謝小娟，聶建多，李時(shí)陽(yáng)，楊 威，孟 偉

(安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

對(duì)模擬信號(hào)頻譜的分析一直是信號(hào)分析的熱點(diǎn)問題。目前所見為了減少頻譜泄漏以提高譜的分辨率的各類文獻(xiàn)，多是基于某一個(gè)方面的研究，如最常見的是在信號(hào)截?cái)喹h(huán)節(jié)采用時(shí)域加窗法［1，3］，也有從信號(hào)自身特點(diǎn)進(jìn)行分析的相關(guān)研究［2，4］。本文基于模擬信號(hào)DFT 譜分析的流程圖(如圖1所示)，先后考查采樣環(huán)節(jié)、數(shù)據(jù)截?cái)喹h(huán)節(jié)及待分析信號(hào)x(t)自身特點(diǎn)這三個(gè)方面，綜合分析了影響信號(hào)頻譜泄漏的四個(gè)因素，并給出了MATLAB 仿真。

1 頻譜泄漏概念

在現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理方式中，對(duì)信號(hào)的頻域分析意義已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出對(duì)其時(shí)域分析，頻域分析可更加直觀地觀察信號(hào)的頻率特性，便于計(jì)算和存儲(chǔ)。而由傅里葉變換理論可得知，若信號(hào)持續(xù)時(shí)間有限長(zhǎng)，則其頻譜無(wú)限寬;若要求信號(hào)頻譜有限寬，則其持續(xù)時(shí)間必然為無(wú)限長(zhǎng)。嚴(yán)格的說，不存在持續(xù)時(shí)間有限的帶限信號(hào)，故對(duì)其不能夠進(jìn)行DFT 變換［1］。因此，用DFT 對(duì)連續(xù)信號(hào)和離散序列進(jìn)行譜分析時(shí)，必須對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行有限點(diǎn)的截取處理，而在用DFT 變換進(jìn)行譜分析時(shí)其結(jié)果必然是近似的。例如在對(duì)于頻率為f1的正弦序列，它的頻譜應(yīng)該只是在f1處有離散譜。但在利用DFT求其頻譜時(shí)進(jìn)行了截?cái)?，然后用觀察的信號(hào)時(shí)間片段進(jìn)行周期延拓處理，結(jié)果使信號(hào)的頻譜不僅f1處有離散譜，而在以f1為中心的頻帶范圍內(nèi)都有譜線出現(xiàn)，它們可以理解為是從f1頻率上“泄漏”出去的，這種現(xiàn)象稱為頻譜“泄漏”。為了有效抑制DFT 譜分析的頻譜泄漏現(xiàn)象，提高譜的分辨率，本文從以下四個(gè)方面綜合進(jìn)行考察。

圖1 利用DFT 計(jì)算連續(xù)信號(hào)頻譜的流程圖

2 抑制頻譜泄漏的方法

2.1 基于高采樣率抑制頻譜泄漏

對(duì)于理想采樣過程，采樣信號(hào)的頻譜X^a(jΩ)和原來模擬信號(hào)的頻譜X(jΩ)之間的關(guān)系為:

(1)式表明，采樣信號(hào)頻譜將以采樣頻率為周期進(jìn)行周期延拓。只要各延拓分量與原頻譜分量之間不發(fā)生頻率上的交疊，則可以完全恢復(fù)原來的模擬信號(hào)。而要保證各延拓分量與原頻譜分量之間不發(fā)生頻率上的交疊，則必須滿足Ωs≥2Ωmax。這就是奈奎斯特采樣定理。

下面對(duì)信號(hào)x(t)=cos(100πt)，進(jìn)行不同頻率的采樣并計(jì)算其DFT 幅度譜如圖2 所示。

圖2 同一信號(hào)片段不同采同頻率計(jì)算的幅度譜

由圖2 可見，采樣頻率越高，采樣信號(hào)頻譜越接近原始信號(hào)理想頻譜，泄漏現(xiàn)象也明顯改善。

2.2 時(shí)域加窗法抑制頻譜泄漏的研究

由圖1 所示，信號(hào)經(jīng)采樣后再截?cái)嗵幚懋a(chǎn)生能量泄漏是必然的，下面在截?cái)喹h(huán)節(jié)通過時(shí)域加窗來改善頻譜泄漏現(xiàn)象。假定采樣后的離散序列x(n)，經(jīng)過截?cái)嘧兂捎邢揲L(zhǎng)序列xN(n)，則:

其中，ωN(n)為窗函數(shù)(截?cái)嗪瘮?shù))。窗函數(shù)是一個(gè)頻帶無(wú)限的函數(shù)，所以即使原信號(hào)x(n)是有限帶寬信號(hào)，而在截?cái)嘁院笠脖厝怀蔀闊o(wú)限帶寬的函數(shù)，使得截?cái)嘈盘?hào)在頻域的能量分布擴(kuò)展。如果增大截?cái)嚅L(zhǎng)度，即窗函數(shù)窗口加寬，則窗譜WN(ejΩ)將被壓縮變窄。雖然理論上講，其頻譜范圍仍為無(wú)限寬，但實(shí)際上中心頻率以外的頻率分量衰減較快，因而泄漏誤差將減小。當(dāng)窗口寬度T 趨于無(wú)窮大時(shí)，則譜窗將變?yōu)棣?Ω)函數(shù)，即窗口無(wú)限寬，即不截?cái)啵筒淮嬖谛孤┱`差。

泄漏與窗函數(shù)頻譜的兩側(cè)旁瓣有關(guān)，如圖3 所示。為此，在時(shí)域中可根據(jù)不同信號(hào)對(duì)頻譜質(zhì)量的要求，采用不同的窗函數(shù)如表1 所示來進(jìn)行截?cái)唷?/p>

圖3 矩形窗頻譜函數(shù)幅度譜

表1 常用窗函數(shù)基本參數(shù)

下面通過對(duì)信號(hào)x(t)=cos(60πt)+cos(100πt)進(jìn)行加窗分析，可以看出各窗函數(shù)的性質(zhì)和特點(diǎn)。

圖4 信號(hào)的真實(shí)頻譜

圖5 采用不同窗函數(shù)截?cái)嗪笮盘?hào)的頻譜

說明:

(a)矩形窗優(yōu)點(diǎn)是主瓣比較集中，缺點(diǎn)是旁瓣較高，并有負(fù)旁瓣，甚至出現(xiàn)負(fù)譜現(xiàn)象。

(b)三角窗缺點(diǎn)是主瓣比較寬，優(yōu)點(diǎn)是旁瓣衰減大。

(c)漢寧窗是3 個(gè)矩形時(shí)間窗的頻譜之和，它可以使旁瓣互相抵消，消去高頻干擾和漏能。

(d)海明窗也是余弦窗的一種，海明窗加權(quán)的系數(shù)能使旁瓣達(dá)到更小。

對(duì)于窗函數(shù)的選擇，應(yīng)考慮被分析信號(hào)的性質(zhì)與處理要求。如果僅要求精確讀出主瓣頻率，而不考慮幅值精度，則可選用主瓣寬度比較窄而便于分辨的矩形窗，例如測(cè)量物體的自振頻率等;如果分析窄帶信號(hào)，且有較強(qiáng)的干擾噪聲，則應(yīng)選用旁瓣幅度小的窗函數(shù)，如漢寧窗、三角窗等;對(duì)于隨時(shí)間按指數(shù)衰減的函數(shù)，可采用指數(shù)窗提高信噪比。

2.3 信號(hào)初始相位對(duì)頻譜泄漏的影響

頻譜泄漏會(huì)降低譜的分辨率，頻譜分辨率是指所采用的算法能夠識(shí)別兩個(gè)單音信號(hào)的最小頻譜間隔。在實(shí)際測(cè)量中，通常根據(jù)頻譜分辨率確定所需要的最小采樣點(diǎn)數(shù)，一般認(rèn)為DFT 頻譜分辨率Δf=fs/N，然而在實(shí)際應(yīng)用中，根據(jù)此定義確定的采樣點(diǎn)數(shù)N 往往不能滿足要求。

對(duì)于信號(hào)x(n)=sin(0.04πn)+cos(0.08πn)，其相位差為3π/2。圖6 中圖(a)和圖(b)分別給出了N=50 和N=100 點(diǎn)時(shí)DFT 的幅度頻譜。而對(duì)于相位差為0 的x(n)=cos(0.04πn)+cos(0.08πn)，圖(c)、(d)分別給出N=50 和100 點(diǎn)時(shí)DFT 的幅度頻譜。

圖6 不同初始相位的信號(hào)的頻譜

由圖6 可見，為了區(qū)分兩個(gè)頻率分量，對(duì)于相位差不為0時(shí)的兩個(gè)單頻信號(hào)，當(dāng)N=100 時(shí)才能正確區(qū)分，而相位差為0 的兩個(gè)單頻信號(hào)，當(dāng)N=50 即能正確區(qū)分，由此驗(yàn)證了文獻(xiàn)［2］所述初相對(duì)DFT 頻譜分辨率的影響。

2.4 周期正弦信號(hào)的截?cái)嚅L(zhǎng)度對(duì)頻譜泄漏的影響

對(duì)信號(hào)x(n)=cos(2πnfa/fs)=sin(2πn/8)按采樣頻率fs=8fa采樣，截取長(zhǎng)度N 分別選N=20 和N=16，觀察其DFT 結(jié)果的幅度譜。

圖7 不同截取長(zhǎng)度的正弦信號(hào)及DFT 結(jié)果

計(jì)算結(jié)果如圖7 所示，(a)和(b)分別是N=20 時(shí)的截取信號(hào)和DFT 結(jié)果，由于截取了兩個(gè)半周期，頻譜出現(xiàn)泄漏;(c)和(d)分別是N=16 時(shí)的截取信號(hào)和DFT 結(jié)果，由于截取了兩個(gè)整周期，得到單一譜線的頻譜。上述頻譜的誤差主要是由于時(shí)域中對(duì)信號(hào)的非整周期截?cái)喈a(chǎn)生的頻譜泄漏。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文綜合分析了影響正弦信號(hào)DFT 譜分析頻譜泄漏的四個(gè)因素，并結(jié)合實(shí)例進(jìn)行了MATLAB 仿真。結(jié)果表明采樣頻率的高低、數(shù)據(jù)截?cái)嗟拈L(zhǎng)度和方法、以及信號(hào)本身的特性(周期性和初始相位)都在一定程度上影響譜分析的精度。

［1］高西全，丁玉美.數(shù)字信號(hào)處理［M］.西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2008.

［2］王剛，王艷芬，張曉光，等.關(guān)于離散傅里葉變換頻率分辨率的討論［J］.電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)，2006(6)：18－20.

［3］陳衛(wèi)東，楊紹全.加窗對(duì)離散傅里葉變換測(cè)頻分辨率研究［J］.西安電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2000(2) ：157－160.

［4］李春宇，張曉林，張展，等.基于DFT 的正弦波初相估計(jì)算法及誤差分析［J］.北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，33(5) ：580－584.