李萬繼

（湖北汽車工業(yè)學院理學院，湖北十堰442002）

關于漸近非擴張和漸近偽壓縮映象不動點的迭代逼近問題,在Hilbert 空間、一致凸空間和Banach空間的框架下在文獻[1-7]中討論過。

本文中將繼續(xù)討論漸近偽壓縮映象和漸近非擴張映象的不動點迭代逼近問題,其證明方法大大簡化了文獻[6]中的方法，并且研究了在新的定義下的Ishikawa 隱式迭代序列,及其迭代產(chǎn)生的序列的收斂性。

引理1[8]設是非負實數(shù)列滿足不等式an+1≤(1+δn)an+bn,?n≥1，如果則存在。

定理 設D是E中一非空有界閉凸子集,T∶D→D是具實數(shù)列的一致L-Lipschitz的漸近偽壓縮映象,L≥1。如果F(T)≠φ(F(T)表示T的不動點集),q ∈F(T)是任一給定的點,而且存在一嚴格增加的函數(shù)使得

成立。

式中：j(xn+1-q)∈J(xn+1-q)是按漸近偽壓縮映象定義中由xn+1和q所確定的元。對?x0∈D 定義Ishikawa隱式迭代序列

3）αn→0,βn→0(n→+∞);

4）0 ＜βnL ＜1

證明：首先證明所定義的迭代序列是有意義的。

設一映象V,D→D 如下

對?x1∈D,由可得y1∈D,再由知x2∈D,又由又可得 y2∈D; 再由知x3∈D,繼續(xù)下去可得序列。

下面證{xn}強收斂于q。為了證明的需要，將式（1）變?yōu)?/p>

由迭代序列（2）,可作如下估計：

那么

則

則式（3）變?yōu)?/p>

因為

所以

并且存在N0,當故

因此

2）證明{xn}強收斂于q。

觀察不等式

則

令δ=inf{‖ ‖xn+1-q∶n≥0}≥0。下面證明δ=0。否則δ ＞0,則

由于φ是嚴格增的,則φ(‖ ‖xn+1-q)≥φ(δ)＞0,那么

取和得

由于αn→0,βn→0 且有界。

故

那么又可得到

由歸納法知：對任 意i≥1,有xnj+i→q和ynj+i→q（nj→+∞)。由此得到xn→q,即{}xn強收斂于q。證畢。

[1]Goebel K,kirk W A.A fixed point theorem for asymptotically nonexpansive mappings[J].Pro Amer Math Soc,1972,35（1）∶171-174.

[2]張石生.Banach 空間中漸近非擴張映象不動點的迭代逼近問題[J].應用數(shù)學學報，2001，24（2）：236-241.

[3]Schu,Iterative construction of fixed points of asymptotically nonexpansive mappings[J].J.Math.Anal.Appl.,1991,158∶407-413.

[4]Kirk W A.A fixed point theorem for mappings which do not increase distance Amer[J].Math.Monthly,1965,72∶1004-1006.

[5]Liu Q H.Convergence theorems of the sequence of iterates for asymptotically demi-contractive and hemi-contractive mappings[J].Nonlinear Anal.TMA.,1996,26（11）∶1835-1842.

[6]唐玉超，劉理蔚.賦范線性空間中漸近偽壓縮映象的不動點迭代逼近[J].應用數(shù)學學報，2007，30（5）∶810-815.

[7]Chang S S.Some results for asymptotically pseudo-contractive mappings and asymptotically non-expansive mappings[J].Proc.Amer.Math.Soc,2000,129（3）∶845-853.

[8]Osilike M O,Aniagbosor SC,Akuchu B G.Fixed points of asymptotically demicontrative mappings in arbitrary Banach spaces[J].Pan Amer Math J,2002（12）∶77-88.