖1 局部線性重構(gòu)算法

算法1 局部線性重構(gòu)算法

Step 1.對(duì)集合Γ1構(gòu)造擴(kuò)散映射Φ：RD→Rd，得到Γ1在Φ 作用下的像｛y1，y2，…，yn｝；

Step 2.將Γ2中每一數(shù)據(jù)點(diǎn)xj在Γ1中進(jìn)行最近鄰居搜索，如kNN搜索，得到Γ1中與xj在歐式距離意義下的若干最近鄰居｛xj1，xj2，…，xjk｝；

Step 3.根據(jù)xj在Γ1中的近鄰｛xj1，xj2，…，xjk｝，計(jì)算線性重構(gòu)的權(quán)值Wjk，使得

Step 4.由計(jì)算所得的重構(gòu)權(quán)值Wjk和鄰域?qū)?yīng)的擴(kuò)散坐標(biāo)｛yj1，yj2，…，yjk｝，重構(gòu)出yj，即：

3 基于局部線性重構(gòu)的擴(kuò)散坐標(biāo)系延拓算法

在以往的工作中［13］，利用局部線性重構(gòu)方法可以得到分片中的部分點(diǎn)在骨干（Backbone）的擴(kuò)散坐標(biāo)系下的近似坐標(biāo)表示，進(jìn)而構(gòu)造了分片擴(kuò)散坐標(biāo)系與Backbone擴(kuò)散坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)變換矩陣，但是由于局部線性重構(gòu)方法構(gòu)造的兩個(gè)坐標(biāo)系之間的近似對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此坐標(biāo)變換的方法并不能保證把各個(gè)分片精確地統(tǒng)一到Backbone的擴(kuò)散坐標(biāo)系，所以在最終擬合的全景高光譜擴(kuò)散坐標(biāo)中分片與分片之間存在不連續(xù)性。

在我們最近的研究工作中，發(fā)現(xiàn)只要構(gòu)造了Backbone并計(jì)算出Backbone的擴(kuò)散坐標(biāo)系，那么對(duì)于全景高光譜影像中的任何數(shù)據(jù)點(diǎn)，均能用局部線性重構(gòu)的方法在Backbone的擴(kuò)散坐標(biāo)系下重構(gòu)出該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的擴(kuò)散幾何坐標(biāo)，所以如果對(duì)Backbone之外所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)做同樣的計(jì)算，不僅能夠成功地得到全景高光譜影像的擴(kuò)散幾何坐標(biāo)表示，而且解決了不連續(xù)性的問題。因此，本節(jié)提出了基于局部線性重構(gòu)的擴(kuò)散坐標(biāo)系延拓算法，該算法的關(guān)鍵之處在于兩點(diǎn)，第一是Backbone的構(gòu)造，第二則是把除了Backbone之外的數(shù)據(jù)點(diǎn)，即外采樣點(diǎn)，“插入”至Backbone的擴(kuò)散坐標(biāo)系下，“插入”的方法就是“局部線性重構(gòu)算法”。

3.1 骨干坐標(biāo)系（Backbone）的構(gòu)造

在本擴(kuò)散坐標(biāo)延拓算法中，僅需直接計(jì)算出Backbone的擴(kuò)散幾何坐標(biāo)，外采樣點(diǎn)的擴(kuò)散幾何坐標(biāo)不需直接算出，這些外采樣點(diǎn)將由局部線性重構(gòu)算法被“插入”至Backbone的擴(kuò)散坐標(biāo)系。因此Backbone的選擇非常重要。

從局部線性重構(gòu)算法知道Backbone的選擇取決于兩個(gè)因素，即Backbone對(duì)高光譜特征空間的覆蓋性和計(jì)算可行性。這里引入一個(gè)假設(shè)，即全景高光譜影像的特征空間相對(duì)樣本空間的稀疏性假設(shè)。我們知道，全景高光譜影像是遙感設(shè)備對(duì)一個(gè)地區(qū)地表物質(zhì)光譜吸收和反射情況的測(cè)量。樣本空間的大小size（S）對(duì)應(yīng)于遙感設(shè)備的空間分辨率，而特征空間的大小size（F）取決于觀測(cè)地區(qū)地表成分的復(fù)雜程度。很顯然，對(duì)于O（106）分辨率而言，樣本空間的大小size（S）＝O（106），而絕不會(huì)出現(xiàn)該地區(qū)的地表任何一處都是不同的成分，即size（F）?size（S）。

為了使得采樣S′能夠較好的覆蓋S，我們引入ε－net的概念，即定義在S中的子集S′，所有點(diǎn)均滿足ε－net要求，也就是說S′中的任何兩個(gè)點(diǎn)xi、xj之間的距離均大于ε，而對(duì)于S中的其它的點(diǎn)y，在S′中存在至少一個(gè)點(diǎn)x到y(tǒng)的距離小于ε。ε－net的概念在圖2做了直觀的解釋?；讦牛璶et可以設(shè)計(jì)出更為有效的隨機(jī)采樣算法，即算法2隨機(jī)εnet采樣方法。

圖2 ε－net示意圖

算法2 隨機(jī)ε－net采樣方法

采樣算法執(zhí)行的過程就是構(gòu)造ε－net的過程。隨機(jī)選擇x0∈S；由歸納法，對(duì)于k≥1，假設(shè)已經(jīng)選擇了x0，x1，…，xk∈S，使得所選擇的任何兩個(gè)點(diǎn)之間的距離均不小于ε。令

表示采樣k個(gè)點(diǎn)后，在S中挖去k個(gè)ε－球后的剩余空間。如果Rk為空集，則算法停止，否則繼續(xù)從Rk中選擇點(diǎn)xk＋1。

由Rk的定義可知，xk＋1與x0，x1，…，xk之間的距離必然不小于ε。因此當(dāng)構(gòu)造ε－net的過程結(jié)束時(shí)，也就是說當(dāng)?shù)趉＊個(gè)點(diǎn)被選中后，那么對(duì)于任意的y∈S我們都能在S′中找到一個(gè)點(diǎn)x，使得這兩個(gè)點(diǎn)之間的距離不超過ε，否則的話則有y∈Rk，上述構(gòu)造過程不會(huì)停止。因此，算法2保證了隨機(jī)采樣很好地覆蓋了原樣本空間。

3.2 外采樣點(diǎn)在骨干坐標(biāo)系上的局部線性重構(gòu)

基于局部線性重構(gòu)算法，依據(jù)高維數(shù)據(jù)集中嵌入低維流形結(jié)構(gòu)的假設(shè)和局部線性思想，能夠得到外采樣點(diǎn)在低維流形上的參數(shù)化表示。另外，由于我們采用ε－net隨機(jī)采樣所構(gòu)成的Backbone能夠較好地逼近全景高光譜影像的特征空間，因此Backbone同樣能夠較好逼近全景高光譜影像的低維流形，計(jì)算得出的Backbone擴(kuò)散幾何坐標(biāo)則是對(duì)該低維流形結(jié)構(gòu)的參數(shù)化表示。于是對(duì)于Backbone之外的外采樣點(diǎn)，每一個(gè)點(diǎn)均可以利用局部線性重構(gòu)算法得到該點(diǎn)在Backbone擴(kuò)散坐標(biāo)系下的坐標(biāo)表示，算法的示意圖見圖3，具體算法步驟見算法3。

圖3 外采樣點(diǎn)在Backbone上的局部線性重構(gòu)

算法3 基于局部線性重構(gòu)的擴(kuò)散坐標(biāo)系延拓算法

Step 1.使用算法2介紹的ε－net隨機(jī)采樣方法對(duì)規(guī)模為｜S｜的全景高光譜影像S進(jìn)行采樣，構(gòu)造出S的Backbone S′，并使用二維數(shù)組B記下S′在S 中的標(biāo)號(hào)（i，j）；

Step 2.對(duì)Backbone S′構(gòu)造擴(kuò)散映射ΦS′，并由此得到Backbone的擴(kuò)散坐標(biāo)系｛φ1，φ2，…，φd｝S′；

Step 3.對(duì)于外采樣點(diǎn)SO∶＝S＼S′中每一個(gè)點(diǎn)x，執(zhí)行如下子過程，并同時(shí)將SO在S中的標(biāo)號(hào)記入二維數(shù)據(jù)B；

Step 3.1 利用近似最近鄰居搜索算法在S′中搜索x的k個(gè)最近鄰居x1，x2，…，xk，求解如下方程

從而得到在k－鄰域內(nèi)x的局部線性表示；

Step 4.將重構(gòu)出的SO的擴(kuò)散幾何坐標(biāo)與Backbone S′的擴(kuò)散幾何坐標(biāo)按照其在全景高光譜影像S中的標(biāo)號(hào)順序進(jìn)行排列，即完成該算法。

4 實(shí)驗(yàn)效果

針對(duì)NASA所公開的AVIRIS系統(tǒng)所采集的高光譜影像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。這里選擇AVIRIS系統(tǒng)在1997年在Moffet地區(qū)采集的高光譜影像的第二景（Scene）數(shù)據(jù)。該景影像的分辨率是614×512，含有224個(gè)近似連續(xù)的波段，波段范圍從0.369μm～2.506μm，根據(jù)AVIRIS的說明，在這224個(gè)波段中存在大約30個(gè)完全吸收和噪聲波段，在此實(shí)驗(yàn)中將此30個(gè)波段排除。實(shí)驗(yàn)平臺(tái)是Intel Core i5CPU 2.3G，8G內(nèi)存，Mac OSX 10.6操作系統(tǒng)，基于 Matlab2010b所實(shí)現(xiàn)的算法。

4.1 骨干（Backbone）坐標(biāo)系的實(shí)驗(yàn)確定

圖4 AVIRIS高光譜影像ε－net隨機(jī)采樣ε選擇與采樣比率的曲線

圖5 ε設(shè)置為0.48時(shí)Backbone在波段1和波段60的投影

首先需要確定的是Backbone。這里采用ε－net隨機(jī)采樣方法，因?yàn)棣牛璶et在較小的采樣率情況下，能夠很好地覆蓋原樣本空間，所以對(duì)AVIRIS高光譜影像進(jìn)行ε－net隨機(jī)采樣實(shí)驗(yàn)，確定合適的ε。對(duì)于該高光譜影像，ε取值與所采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)的規(guī)模曲線如圖4所示，可以看到當(dāng)我們將ε減小到0.6時(shí)，采樣規(guī)模迅速上升，對(duì)應(yīng)于采樣的密度越來越大。這里我們將ε設(shè)置為0.48，圖5展示了采樣所得Backbone在波段1和波段60的分布情況，能夠很好地逼近原高光譜特征空間在這兩個(gè)波段的投影。

4.2 AVIRIS高光譜影像的全景可視化

當(dāng)ε設(shè)置為0.48時(shí)我們采樣所得Backbone由6827個(gè)點(diǎn)組成，由擴(kuò)散映射算法［12］，計(jì)算Backbone的擴(kuò)散坐標(biāo)系。由于一次性讀入全景高光譜影像會(huì)造成龐大的內(nèi)存開銷，因此將高光譜影像劃分為7×7個(gè)分片，分別逐次地應(yīng)用局部線性重構(gòu)算法，求出所有外采樣點(diǎn)在Backbone擴(kuò)散坐標(biāo)系下的坐標(biāo)表示，這里同樣設(shè)置最近鄰居搜索的參數(shù)k＝10，擴(kuò)散空間的維度為15?；谒惴╔X將Backbone擴(kuò)散坐標(biāo)系延拓至全部的外采樣點(diǎn)，得到全景高光譜影像的擴(kuò)散幾何坐標(biāo)表示，其中進(jìn)行ε－net隨機(jī)采樣的耗時(shí)為10.5s，計(jì)算Backbone的擴(kuò)散幾何坐標(biāo)的耗時(shí)為3.1s，通過局部線性重構(gòu)算法將外采樣點(diǎn)延拓至Backbone擴(kuò)散坐標(biāo)系的耗時(shí)為57.6s。由以上參數(shù)設(shè)置計(jì)算得出在擴(kuò)散坐標(biāo)系下高光譜影像的表示如圖6和圖7所示，其中圖6是由擴(kuò)散幾何坐標(biāo)（φ2，φ3，φ4）所構(gòu)成的RGB彩色影像，圖7由擴(kuò)散幾何坐標(biāo)（φ5，φ6，φ7）所構(gòu)成的RGB彩色影像。

圖6 由擴(kuò)散幾何坐標(biāo)（φ2，φ3，φ4）所構(gòu)成的RGB彩色影像

實(shí)驗(yàn)表明，基于局部線性重構(gòu)的擴(kuò)散坐標(biāo)延拓算法能快速地計(jì)算出全景高光譜影像的擴(kuò)散幾何坐標(biāo)，解決了擴(kuò)散幾何坐標(biāo)難以處理海量規(guī)模的全景高光譜影像問題。然而，與我們之前基于坐標(biāo)系配準(zhǔn)的方法對(duì)比［13］，發(fā)現(xiàn)同樣是由擴(kuò)散幾何坐標(biāo)（φ5，φ6，φ7）構(gòu)成的 RGB彩色影像，表示效果卻大相徑庭，造成這樣結(jié)果的原因是擴(kuò)散幾何坐標(biāo)的計(jì)算本質(zhì)上是數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)（Data－driven）的，在構(gòu)造擴(kuò)散映射時(shí)選擇不同的數(shù)據(jù)點(diǎn)就會(huì)產(chǎn)生不同的擴(kuò)散幾何坐標(biāo)。因此，從實(shí)際應(yīng)用角度而言，更傾向于本文所提出的基于局部線性重構(gòu)的擴(kuò)散坐標(biāo)系延拓算法。因?yàn)樗惴?構(gòu)造的基礎(chǔ)是經(jīng)過精心選擇的Backbone，一旦Backbone確定，那么所延拓的擴(kuò)散坐標(biāo)系也能夠保持一致，在實(shí)際應(yīng)用中就可以依據(jù)Backbone的擴(kuò)散坐標(biāo)系對(duì)原有的基于線性的高光譜分析方法做相應(yīng)的改進(jìn)。同時(shí)，算法3本質(zhì)上是流形半監(jiān)督學(xué)習(xí)的一個(gè)特例，隨著機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域流形半監(jiān)督學(xué)習(xí)方法的不斷完善，對(duì)于海量高光譜影像能夠得出更為精確的擴(kuò)散幾何坐標(biāo)。

圖7 由擴(kuò)散幾何坐標(biāo)（φ5，φ6，φ7）所構(gòu)成的RGB彩色影像

5 結(jié)語(yǔ)

直接用擴(kuò)散幾何坐標(biāo)表示全景高光譜影像存在計(jì)算不可行的困難，由于全景高光譜影像通常達(dá)到計(jì)算機(jī)系統(tǒng)難以直接處理的龐大規(guī)模，使得構(gòu)造擴(kuò)散映射的幾個(gè)關(guān)鍵步驟難以進(jìn)行。本文通過借鑒局部線性嵌入LLE算法［15］的思想，設(shè)計(jì)了局部線性重構(gòu)算法，并將該算法應(yīng)用于全景高光譜影像擴(kuò)散坐標(biāo)表示算法。

從應(yīng)用價(jià)值而言，全景高光譜影像利用擴(kuò)散幾何坐標(biāo)進(jìn)行表示，能夠有效地發(fā)現(xiàn)某一地區(qū)環(huán)境的物種分布情況，對(duì)于實(shí)施大范圍的環(huán)境監(jiān)測(cè)具有重要的意義。如果能夠得到某一地區(qū)充分多的高光譜影像，利用ε－net隨機(jī)采樣就能夠得到該地區(qū)準(zhǔn)確的Backbone，進(jìn)而就可以將此Backbone的擴(kuò)散幾何坐標(biāo)作為該地區(qū)各個(gè)物種的“指紋”特征，將對(duì)日后的應(yīng)用帶來極大的便利。

［1］Bellman R E.Dynamic Programming［M］.New Jersey：Princeton University Press，1957.

［2］Jolliffe T.Principal Components Analysis［M］.Berlin：Springer，1986.

［3］Cox T F，Cox M A A.Multidimensional Scaling［M］.London：Chapman and Hall，2001.

［4］Goodin D G，Gao J C，Henebry G M.The effect of solar illumination angle and sensor view angle on observed patterns of spatial structure in tallgrass prairie［J］.IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing，2004，42（1）：154－65.

［5］Sandmeier S R，Middleton E M，Deering D W，et al.The potential of hyperspectral bidirectional reflectance distribution function data for grass canopy characterization［J］.Journal of Geophysical Research－Atmospheres，1999，104（D8）：9547－9560.

［6］Keshava N，Mustard J F.Spectral unmixing［J］.IEEE Signal Processing Magazine，2002，19（1）：44－57.

［7］Bachmann C M，Ainsworth T L，F(xiàn)usina R A.Modeling data manifold geometry in hyperspectral imagery［C］／／IGARSS 2004：IEEE International Geoscience and Remote Sensing Symposium Proceedings，Vols 1－7－Science for Society：Exploring and Managing a Changing Planet，2004：3203－3206.

［8］Bachmann C M，Ainsworth T L，F(xiàn)usina R A.Exploiting manifold geometry in hyperspectral imagery［J］.IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing，2005，43（3）：441－454.

［9］Bachmann C M，Ainsworth T L，F(xiàn)usina R A.Im－proved manifold coordinate representations of hyperspectral imagery［C］／／Proceedings of the IGARSS 2005：IEEE International Geoscience and Remote Sensing Symposium，Vols 1－8，Proceedings，2005：4307－4310.

［10］Bachmann C M，Ainsworth T L，F(xiàn)usina R A，et al.Bathymetric Retrieval From Hyperspectral Imagery Using Manifold Coordinate Representations［J］.IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing，2009，47（3）：884－897.

［11］Coifmfman R R，Lafon S，Lee A B，et al.Geometric diffusions as a tool for harmonic analysis and structure definition of data：Diffusion maps［J］.Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America，2005，102（21）：7426－7431.

［12］Coifman R R，Lafon S.Diffusion maps［J］.Applied and Computational Harmonic Analysis，2006，21（1）：5－30.

［13］HE J，Zhang L，WANG Q，et al.Using Diffusion Geometric Coordinates for Hyperspectral Imagery Representation［J］.IEEE Geoscience and Remote Sensing Letters，2009，6（4）：767－771.

［14］何軍.空間數(shù)據(jù)低維幾何表示及其應(yīng)用研究［D］.南京：東南大學(xué)儀器科學(xué)與工程學(xué)院，2009.

［15］Roweis S T，Saul L K.Nonlinear dimensionality reduction by locally linear embedding［J］.Science，2000，290（5500）：2323－2325.