鄒 瑩，姚 志，姜東光，孫繼忠

（大連理工大學(xué) 物理與光電工程學(xué)院，遼寧 大連116024）

1 引 言

在物理學(xué)發(fā)展史上，弗蘭克-赫茲實(shí)驗(yàn)舉足輕重.此實(shí)驗(yàn)無(wú)可爭(zhēng)辯地驗(yàn)證了玻爾的量子理論——電子處于不連續(xù)的能級(jí)上.弗蘭克和赫茲由于在這方面的杰出貢獻(xiàn)獲得了1925年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)［1］.

1914年，即玻爾理論發(fā)表的第二年，弗蘭克（F.Franck）和赫茲（G.Hertz）進(jìn)行了電子轟擊原子的實(shí)驗(yàn)，在充汞的放電管中發(fā)現(xiàn)：透過(guò)汞蒸氣的電子流隨電子的能量呈現(xiàn)有規(guī)律的周期性變化，間隔為4.9eV，證實(shí)了原子內(nèi)部能量是量子化的，為玻爾發(fā)表的原子理論提供了堅(jiān)實(shí)的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)［1］.目前，該實(shí)驗(yàn)也是許多高校物理教學(xué)中的基本實(shí)驗(yàn).早期的弗蘭克-赫茲實(shí)驗(yàn)都是用電子轟擊汞原子，但是因?yàn)楣魵庥卸?，而且常溫下汞為液態(tài)汞管加熱困難，因此，人們?cè)趯?shí)驗(yàn)中選擇了用氬氣替代汞蒸氣［2］.但是在長(zhǎng)期的實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，人們還是發(fā)現(xiàn)了許多實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論分析方面的偏差.本文將介紹筆者編制的蒙特卡羅仿真程序及其原理.該程序可理論再現(xiàn)弗蘭克-赫茲實(shí)驗(yàn)中電子與氬原子的相互作用過(guò)程，定量評(píng)估碰撞、運(yùn)行參量對(duì)結(jié)果的影響.一方面，此模擬程序可以用來(lái)解決學(xué)生的疑惑，加深對(duì)量子能級(jí)概念的理解，另一方面可以為改進(jìn)實(shí)驗(yàn)方案提供理論指導(dǎo).

20世紀(jì)中葉，計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)使數(shù)學(xué)方法模擬復(fù)雜的實(shí)驗(yàn)成為可能.在這種情況下，蒙特卡羅方法作為一種可行的而且是不可或缺的計(jì)算方法被提出，并迅速發(fā)展起來(lái)［3-4］.蒙特卡羅方法受問(wèn)題條件限制的影響小，容易處理帶有大量碰撞的問(wèn)題，特別是各向異性散射問(wèn)題，提供的物理信息較為豐富.該方法在電子與固體相互作用、基本粒子理論、晶體生長(zhǎng)等領(lǐng)域中的研究都得到了成功的應(yīng)用.近年來(lái)，蒙特卡羅方法很適合模擬陰極區(qū)的電子運(yùn)動(dòng)［5］，諸多大氣壓放電的模擬過(guò)程中都使用了該方法［6］.

2 實(shí)驗(yàn)簡(jiǎn)述

圖1中，K為陰極，VG1K為正向電壓，VG2K為加速電壓，VG2A為減速電壓.電子由陰極發(fā)出經(jīng)電場(chǎng)VG2K加速趨向陽(yáng)極，只要電子能量能夠克服減速電場(chǎng)VG2A，就能穿過(guò)柵極G2到達(dá)極板A形成電子流.由于管中充有氣體原子，電子前進(jìn)的過(guò)程中要與氬原子發(fā)生碰撞，按照量子力學(xué)的觀點(diǎn)，氬原子對(duì)于外來(lái)的能量，不是“來(lái)者皆收”，而是當(dāng)外來(lái)能量達(dá)到激發(fā)閾能時(shí)，它才吸收，即氬原子內(nèi)存在能量分立的量子態(tài).在電子能量低于激發(fā)閾能的情況下，電子能量越高，就越容易到達(dá)極板的A極，電流也就越來(lái)越大.如果電子能量達(dá)到或超過(guò)激發(fā)閾能時(shí)，電子將有可能把相應(yīng)的能量傳給氬原子，如果電子在到達(dá)柵極G2時(shí)，能量不足以克服反向電壓，那么電子將不會(huì)到達(dá)極板，因此電流大幅降低.由于原子內(nèi)部能量是量子化的，這樣得到極板的電流會(huì)隨著加速電壓變化而呈現(xiàn)周期性的變化.

圖1 弗蘭克-赫茲管實(shí)驗(yàn)裝置圖

3 數(shù)值模擬方法

本文采用蒙特卡羅方法，直接模擬了從陰極發(fā)射的電子在電場(chǎng)的作用下的運(yùn)動(dòng).氣體的溫度比較低，可假設(shè)原子是靜止的，只存在軸向電場(chǎng)，在2次碰撞間的電子運(yùn)動(dòng)軌跡處在同一平面內(nèi).采用位置空間一維，速度空間三維的模型，求解牛頓運(yùn)動(dòng)方程，

在推進(jìn)過(guò)程中，根據(jù)電子與原子的碰撞截面，通過(guò)抽樣產(chǎn)生一系列隨機(jī)數(shù)來(lái)確定電子與原子是否發(fā)生碰撞；如發(fā)生碰撞，判斷碰撞的位置、類(lèi)型及碰撞前后電子的速度變化.在1個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)，第κ種類(lèi)型的碰撞概率為

這里σtot為碰撞總截面，ε為帶電粒子能量，v為粒子的運(yùn)動(dòng)速度，Nneutral為背景氣體中性粒子密度，在本文中即氬原子密度為

其中p為氣體壓強(qiáng)，單位為Pa；T為氣體溫度，單位為K；KB為玻爾茲曼常量.判斷粒子運(yùn)動(dòng)1個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)Δt后是否可以發(fā)生碰撞，可由式（3）中所求得的概率p決定.取隨機(jī)數(shù)R，若R＞p，則不發(fā)生碰撞；否則，若R＜p，粒子發(fā)生碰撞.

若帶電粒子發(fā)生碰撞，則需要判斷發(fā)生何種類(lèi)型的碰撞，首先應(yīng)得到粒子具有能量ε時(shí)的各種碰撞的總截面以及各種碰撞對(duì)應(yīng)的截面，以確定每種碰撞所占的概率，然后取1個(gè)在［0，1］上均勻分布的隨機(jī)數(shù)R，R所在的區(qū)間即決定了它的碰撞類(lèi)型.圖2所示即為電子與氬原子碰撞截面數(shù)據(jù).只考慮了3個(gè)電子激發(fā)態(tài)，因?yàn)楦吣芗?jí)的碰撞截面相比非常小，可以忽略.同樣的道理，也只考慮了第一電離態(tài).

圖2 電子與氬原子碰撞截面圖1

在氬氣中，對(duì)于電子與中性粒子的碰撞，只考慮3種類(lèi)型碰撞，即彈性碰撞、激發(fā)碰撞和電離碰撞.其碰撞截面分別為σela，σexci，σion，總的碰撞截面為σtot.判斷碰撞類(lèi)型的具體過(guò)程如下：

a.取隨機(jī)數(shù)R.

b.R 同σela／σtot相比較，若R＜σela／σtot，則發(fā)生彈性碰撞.

c.當(dāng) R＞σela／σtot，則再次產(chǎn)生隨機(jī)數(shù) R 同（σela＋σexci）／σtot比較；如果R＜（σela＋σexci）／σtot，則發(fā)生激發(fā)碰撞，否則繼續(xù)下一步.

d.若 R＞ （σela＋σexci）／σtot，則 發(fā) 生 電 離 碰撞［6］.

發(fā)生彈性碰撞、非彈性碰撞，電子的散射角χ和方位角φ 由（5）～（6）式確定：

式中σj（εc，χ′）是微分截面，電子速度與x軸夾角的余弦為

其中θc為碰撞前的θ值.發(fā)生彈性碰撞、激發(fā)碰撞，散射電子的動(dòng)能分別變?yōu)?/p>

式中m／M是電子與氬原子的質(zhì)量比，wj是激發(fā)閾能.分2種情況考慮發(fā)生電離碰撞后的散射、出射電子的動(dòng)能變化.第一種情況，只電離出1個(gè)電子.由于無(wú)法分辨散射電子與電離產(chǎn)生的電子，其中任一個(gè)電子的動(dòng)能由（10）式確定：

另一個(gè)電子的動(dòng)能為

這里wi為電離能.第二種情況，電離出1個(gè)電子并同時(shí)使原子激發(fā)或同時(shí)電離出多個(gè)電子.這時(shí)，假設(shè)1個(gè)電子的動(dòng)能為入射動(dòng)能與電離能的差值，其余電子的動(dòng)能為0［7］.對(duì)電離碰撞，假定碰撞前后電子的速度方向不發(fā)生變化［8］.激發(fā)過(guò)程可假設(shè)散射電子沿角向近似各向同性［9］.

模擬過(guò)程中，大量電子經(jīng)過(guò)加速間隙加速，與背景氬氣發(fā)生碰撞，最終被電極收集.在穩(wěn)態(tài)條件下，極板上收集的電流值是根據(jù)（12）式確定：

式中SA是極板A的面積，dQ／dt是極板A上單位面積、單位時(shí)間內(nèi)收集的電量，而dQ′／dt是模擬中極板A上單位面積、單位時(shí)間內(nèi)收集的電量.由于模擬中跟蹤的電子不能像實(shí)際中那么多但必須從統(tǒng)計(jì)上足夠多，這樣在穩(wěn)態(tài)條件下，dQ′／dt一定正比于dQ／dt.dQ′／dt可以按（13）式計(jì)算，

式中N′是極板上收集的電子數(shù)，e是電子的電量，t是收集時(shí)的時(shí)間，t0是起始時(shí)刻，或電子被電離產(chǎn)生時(shí)的時(shí)刻.

程序框架圖如圖3所示.

4 模擬結(jié)果與討論

模擬參量分別為：壓強(qiáng)為101kPa，溫度為300K，平均自由程10-6m，時(shí)間步長(zhǎng)遠(yuǎn)小于粒子的平均碰撞時(shí)間，模擬粒子數(shù)為1×105，極板電壓從0變化到85V，極板寬度5cm.

圖3 程序框架圖

4.1 模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較

考慮電子與氬原子發(fā)生彈性碰撞、激發(fā)碰撞和電離碰撞，其中激發(fā)碰撞可將氬原子的外層電子激 發(fā) 到 多 個(gè) 激 發(fā) 態(tài)，包 括 4s′1／2態(tài)、3d1／2態(tài)、3d′3／2態(tài)，對(duì)應(yīng)的閾能分別為11.8eV，14.1eV，14.3eV，此外，電離碰撞對(duì)應(yīng)閾能為15.76eV，模擬結(jié)果如表1所示.

表1 模擬結(jié)果1

實(shí)驗(yàn)曲線(xiàn)和模擬曲線(xiàn)如圖4所示.

圖4中，橫坐標(biāo)表示兩極板間所加的電壓值，縱坐標(biāo)表示無(wú)量綱化后的電流.其中，對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)參量分別為：電壓VG2K為0～85V，燈絲電壓為3.0V，拒斥電壓為5.4V.

圖4 實(shí)驗(yàn)曲線(xiàn)和模擬曲線(xiàn)

通過(guò)對(duì)比實(shí)驗(yàn)曲線(xiàn)和模擬曲線(xiàn)，發(fā)現(xiàn)2種方法得到的結(jié)果符合很好.同時(shí)，也可以通過(guò)模擬過(guò)程合理地解釋實(shí)驗(yàn)過(guò)程，電子在2個(gè)極板間受到加速電場(chǎng)的作用而前進(jìn)，在前進(jìn)過(guò)程中將與背景氣體氬原子發(fā)生碰撞，包括彈性碰撞、激發(fā)碰撞和電離碰撞.若電子與氬原子發(fā)生彈性碰撞，因?yàn)殡娮拥馁|(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于原子的質(zhì)量，所以幾乎沒(méi)有發(fā)生能量的轉(zhuǎn)移，即電子不損失能量，但是彈性碰撞可能會(huì)改變電子運(yùn)動(dòng)的軌跡，導(dǎo)致電子往復(fù)運(yùn)動(dòng)進(jìn)而增加電子與背景氣體的碰撞次數(shù).當(dāng)極板間電壓值達(dá)到或超過(guò)氬原子的第一激發(fā)電位時(shí)，電子與氬原子發(fā)生非彈性碰撞，包括激發(fā)碰撞和電離碰撞.其中，由于氬原子內(nèi)部存在一系列激發(fā)量子態(tài)，因此若電子的能量達(dá)到一定值時(shí)，可能使氬原子受激到更高的激發(fā)態(tài)；同時(shí)電子也有可能使氬原子發(fā)生電離碰撞.當(dāng)發(fā)生激發(fā)碰撞和電離碰撞時(shí)，電子將損失相應(yīng)的閾能，導(dǎo)致電流迅速下降.除此之外，電子在前進(jìn)過(guò)程中也可能并不與氬原子發(fā)生碰撞，即不損失能量，直接到達(dá)極板的另一端.最終，到達(dá)極板A上的電子將對(duì)電流值做出貢獻(xiàn).隨著極板間電壓的增大，到達(dá)極板的電子數(shù)越來(lái)越多，所以電流整體成上升趨勢(shì).

在圖4中，實(shí)驗(yàn)曲線(xiàn)和模擬曲線(xiàn)略有差別，這是因?yàn)槟M和真實(shí)實(shí)驗(yàn)條件并不完全相同.例如，裝有背景氣體氬氣的管內(nèi)氣體壓強(qiáng)數(shù)值不具體，只能近似認(rèn)為101kPa；電子從陰極發(fā)射出來(lái)速度是隨機(jī)分布的，在模擬中近似認(rèn)為電子的初始速度符合麥克斯韋分布.同時(shí)，實(shí)驗(yàn)本身存在著系統(tǒng)誤差，而且測(cè)量也存在一定的誤差，這些因素都會(huì)導(dǎo)致模擬結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在差別，但是并不影響總體趨勢(shì)和物理規(guī)律.

4.2 探索峰間距變大的因素

從實(shí)驗(yàn)和模擬結(jié)果曲線(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)它們的峰（谷）間距并不完全相等，為了探究造成這種現(xiàn)象的因素，另外考慮了以下2種電子與氬原子發(fā)生碰撞的模型：

1）假設(shè)電子與氬原子發(fā)生彈性碰撞，只發(fā)生從氬原子基態(tài)到第一激發(fā)態(tài)（4s′1／2態(tài)）間的激發(fā)碰撞（對(duì)應(yīng)的閾能為11.8eV）和電離碰撞.

2）假設(shè)電子與氬原子只發(fā)生彈性碰撞和激發(fā)碰撞，不發(fā)生電離碰撞.

模擬結(jié)果分別如表2～3所示.

表2 模擬結(jié)果2（電子與氬原子發(fā)生彈性碰撞，激發(fā)碰撞和電離碰撞）

表3 模擬結(jié)果3（電子與氬原子發(fā)生彈性碰撞和激發(fā)碰撞）

利用表1～3中的模擬數(shù)據(jù)可以做出弗蘭克-赫茲實(shí)驗(yàn)曲線(xiàn)中峰值間隔與峰值個(gè)數(shù)的關(guān)系圖（見(jiàn)圖5），其中直線(xiàn)為用最小二乘法得出的擬合曲線(xiàn).

圖5 峰間距變化的線(xiàn)性擬合曲線(xiàn)

從擬合曲線(xiàn)不難看出，當(dāng)不考慮電子與氬原子發(fā)生電離碰撞時(shí)，峰間距變化不顯著；而考慮電離碰撞同時(shí)考慮電子激發(fā)碰撞時(shí)，分別假設(shè)電子碰撞氬原子使其最外層電子只能激發(fā)到第一激發(fā)態(tài)（見(jiàn)表2）和可能激發(fā)到多個(gè)激發(fā)態(tài)時(shí)，峰間距變化趨勢(shì)幾乎相同（見(jiàn)表1）.可見(jiàn)，電子與氬原子發(fā)生電離碰撞是影響峰間距變化的主要因素.

同時(shí)，通過(guò)對(duì)表1中的數(shù)據(jù)擬合曲線(xiàn)進(jìn)行外推，易得到該曲線(xiàn)與縱軸的截距約為12.1V.對(duì)應(yīng)電子在電場(chǎng)中獲得能量為12.1eV，與理論上氬原子最外層電子躍遷到第一激發(fā)態(tài)所需的電壓值11.8eV非常接近.

4.3 關(guān)于電子與氬原子碰撞截面的討論

結(jié)合本實(shí)驗(yàn)中的實(shí)驗(yàn)條件，計(jì)算出了極板間電壓在0～85V之間時(shí)電子的彈性碰撞和非彈性碰撞的截面圖，如圖6所示.

圖6 電子與氬原子碰撞截面圖2

當(dāng)電子的能量達(dá)到激發(fā)碰撞和電離碰撞的閾能時(shí)，其中激發(fā)碰撞截面和電離碰撞截面隨著極板間電壓的增大而增大，發(fā)生激發(fā)碰撞和電離碰撞的概率也相應(yīng)地增加.同時(shí)不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于激發(fā)碰撞而言，顯然電子被激發(fā)到第一激發(fā)態(tài)的碰撞截面概率較大，被激發(fā)到其他激發(fā)態(tài)的碰撞截面概率非常小.通過(guò)圖6的曲線(xiàn)趨勢(shì)，發(fā)現(xiàn)隨著電子能量增加，電離碰撞截面逐漸比激發(fā)碰撞截面大.因?yàn)殡婋x碰撞的閾能比激發(fā)碰撞閾能大，所以電離碰撞起的作用越來(lái)越大.如果電離碰撞起的作用過(guò)大，將影響測(cè)量氬原子的第一激發(fā)電位，因此在實(shí)驗(yàn)中要盡可能地避免電離碰撞所起的作用，所以盡量在電壓不太高時(shí)進(jìn)行多次測(cè)量.

4.4 程序的其他功能

該計(jì)算機(jī)程序還可以用于模擬探究彈性碰撞在這一物理過(guò)程中所起的作用.例如，雖然彈性碰撞使電子損失的能量很小，但是彈性碰撞可能改變電子的運(yùn)動(dòng)方向和軌跡，進(jìn)而導(dǎo)致碰撞次數(shù)的變化.我們的程序可以很好地追蹤電子運(yùn)動(dòng)的軌跡，深入探究彈性碰撞在這一實(shí)驗(yàn)過(guò)程中所起的作用.除此之外，還可以探究在這一物理過(guò)程中溫度、壓強(qiáng)等因素對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響，為實(shí)驗(yàn)工作提供合適的參量支持.

5 結(jié) 論

運(yùn)用蒙特卡羅數(shù)值方法，考慮了實(shí)際弗蘭克-赫茲實(shí)驗(yàn)中的各種物理過(guò)程，建立數(shù)值模型，并編制了相應(yīng)的模擬程序.選擇與實(shí)驗(yàn)對(duì)應(yīng)的輸入?yún)⒘?，用本程序可以得到與實(shí)驗(yàn)的實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)定量一致的數(shù)據(jù).配合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，此程序可以幫助教師形象地解釋電流-電壓曲線(xiàn)的許多難以理解的問(wèn)題，例如電流幅值為什么隨著加速電壓增加迅速上升？為什么電流峰值間距間對(duì)應(yīng)的電壓差值隨著加速電壓增加有變大的傾向？此仿真程序可以幫助學(xué)生加深理解弗蘭克-赫茲實(shí)驗(yàn)中的各種物理過(guò)程，如彈性碰撞起多大作用，如何起作用？為什么？電離碰撞起多大作用，對(duì)實(shí)驗(yàn)的誤差起什么作用？這些過(guò)程的正確理解可以進(jìn)一步幫助學(xué)生接受量子能級(jí)概念.另外，利用此程序還可以幫助優(yōu)化實(shí)驗(yàn)條件，設(shè)計(jì)更合理實(shí)驗(yàn)途徑.

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