張朝鑫 席 平 胡畢富

(北京航空航天大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，北京100191)

在圖像處理與模式識(shí)別中，矩及矩的方程已被證明是一種非常實(shí)用的工具［1-3］.在所有不同種類的矩中，應(yīng)用最為廣泛的是幾何矩.幾何矩及其不變矩最早在1962年由Hu［4］提出.但幾何矩不是正交矩，這也導(dǎo)致當(dāng)用幾何矩描述圖像時(shí)產(chǎn)生信息冗余，而且不能由幾何矩進(jìn)行圖像重構(gòu);另外，幾何矩是定義在連續(xù)空間上的，在數(shù)字圖像上計(jì)算時(shí)會(huì)不可避免地引入近似而導(dǎo)致離散誤差.為了解決以上第1個(gè)問題，Teague提出了正交的Legendre矩與 Zernike 矩［5］.同時(shí)，復(fù)數(shù)矩［6］以及Gaussian-Hermite(GH)矩［7］也相繼被提出.針對(duì)第2個(gè)問題，一些離散形式的正交矩也相繼被提出.Mukundan等基于Tchebichef多項(xiàng)式提出了離散的 Tchebichef矩［8］，Yap 等提出了離散正交的Krawtchouk 矩［9］，以及 Zhu 等提出 了離 散 的Racah 矩［10］和 Dual Hahn 矩［11］.離散正交矩在計(jì)算的時(shí)候不需要進(jìn)行近似也沒有信息冗余，因此具有一定的優(yōu)勢(shì).在這期間，也有一些其他形式的矩被提出并應(yīng)用［12］，甚至推廣到三維空間中［13］.自從Hu基于代數(shù)的方法提出了著名的7個(gè)幾何不變矩之后，關(guān)于矩的不變矩成了研究的熱點(diǎn)，并被廣泛應(yīng)用到圖像處理與模式識(shí)別中.不變矩包括位移不變、旋轉(zhuǎn)不變、尺度不變和仿射不變等.在圖像處理領(lǐng)域，旋轉(zhuǎn)不變的性質(zhì)最為重要.有很多研究集中在幾何矩的不變矩，其中貢獻(xiàn)最大的是Flusser［14］，他通過復(fù)數(shù)矩，推導(dǎo)幾何矩的旋轉(zhuǎn)不變矩的獨(dú)立完備集，對(duì)幾何矩的尺度不變矩也做了一定的研究［15］.Zernike矩的旋轉(zhuǎn)不變矩很容易就可以得到，因?yàn)樗嵌x在極坐標(biāo)下的矩.Chong等給出了推導(dǎo)Zernike矩的位移不變矩的方法［16］，還推導(dǎo)了Legendre矩的位移與尺度不變矩［17］.也有一些研究集中在離散正交矩的不變矩的推導(dǎo)上，例如，Zhu等推導(dǎo)了離散的Tchebichef矩的位移與尺度不變矩［18］.

雖然GH矩是定義在連續(xù)空間上，比起離散的正交矩，在圖像處理中，GH矩依舊有一些優(yōu)勢(shì).GH矩基函數(shù)的過零點(diǎn)的分布就是一個(gè)很好的例證.GH矩基函數(shù)的過零點(diǎn)分布比其他矩更加均勻，例如離散的Tchebichef矩，這也就說明GH矩具有更強(qiáng)的圖像特征表述能力［19］.另外，從計(jì)算角度講，Tchebichef矩等基函數(shù)中存在階乘的運(yùn)算，使得它們計(jì)算非常耗時(shí)，而GH矩的計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單許多.因此，對(duì)GH矩的研究具有實(shí)際應(yīng)用意義.Yang等在文獻(xiàn)［19］中嘗試推導(dǎo)了GH矩的旋轉(zhuǎn)不變矩，只說明幾何矩的旋轉(zhuǎn)不變矩形式也適合不帶歸一系數(shù)的GH矩.但他們并沒有考慮到不變矩的獨(dú)立性與完備性，而且去掉歸一系數(shù)的做法有可能使矩的計(jì)算出現(xiàn)溢出.Refregier在文獻(xiàn)［20］中定義極坐標(biāo)形式下的Hermite多項(xiàng)式以及“Shapelet”，并用于星云圖像分析中，但沒有研究其旋轉(zhuǎn)不變的性質(zhì).事實(shí)上，“Shapelet”與Shen提出的GH矩［7］是完全一樣的，只是叫法與應(yīng)用領(lǐng)域不同.本文從文獻(xiàn)［14，19-20］得到啟發(fā)，重點(diǎn)研究了GH矩的性質(zhì)，側(cè)重旋轉(zhuǎn)不變矩的獨(dú)立性與完備性，把GH矩推廣到極坐標(biāo)下，定義極坐標(biāo)形式的GH矩，并通過極坐標(biāo)下的形式推導(dǎo)了GH矩的旋轉(zhuǎn)不變矩，給出推導(dǎo)所有GH矩旋轉(zhuǎn)不變矩的獨(dú)立完備集的方法.

1 GH矩

1.1 GH矩基函數(shù)

首先定義GH多項(xiàng)式:

其中，n是非負(fù)整數(shù);Hn(x)是n次Hermite多項(xiàng)式，一般形式為

圖1給出了GH矩前5階矩的基函數(shù)的灰度圖像.

圖1 GH矩的前5階矩的基函數(shù)Fig.1 Basic functions under order 5 of GH moments

1.2 GH矩定義

給定圖像函數(shù)f(x，y)，并由式(1)的基函數(shù)，GH矩定義為

由定義可知，事實(shí)上，GH矩是由圖1中GH矩的基函數(shù)與圖像進(jìn)行卷積運(yùn)算得到.

1.3 用升降算符計(jì)算GH矩的基

事實(shí)上，GH矩的基函數(shù)是量子力學(xué)中量子諧振子的本征函數(shù)，而階數(shù)m，n即為本征函數(shù)對(duì)應(yīng)的本征值.具體階數(shù)的本征函數(shù)可以通過初始本征函數(shù)與算符的迭代作用計(jì)算得到.因此，GH矩的基函數(shù)可以通過構(gòu)建升降算符來(lái)計(jì)算.

量子諧振子的降算符和升算符分別為

其中表示共軛，它們的對(duì)易關(guān)系是［a^，a^］=1.

利用升算符，給定初始函數(shù)，以及以下的遞推關(guān)系，可以計(jì)算得到一系列本征函數(shù):

因此，所有的GH矩的基函數(shù)都可以通過(0，0)階基函數(shù)與升算符計(jì)算得到.

1.4 離散形式

GH矩是定義在連續(xù)區(qū)間(-∞，∞)上的.GH矩中存在尺度因子σ，在計(jì)算矩之前應(yīng)先設(shè)定好大小.對(duì)于不同大小的圖像，為了更方便設(shè)定尺度因子，應(yīng)把圖像坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到一個(gè)固定的區(qū)間里.因此，這里根據(jù)通常的使用習(xí)慣選擇區(qū)間［-1，1］，即對(duì)于一個(gè)定義在區(qū)間［0≤i，j≤K-1］上的數(shù)據(jù)圖像I(i，j)，圖像坐標(biāo)首先通過下面的式子進(jìn)行轉(zhuǎn)換:

那么，定義在圖像I(i，j)上p+q階的GH矩就可以通過式(13)計(jì)算得到:

2 PGH矩

2.1 PGH矩的基函數(shù)

為了構(gòu)造極坐標(biāo)下的 GH矩(PGH，Polar-Gaussian-Hermite)的基函數(shù)，先定義左右降算符如下:

同樣，利用左右升算符，給定初始函數(shù)，以及以下遞推關(guān)系，可以計(jì)算得到一系列本征函數(shù):

把左右升算符轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo)形式，由式(7)代入式(14)和式(15)，并由x=rcosθ，y=rsinθ可以得到:

那么PGH矩的基函數(shù)定義為

圖2給出了PGH矩的前5階矩的基函數(shù)的灰度圖像.

圖2 PGH矩前5階矩基函數(shù)Fig.2 Basic functions under order 5 of PGH moments

2.2 PGH矩定義

給定圖像函數(shù) f(r，θ)，并由式(20)的基函數(shù)，可以定義PGH矩為

2.3 GH矩與PGH矩的關(guān)系

前面已經(jīng)給出了GH矩和PGH矩的定義，以及它們的基函數(shù)，同時(shí)也給出了各自用升降算符來(lái)計(jì)算所有基函數(shù)的方法.

那么由遞推關(guān)系式(11)與式(16)，并聯(lián)立兩組升算符之間的關(guān)系，二項(xiàng)式展開，可以得到GH矩和PGH矩一一對(duì)應(yīng)的相互轉(zhuǎn)換公式:

3 GH矩的旋轉(zhuǎn)不變矩

由圖2a可以看出，當(dāng)p=q，即對(duì)角線上的實(shí)數(shù)部分的基函數(shù)是旋轉(zhuǎn)不變的.已經(jīng)知道，GH矩與PGH矩是一一對(duì)應(yīng)的，所以，由轉(zhuǎn)換公式(24)就可以推導(dǎo)GH矩的旋轉(zhuǎn)不變矩的形式.但是這樣得到的GH矩的旋轉(zhuǎn)不變矩并不是獨(dú)立的，更重要的，僅僅只是由p=q的實(shí)數(shù)部分推導(dǎo)得到的GH矩的旋轉(zhuǎn)不變矩不是完備集.本文的目的是推導(dǎo)GH矩的旋轉(zhuǎn)不變矩的獨(dú)立完備集.

3.1 旋轉(zhuǎn)不變的推導(dǎo)

為了推導(dǎo)GH矩的旋轉(zhuǎn)不變矩，已經(jīng)把GH矩推導(dǎo)到極坐標(biāo)空間中，即PGH矩.而由于PGH矩是定義在極坐標(biāo)空間中，具有以下重要的旋轉(zhuǎn)性質(zhì).

定理1 假設(shè)圖像f經(jīng)過旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α后為 f'，f'(r，θ)=f(r，θ+ α)，f'的 PGH 矩表示為P'p，q，那么

證明是顯而易見的.

如果只是用PGH矩的模來(lái)構(gòu)造一組旋轉(zhuǎn)不變矩，并不能構(gòu)成一組完備集，遺失了很多有用的不變矩.下面的理論將構(gòu)建一組旋轉(zhuǎn)不變矩的獨(dú)立的完備集.

定理 2 n ≥ 1，ki，pi，qi為非負(fù)整數(shù)，如果:

已知如何推導(dǎo)旋轉(zhuǎn)不變矩，定理3將解決怎樣推導(dǎo)給定階數(shù)的旋轉(zhuǎn)不變矩的獨(dú)立完備集.

定理3 考慮r≥2階以上的PGH矩，一組旋轉(zhuǎn)不變矩集構(gòu)造為

其中，p0，q0滿足 p0+q0≤r且 p0-q0=1同時(shí)Pp0，q0≠0.那么，B 就是一組對(duì)于給定的階數(shù) r的旋轉(zhuǎn)不變矩的獨(dú)立完備集.

以上推導(dǎo)了GH矩的旋轉(zhuǎn)不變矩的獨(dú)立完備集.現(xiàn)在給出其詳細(xì)證明.

證明 集合B的完備性.使I為任意旋轉(zhuǎn)不變矩:

因此

這就證明了任意的不變矩I都可以由J推導(dǎo)出，從而證明了集合B的完備性.

集合B的獨(dú)立性.假設(shè)B是非獨(dú)立的，即存在 ω(p，q)∈B 依賴于 B-{ω(p，q)}，那么當(dāng) p=p0和q=q0時(shí)，也是成立的.也就是，在B-{ω(p，q)}中存在 ω(p1，q1)，…，ω(pn，qn)與 ω(u1，v1)，…，ω(un，vn)使得

由于上式右邊等于1，并且不同的矩之間各自獨(dú)立，所以下列等式對(duì)所有i都成立:t=s，n=m，pi=ui，qi=vi，ki=li

那么代入式(31)和式(32)得到K1=0和K2=0，矛盾.因此證明了獨(dú)立性. 證畢

3.2 GHM旋轉(zhuǎn)不變矩的獨(dú)立完備集

根據(jù)定理3，給定矩的階數(shù)，就可以得到一組獨(dú)立完備的旋轉(zhuǎn)不變矩集.以下給出前6階矩的旋轉(zhuǎn)不變矩集.

2，3 階矩:

其中，Re代表實(shí)數(shù)部分;Im代表虛數(shù)部分.

根據(jù)以上給出的形式，以及PGH矩展開成GH矩公式(24)，可以得到GHM的旋轉(zhuǎn)不變矩形式.這里給出2階矩、3階矩的6個(gè)不變矩形式如下:

4 實(shí)驗(yàn)證明

本實(shí)驗(yàn)是為了驗(yàn)證所提出的不變矩的正確性與數(shù)字穩(wěn)健性.圖3a是原始醫(yī)學(xué)圖像，分辨率為256像素×256像素，7個(gè)不同旋轉(zhuǎn)角度的圖像是由電腦嚴(yán)格生成，分別為圖3b～圖3h.

圖3 醫(yī)學(xué)灰度圖像及其旋轉(zhuǎn)版本Fig.3 Medical image and its rotational versions

分別計(jì)算8幅圖像的旋轉(zhuǎn)不變矩.尺度因子設(shè)為0.2，尺度因子的大小只用于計(jì)算需求，并不會(huì)影響旋轉(zhuǎn)不變性.實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄在表1中.

表1 18個(gè)不變矩的數(shù)字穩(wěn)定性實(shí)驗(yàn)結(jié)果Table 1 Results of digital stability of 18 invariants

5 結(jié) 束 語(yǔ)

本文介紹了GH矩PGH矩，并給出了用升降算符計(jì)算GH矩與PGH矩的方法.利用GH矩與PGH矩的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，詳細(xì)推導(dǎo)了GH矩的旋轉(zhuǎn)不變矩，并給出GH矩的旋轉(zhuǎn)不變矩的獨(dú)立完備集.從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，所提出的旋轉(zhuǎn)不變矩具有良好的數(shù)字穩(wěn)健性，GH矩的旋轉(zhuǎn)不變矩的推導(dǎo)方法具有一般性，在推導(dǎo)其他形式的矩的旋轉(zhuǎn)不變矩時(shí)可以借鑒.但本文并未詳細(xì)研究GH矩的旋轉(zhuǎn)不變矩的應(yīng)用，例如應(yīng)用于圖像配準(zhǔn)與檢索，下一步將著手這一方面的研究.

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