章浩燕，朱克強(qiáng)

(寧波大學(xué)，浙江 寧波315211)

0 引 言

目前，由于無(wú)纜自主式有人或無(wú)人潛水器等深水工作系統(tǒng)在動(dòng)力供應(yīng)、數(shù)據(jù)傳輸、安全性、可靠性等方面還存在不少難以解決的問(wèn)題，所以采用臍帶纜控制的潛水器在世界上仍然廣為使用［1－4］。臍帶纜控潛水器能夠安全有效地到達(dá)海洋深水區(qū)域，是深海作業(yè)的重要工具。操作員可以安全地呆在甲板上操縱潛水器，有效地完成危險(xiǎn)環(huán)境下的作業(yè)任務(wù)。岸上平臺(tái)與潛水器之間通常由1 根臍帶纜連接，該纜索內(nèi)部有光電傳輸芯線，用于向ROV 傳輸動(dòng)力并保持可靠聯(lián)系，芯線外面由一層保護(hù)層包圍，用來(lái)承載水下單元和保護(hù)纜索內(nèi)部芯線。由于它的動(dòng)力是由支援船提供，所以潛水器原則上可以無(wú)限停留在海底作業(yè)地點(diǎn)。

纜索在帶來(lái)優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)也產(chǎn)生了如下幾個(gè)急需解決的難題:

1)實(shí)際操作和測(cè)量數(shù)據(jù)證明，系統(tǒng)主導(dǎo)運(yùn)動(dòng)是垂向運(yùn)動(dòng)，在靠近諧振頻率附近操作時(shí)，籠的升沉運(yùn)動(dòng)甚至要大于母船。在劇烈海況下，較大的垂向運(yùn)動(dòng)會(huì)導(dǎo)致罐籠附近的纜索瞬間松弛，而纜索再次收緊時(shí)，運(yùn)動(dòng)加速度可達(dá)0.5 g，從而產(chǎn)生巨大瞬間突變載荷，可導(dǎo)致臍帶纜保護(hù)層及其內(nèi)部光電傳輸芯線結(jié)構(gòu)的破壞，縮短臍帶纜的壽命，甚至切斷信息和能源的傳送，潛水器也就無(wú)法操作并危及它的回收。海況惡劣時(shí)，罐籠產(chǎn)生較大的垂向運(yùn)動(dòng)也會(huì)使?jié)撍魅雺]和回收困難。故該系統(tǒng)通常只能局限在平靜海況下使用。

2)臍帶電纜為潛水器提供動(dòng)力和傳輸信息的同時(shí)，會(huì)增加潛水器的航行阻力(25 mm 直徑1 m長(zhǎng)的纜索可以產(chǎn)生與0.5 m 直徑，3 m 長(zhǎng)的拖魚同樣的阻力)，纜索阻力會(huì)影響潛水器推進(jìn)的動(dòng)力需求，動(dòng)力的增加反過(guò)來(lái)又需要更大的纜索直徑從而產(chǎn)生更大的阻力，這是一個(gè)典型的非線性設(shè)計(jì)環(huán)路問(wèn)題。如果在設(shè)計(jì)中規(guī)定了系纜潛器的水下航速，或?qū)嶋H頂流能力，那么為了確定潛水器推進(jìn)功率和運(yùn)動(dòng)姿態(tài)，就必須精確計(jì)算臍帶纜作用在潛器上的拉力大小。預(yù)報(bào)纜索最佳長(zhǎng)度以使總阻力最小化。

3)纜索除了增加阻力外，還會(huì)發(fā)生臍帶電纜與后退、下沉中的ROV 本體或其他海底物件的糾纏，這是實(shí)際中最常見(jiàn)的事故。輕微的糾纏可能造成短暫的耽擱，比較嚴(yán)重的糾纏則可能導(dǎo)致潛水器棄置幾個(gè)月，甚至丟失。纏繞的重要原因是操作者無(wú)法察覺(jué)臍帶的形狀，以判斷哪些作業(yè)位置是否可以達(dá)到，或即使達(dá)到了，但潛器的姿態(tài)是否可以作業(yè)。這就要求實(shí)時(shí)計(jì)算出纜索動(dòng)態(tài)構(gòu)形。

對(duì)于許多海洋纜索系統(tǒng)，尤其是潛水器臍帶電纜，在邊界附近都存在著初始或潛在低張力區(qū)，觸底點(diǎn)附近完全撓性纜的張力為0。當(dāng)纜索底端重物觸底時(shí)，纜索張力將急劇減少，引起整個(gè)系統(tǒng)的松弛。在纜索急速放出過(guò)程中，水面船狀態(tài)發(fā)生急速操縱，速度的變化也會(huì)引起纜索短暫的失去張力。不能采用目前廣為使用的完全撓性纜索連續(xù)模型，因?yàn)橛袛?shù)學(xué)奇異性的存在。雖然研究表明，在連續(xù)模型加入微小的彎曲剛度就能捕獲曲率、剪力的急劇變化，從而精確模擬低張力區(qū)纜索的運(yùn)動(dòng)特性。在纜索模型中計(jì)入的彎曲剛度附加值雖然很小，但卻能使得能量越過(guò)低張力區(qū)，消除零張力區(qū)的奇異性，提高解的穩(wěn)定性，但由于求解效率較低，往往需要將彎曲剛度影響較大的區(qū)域與纜索其他的區(qū)域分開來(lái)提高求解的效率。

本研究對(duì)系統(tǒng)建立三維空間運(yùn)動(dòng)通用數(shù)學(xué)模型，可以全面反映臍帶纜－潛水器多體之間的非線性耦合運(yùn)動(dòng);非均勻臍帶纜運(yùn)動(dòng)考慮為三維，能真實(shí)地反映纜索的各種非均勻性，適應(yīng)較復(fù)雜的潛器機(jī)動(dòng)狀態(tài);為了克服柔性纜在大曲率——時(shí)間變化率時(shí)的易于發(fā)散性，采用自動(dòng)變步長(zhǎng)數(shù)值積分技術(shù)，以模擬比較復(fù)雜的耦合運(yùn)動(dòng)響應(yīng)。由于對(duì)系統(tǒng)建立了最一般的空間運(yùn)動(dòng)模型，反映了二者的耦合運(yùn)動(dòng)，從而更加接近實(shí)際，可為進(jìn)一步研究系統(tǒng)閉環(huán)特性提供基礎(chǔ)。

1 纜索的動(dòng)態(tài)響

1.1 坐標(biāo)系建立

為了分析纜索運(yùn)動(dòng)及其對(duì)航行器的影響，建立3 套坐標(biāo)系:地面坐標(biāo)系，纜索的局部坐標(biāo)系及航行器運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系。設(shè)地面標(biāo)系(i，j，k)，原點(diǎn)設(shè)為E;航行器運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系(iv，jv，kv)以航行器的質(zhì)心G作為坐標(biāo)原點(diǎn)，縱軸iv平行于航行器的橫搖軸并指向航行器前進(jìn)方向，橫軸jv平行于縱搖軸并指向右舷。航行器運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系與地面坐標(biāo)系之間的關(guān)系可以用歐拉角的形式表示:

式中:c·=cos·;s·=sin·;φ，θ，ψ 分別為航行器的橫搖角、縱搖角以及首搖角。

對(duì)橫搖角φ，縱搖角θ，首搖角ψ 的定義如下:橫搖角φ:jv與平面(i，k)之間的夾角;縱搖角θ:iv與水平面(i，j)之間的夾角;首搖角ψ:iv軸在水平面(i，j)上的投影與i 軸之間的夾角。局部坐標(biāo)(τ，n，b)表示纜索上的某點(diǎn)，τ 表示纜索的切線方向，且指向纜索伸長(zhǎng)的方向，b 在(i，j)平面內(nèi)。該坐標(biāo)系由地面坐標(biāo)系通過(guò)以下3 次旋轉(zhuǎn)得到:1)將坐標(biāo)系(i，j，k)繞著k 軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α 角，使得i 與平面(τ，n)平行;2)將步驟1 所得的(i，j，k)坐標(biāo)系繞著i 軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)π/2，使得k 與b 軸方向一致;3)將步驟2 所得的(i，j，k)坐標(biāo)系繞著b 軸旋轉(zhuǎn)β 角，使得i，j 分別與τ，b 軸的方向一致。因此，纜索的局部坐標(biāo)系與地面坐標(biāo)系之間的關(guān)系可用下式表示:

其中，

綜合式(1)～式(4)，可以得到纜索的局部坐標(biāo)系與航行器動(dòng)態(tài)坐標(biāo)系之間的關(guān)系為:

1.2 動(dòng)力方程

定義速度:

式中:t 為航行器運(yùn)動(dòng)時(shí)間;s 為從拖點(diǎn)開始的總弧長(zhǎng);T 為纜索內(nèi)部張力;Vc=［VτVnVb］T為纜索某點(diǎn)處的速度向量。因此，纜索的動(dòng)態(tài)方程可以用以下偏微分方程表示:

式中:ρ 為流體密度，kg/m3;m 為單位長(zhǎng)度纜索的質(zhì)量，kg/m;A 為纜索未伸長(zhǎng)前的橫截面積，m2;m1為單位長(zhǎng)度纜索的實(shí)際質(zhì)量，m1=m+ρA，kg/m;wc為水中纜索單位長(zhǎng)度的重量，N/m;e 為1/EA;Ct為流體切向拖曳系數(shù);Cn為流體法向拖曳系數(shù);d 為纜索拉伸后的直徑，m;J=［JτJnJb］T為用局部坐標(biāo)系［τnb］為流體的順勢(shì)速度，m/s;U=［UτUnUb］為纜索的相對(duì)速度，U=Vc-J，m/s。

1.3 邊界條件

為解得纜索的動(dòng)態(tài)方程(7)，需要給出纜索的初始形態(tài)以及6 個(gè)邊界條件。浸在水中的纜索有2個(gè)端頭，即連接航行器的拖點(diǎn)端以及與岸上的滾筒端。由于纜索作用力直接影響拖點(diǎn)處的速度，于是得到3 個(gè)邊界條件:拖點(diǎn)相對(duì)于航行器坐標(biāo)系原點(diǎn)的矢徑可以表示為rc=［xcyczc］T，航行器坐標(biāo)原點(diǎn)相對(duì)于纜索坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)速度可以表示為V=［uvw］T，其中(u，v，w)分別表示縱蕩速度、橫搖速度及垂蕩速度，航行器繞其質(zhì)心G 的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度可以表示為Ω=［pqr］T，其中(p，q，r)分別表示航行器的橫搖角速度、縱搖角速度以及首搖角速度。因此，在航行器坐標(biāo)系中，拖點(diǎn)的速度可以表示為(V+Ω×rc)。式(5)中，拖點(diǎn)在纜索局部坐標(biāo)系中的速度可以表示為:

上式為下端的3 個(gè)邊界條件。由于滾筒對(duì)纜索主要產(chǎn)生切向的作用力，因此滾筒端部法向和副法線方向的速度為0:

其中St為t 時(shí)刻浸在水中的纜索總長(zhǎng)。為了給出第6個(gè)邊界條件，可以考慮纜索滾筒的滾動(dòng)。由牛頓第二定律可以給出:

式中:Id為滾筒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;Ωd為滾筒的角速度;Γ為纜索張力在滾筒端部產(chǎn)生的力矩;Γf為纜索樞軸與滾筒間滑動(dòng)摩擦力產(chǎn)生的阻力矩。因?yàn)?，Ωd=-Vt(St，t)/Rd;Γ=T(St，t)/Rd，其中，Rd表示滾筒的半徑，滾筒的動(dòng)態(tài)方程可以被重新寫成:

1.4 纜索的影響

纜索張力的初始值為T(0，t)t(0，t)，因此為了計(jì)算方便，可以將航行器受到的其他作用力通過(guò)式(5)在航行器運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中用張力表示如下:

其中，

因此，在航行器動(dòng)態(tài)坐標(biāo)系中，纜索拖點(diǎn)處由纜索引起的力矩可以表示為:

2 數(shù)值解法

在邊界條件式(8)～式(11)下，解偏微分方程(7)的數(shù)值法可以采用差分方法，將方程按時(shí)間和空間離散化來(lái)處理。然而，和一般的拖曳系統(tǒng)不同的是，纜索的長(zhǎng)度不再是定值，隨著航行器前移，纜索的浸水長(zhǎng)度逐漸增大。而且，t 時(shí)間內(nèi)纜索浸水總長(zhǎng)取決于纜索的切向速度- Vt(Sτ，τ)dτ，假設(shè)纜索浸水長(zhǎng)度的初值為0，則

由于纜索長(zhǎng)度隨著時(shí)間不斷變化，若將纜索分為多個(gè)片段，則片段的數(shù)目將隨著拖曳時(shí)間的增加而增大，因此無(wú)法將纜索切分為定長(zhǎng)度定數(shù)目的片段，然而差分格式只有每個(gè)片段的長(zhǎng)度都固定的情況下才生效。將式(14)按時(shí)間步長(zhǎng)Δt 進(jìn)行離散化，即:

其中Sk(k=1，2，…)為kΔt 時(shí)間內(nèi)纜索的總浸水長(zhǎng)度。也就是說(shuō)，kΔt 時(shí)間內(nèi)的纜索浸水長(zhǎng)度可以被切分為k 個(gè)纜索片段，其長(zhǎng)度表示為:

當(dāng)Δt →0 時(shí)，纜索片段的長(zhǎng)度可以近似為

其中ti=iΔt，因此k 個(gè)纜索片段的長(zhǎng)度可以由前一時(shí)刻的速度所確定。

綜合式(15)～式(17)，可以得到

因此，k+1 時(shí)刻纜索的總浸水長(zhǎng)度為

確定纜索片段的長(zhǎng)度后，方程(7)可以用有限元二階近似法進(jìn)行求解。假設(shè)tk時(shí)刻，纜索的形態(tài)已知，即y(Si，tk)，i=0，1，…，k 已知，那么問(wèn)題就轉(zhuǎn)換為預(yù)測(cè)tk+1時(shí)刻纜索的形態(tài)，即求解y(Si，tk+1)，i=0，1，…k+1，其中，Sk+1由式(19)確定。

定義

其中S0=0。注意到，由于ΔSk+1在tk時(shí)刻還未入水，式(21)中y(Sk+1，tk)由滾筒的滾動(dòng)統(tǒng)一定義，即

而且，方程(7)仍然可以用于求解新的入水片段的動(dòng)態(tài)近似解，而且，當(dāng)纜索浸水長(zhǎng)度不大時(shí)，模型的誤差可以忽略不計(jì)。應(yīng)用方程(7)求解(Sj-1/2，tk+1/2)，j=1，2，…，k+1 的微分方程如下:

其中j=1，2，…，k+1。式(22)為j=k+1 時(shí)，纜索新入水片段的近似動(dòng)態(tài)方程。剩余6 個(gè)方程式由上述6 個(gè)邊界條件得出:

綜合式(22)～式(26)，共可得到6(k+2)個(gè)非線性方程，其中k 可以求得。因此，對(duì)纜索的影響可以轉(zhuǎn)化解這6(k+2)個(gè)方程的問(wèn)題。由于這6(k+2)個(gè)方程都跟拖曳前行的時(shí)間有關(guān)，因此，在求解之前應(yīng)該估算出拖曳的結(jié)束時(shí)間，這可以通過(guò)設(shè)定纜索的實(shí)際總長(zhǎng)來(lái)實(shí)現(xiàn)。求tk+1時(shí)刻，纜索對(duì)航行器的影響，可以通過(guò)將tk+1代入式(12)和式(13)中進(jìn)行求解得到。綜上所述，數(shù)值法評(píng)估纜索對(duì)航行器影響的步驟如下:

1)設(shè)定邊界條件。設(shè)定步長(zhǎng)Δt和總時(shí)間T。設(shè)初始時(shí)刻tk=t0=0 時(shí)，纜索的浸水長(zhǎng)度為0，航行器末端與滾筒端一致。于是，纜索的初始形態(tài)y(Sk，tk)可通過(guò)將t=0，航行器的初始狀態(tài)參數(shù)(u，v，w，p，q，r，φ，θ，ψ)代入式(8)～式(11)來(lái)求解。

2)給出航行器tk+1=(k+1)Δt 時(shí)刻航行器的狀態(tài)參數(shù)(u，v，w，p，q，r，φ，θ，ψ)。航行器每一時(shí)刻的狀態(tài)參數(shù)可通過(guò)航行器上的傳感機(jī)器來(lái)實(shí)時(shí)測(cè)量，或者通過(guò)航行器的動(dòng)態(tài)模型來(lái)預(yù)測(cè)。

3)解非線性方程(22)～(26)。方程可通過(guò)Matlab 優(yōu)化工具箱來(lái)進(jìn)行求解。

4)求纜索的影響。將y(0，tk+1)及t=tk+1代入式(12)和式(13)。

5)k ←k+1。

6)若k ≤T/Δt 則回到步驟2，否則停止操作。

3 評(píng)估纜索對(duì)水下航行器的影響

水下航行器上纜索為細(xì)長(zhǎng)，輕質(zhì)等浮力纜索，連接在航行器的尾部，該連接點(diǎn)在航行器的動(dòng)態(tài)坐標(biāo)中表示為rc=(-0.5，0，0)。滾筒連接處纜索的張力可以忽略不計(jì)，即纜索樞軸與滾筒間滑動(dòng)摩擦力產(chǎn)生的阻力矩Γf=0。纜索的相關(guān)參數(shù)及流體的相關(guān)參數(shù)如下:

ρ=1000，m=0.0049，A=4.9E－6，m1=0.0098，we=0，e=0，Ct=0.01，Cn=1.0，d=0.0025

3.1 纜索影響的評(píng)估

由于受到模型參數(shù)不精確的影響，水下航行器的動(dòng)態(tài)模型有所誤差。為了單獨(dú)對(duì)纜索的影響進(jìn)行評(píng)估，這里航行器自身的運(yùn)動(dòng)不做研究。由于水下航行器的控制包括前進(jìn)速度、航向及航行器沉深3 個(gè)方面，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，本文只考慮直航情況下，航行器水平直航情況:u=1，v=w=0，p=q=r=0，φ=θ=ψ=0。

圖1 為直航時(shí)拖點(diǎn)處的張力變化圖。從纜索拖曳力隨時(shí)間近乎線性增長(zhǎng)可以推斷，當(dāng)航行器的驅(qū)動(dòng)力保持不變時(shí)，航行器將減速。換言之，要維持航行器勻速前移，驅(qū)動(dòng)力必須相應(yīng)增加。由于離散的偏微分方程無(wú)法用解析法進(jìn)行求解，而用數(shù)值法解也并不容易。然而，上述情況中，將偏微分方程(7)與邊界條件式(8)～式(11)聯(lián)立時(shí)可以用解析法進(jìn)行求解。纜索被航行器拖入靜水中保持勻速縱蕩時(shí)，必須在航行器運(yùn)動(dòng)方向上維持自身的形態(tài)。因此，纜索上的局部坐標(biāo)系與慣性坐標(biāo)系之間的方向角不隨空間或時(shí)間的變化而變化:

圖1 航行器直航時(shí)纜索張力的變化情況Fig.1 Simulation results of cable drag under straight ahead motion

根據(jù)纜索局部坐標(biāo)(τ，n，b)的定義，水平運(yùn)動(dòng)時(shí)方向角的大小為:

本文所研究的纜索為非彈性纜索，因此沿纜索方向的速度均為常數(shù):

將式(28)和航行器相關(guān)運(yùn)動(dòng)參數(shù)代入邊界條件(8)中，得到:

因此，纜索速度隨時(shí)間的變化量也為0，即:

將式(27)～式(31)代入式(7)得到:

又由邊界條件式(11)可得:

由式(32)和式(33)可得:

因此拖點(diǎn)處的張力為:

該式表明，拖點(diǎn)處纜索的張力與纜索浸水長(zhǎng)度成正比。進(jìn)一步分析，可以從式(14)得出:

綜上所述，并結(jié)合纜索的相關(guān)參數(shù)，拖點(diǎn)處纜索的張力可以表示為:

4 結(jié) 語(yǔ)

1)直航時(shí)拖曳處的纜索張力隨時(shí)間的增加近乎線性增大，也即隨著纜索長(zhǎng)度的增加而增大;

2)可根據(jù)纜索拖點(diǎn)處所能承受的最大張力值，來(lái)指導(dǎo)拖曳距離或沉深，以避免拖曳過(guò)程中臍帶纜索斷裂;

3)隨著拖曳時(shí)間的推移，若航行器的助推力保持不變，航行器將減速前移，而不能保持原來(lái)的勻速運(yùn)動(dòng)，因此，結(jié)論1)也可用以指導(dǎo)航行器助推力的變化;

4)在設(shè)計(jì)帶纜航行器的自動(dòng)駕駛裝置時(shí)，應(yīng)將纜索的影響考慮在內(nèi)。這種設(shè)計(jì)，采用復(fù)合結(jié)構(gòu)，包含1 個(gè)反饋路徑和1 個(gè)前饋通路。其中，反饋控制器補(bǔ)償無(wú)纜航行器的運(yùn)動(dòng)誤差，而前饋控制器補(bǔ)償纜索運(yùn)動(dòng)對(duì)水下航行器產(chǎn)生的影響。這使得無(wú)纜航行器的自動(dòng)控制成為了可能，這種自動(dòng)控制裝置將是今后研究的重點(diǎn)。

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