鄧忠林 張哲(沈陽(yáng)航空航天大學(xué)航空航天工程學(xué)部(院),遼寧沈陽(yáng) 110136)

基于三點(diǎn)支撐的等效軸角調(diào)姿法

鄧忠林 張哲(沈陽(yáng)航空航天大學(xué)航空航天工程學(xué)部(院),遼寧沈陽(yáng) 110136)

為提高飛機(jī)大部件裝配質(zhì)量,充分發(fā)揮大部件對(duì)接并聯(lián)平臺(tái)的工作效率,計(jì)算驗(yàn)證在小角度下通過(guò)等效軸角姿態(tài)調(diào)整方法,使圍繞參考坐標(biāo)系坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)三次減少為繞等效軸轉(zhuǎn)動(dòng)一次的調(diào)姿方法依然準(zhǔn)確有效,并根據(jù)計(jì)算定量的給出等效轉(zhuǎn)角與坐標(biāo)值之間的變化關(guān)系,從而簡(jiǎn)化軌跡規(guī)劃任務(wù),最后通過(guò)螺旋理論舉例分析并聯(lián)調(diào)姿機(jī)構(gòu)的自由度,為以后并聯(lián)結(jié)構(gòu)調(diào)姿平臺(tái)的研究提供理論依據(jù)和技術(shù)基礎(chǔ)。

位姿調(diào)整 等效軸轉(zhuǎn)動(dòng) 軌跡規(guī)劃 自由度

飛機(jī)大部件對(duì)接在總裝階段對(duì)接過(guò)程中要求對(duì)接部件姿態(tài)和位置快速精確的調(diào)整,調(diào)姿方法基于三點(diǎn)支撐,通過(guò)三個(gè)精密三坐標(biāo)POGO柱互相協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng),依次完成平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)的姿態(tài)調(diào)整任務(wù)[1]。本文在調(diào)姿角度較小的情況下引入基于三點(diǎn)支撐的等效轉(zhuǎn)動(dòng)方法調(diào)整對(duì)接部件姿態(tài),證明在小角度姿態(tài)調(diào)整下將原本需要繞三個(gè)坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)合為繞空間等效軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的調(diào)姿方法是可行的,其運(yùn)動(dòng)軌跡映射到對(duì)接平臺(tái)所在坐標(biāo)系后該運(yùn)動(dòng)軌跡在以等效軸為軸線的空間圓弧上;然后定量分析支撐點(diǎn)坐標(biāo)與等效軸角的變化關(guān)系,最后使用螺旋理論舉例驗(yàn)證由POGO柱組成的等效并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度滿足要求。

1 姿態(tài)轉(zhuǎn)換關(guān)系

奇異值分解法能夠較準(zhǔn)確地計(jì)算兩個(gè)點(diǎn)集之間的位姿轉(zhuǎn)換關(guān)系[2]。其核心思想是計(jì)算是在兩個(gè)點(diǎn)集擬合后偏差最小的情況下,通過(guò)兩個(gè)點(diǎn)集的質(zhì)心求出轉(zhuǎn)化關(guān)系,這個(gè)轉(zhuǎn)化關(guān)系就是對(duì)接部件姿態(tài)調(diào)整所需要的旋轉(zhuǎn)矩陣R與平動(dòng)矢量T。

圖1 支撐點(diǎn)與{ Pt}Fig 1 Supported Points and { Pt }

圖2 軌跡Fig 2 Trajectory

以上算法在 det(R)＝1時(shí)成立,這里旋轉(zhuǎn)矩陣R與平動(dòng)向量T為部件對(duì)接過(guò)程中姿態(tài)調(diào)整的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

本文討論的等效軸角坐標(biāo)系表示法是在空間中找到一個(gè)通過(guò)原點(diǎn)的一般轉(zhuǎn)軸,圍繞該轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度 θ使對(duì)接點(diǎn)集與目標(biāo)點(diǎn)集重合后誤差最小,該軸線的單位向量由旋轉(zhuǎn)矩陣R反解出來(lái),為了簡(jiǎn)化問(wèn)題,需要使目標(biāo)點(diǎn)集與對(duì)接點(diǎn)集坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合,實(shí)際操作中通過(guò)該一般軸旋轉(zhuǎn)后使對(duì)接部件直接入位,由此會(huì)產(chǎn)生碰撞損壞部件,所以計(jì)算時(shí)先將對(duì)接點(diǎn)集在對(duì)接方向上平移矢量-1

RT,即先平移使兩點(diǎn)集中心重合,等效軸通過(guò)參考坐標(biāo)系原點(diǎn),然后進(jìn)行旋轉(zhuǎn);但是實(shí)際對(duì)接過(guò)程中則是先旋轉(zhuǎn),再平移入位。

設(shè)矢量K為有限旋轉(zhuǎn)的等效軸,則對(duì)接點(diǎn)集相對(duì)于目標(biāo)點(diǎn)集的一般姿態(tài)可用等效旋轉(zhuǎn)矩陣表示,當(dāng)選擇目標(biāo)點(diǎn)集坐標(biāo)系的主軸作為旋轉(zhuǎn)軸時(shí),等效旋轉(zhuǎn)矩陣變?yōu)槠矫嫘D(zhuǎn)矩陣。從一個(gè)給定的旋轉(zhuǎn)矩陣反求出單位向量K和旋轉(zhuǎn)量θ,公式(7)(8)總能計(jì)算出一個(gè)0°在到180°之間的值[6]。通過(guò)計(jì)算當(dāng)

圖3 坐標(biāo)值與 θ變化關(guān)系Fig 3 Coordinate Values and θ

表1 兩種解算方法誤差比較Table 1 Comparison of Two Methods Error

圖 4調(diào)姿原理Fig 4 Theory of the Posture Alignment

由其矩陣誤差的二范數(shù)判斷,在小角度情況下等效軸角坐標(biāo)系法依然適用,可以找到穩(wěn)定的等效軸、角。

2 計(jì)算驗(yàn)證

等效軸角 (K,θ)將繞坐標(biāo)軸多次旋轉(zhuǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為繞空間一條直線旋轉(zhuǎn)的問(wèn)題,則點(diǎn)集到點(diǎn)集的理論軌跡為以單位向量K所表示的空間直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) θ角的N段圓弧,N表示點(diǎn)集中點(diǎn)的總數(shù),由于各點(diǎn)到單位向量K的距離不同,所以其表示的圓弧軌跡半徑不同。點(diǎn)到單位向量K的直線距離由式(9)給出:

下面分別用高斯-勒讓德求積公式、迭代法驗(yàn)證式(14):

式(15)所得結(jié)果與點(diǎn)集{Pd} 比較,所得差值的二范數(shù)為0．11362,傳統(tǒng)SVD法所得結(jié)果與點(diǎn)集{Pd}比較,所得差值的二范數(shù)為0．11362,因此判斷可以使用式(14)表示坐標(biāo)點(diǎn) (x,y,z)與 θ的關(guān)系。

由于坐標(biāo)的步長(zhǎng)值在精密導(dǎo)軌可實(shí)現(xiàn)的精度范圍3μm附近,平均每3個(gè)步長(zhǎng)就會(huì)造成可觀測(cè)的誤差積累,且調(diào)姿過(guò)程中各支撐點(diǎn)之間聯(lián)動(dòng)誤差會(huì)在對(duì)接部件及其保型架內(nèi)產(chǎn)生內(nèi)應(yīng)力,所以實(shí)際應(yīng)用時(shí)需要權(quán)衡轉(zhuǎn)角控制精度的選取以符合執(zhí)行機(jī)構(gòu)要求。

3 自由度分析

以上計(jì)算要求并聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)三個(gè)平動(dòng)三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)共6個(gè)自由度,下面以POGO柱和飛機(jī)大部件保型架組成的等效并聯(lián)機(jī)構(gòu)為例,分析該等效并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度是否滿足要求。

POGO柱、動(dòng)平臺(tái)(對(duì)接大部件保型架)和靜平臺(tái)(臺(tái)架)組成等效并聯(lián)機(jī)構(gòu)如圖4所示。該機(jī)構(gòu)有三個(gè)分支,每個(gè)分支的起點(diǎn)是位于靜平臺(tái)上的移動(dòng)副,向上聯(lián)接相垂直的移動(dòng)副,這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)副使POGO柱2D平動(dòng),再向上為沿著Z軸的移動(dòng)副,最后與球副相聯(lián)。取其中一個(gè)分支建立坐標(biāo)系,原點(diǎn)設(shè)為靜平臺(tái)上移動(dòng)副初始值,Z軸通過(guò)球副中心向上,則該分支的運(yùn)動(dòng)螺旋如下:

前三個(gè)表示球副,后三個(gè)表示移動(dòng)副。由式(16)組成的系數(shù)矩陣的秩為6,所以判斷沒有公共的反螺旋,無(wú)局部自由度,無(wú)公共約束,使用修正的G-K公式計(jì)算該機(jī)構(gòu)的自由度如下:

因此,POGO柱與保型架組成的等效并聯(lián)機(jī)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)三個(gè)平動(dòng)和三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)共6個(gè)自由度。進(jìn)一步檢查機(jī)構(gòu)自由度的全周性,發(fā)生微小位移后自由度保持不變,所以該機(jī)構(gòu)自由度具有全周性。

如果將球副替換為U型副,那么取其中一個(gè)分支建立坐標(biāo)系,其運(yùn)動(dòng)螺旋如下:

由式(18)組成的系數(shù)矩陣的秩為5,該分支唯一反螺旋限制該分支頂點(diǎn)沿空間一固定矢量平動(dòng),三條分支不相交的三個(gè)反螺旋共同作用,等效于限制動(dòng)平臺(tái)空間轉(zhuǎn)動(dòng),沒有線性相關(guān)的反螺旋作用在動(dòng)平臺(tái),所以判斷無(wú)公共約束,無(wú)局部自由度 ξ,則通過(guò)修正的G-K公式計(jì)算該機(jī)構(gòu)的自由度為3,只有空間平動(dòng)的能力,不能滿足對(duì)接平臺(tái)6個(gè)自由度要求。

POGO柱、動(dòng)平臺(tái)(對(duì)接大部件保型架)和靜平臺(tái)(臺(tái)架)組成的等效并聯(lián)機(jī)構(gòu)還需考慮超確定輸入問(wèn)題,三個(gè)分支共需要9個(gè)輸入驅(qū)動(dòng),而空間調(diào)姿只有6個(gè)自由度,所以在組合時(shí)應(yīng)選取其中6個(gè)為主要輸入,3個(gè)為配合輸入滿足一定的位型關(guān)系,例如滿足式(13);或者分階段首先選取3個(gè)Z向移動(dòng)作為主要輸入,6個(gè)為配合輸入滿足一定的位型關(guān)系,然后選取X、Y向移動(dòng)作為整體輸入,以此來(lái)處理超確定輸入問(wèn)題。

4 結(jié)語(yǔ)

傳統(tǒng)的大部件對(duì)接過(guò)程姿態(tài)調(diào)整部分任務(wù)需要多步,并沒有完全發(fā)揮并聯(lián)平臺(tái)的效用。本文引入等效軸角坐標(biāo)系表示法為支撐點(diǎn)的軌跡規(guī)劃提供理論依據(jù),同時(shí)驗(yàn)證在小角度狀態(tài)下該方法依然有效,且解算時(shí)間在接受范圍內(nèi)。求得支撐點(diǎn)坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)角之間的變化關(guān)系后,通過(guò)在實(shí)際精度條件下離散旋轉(zhuǎn)角得到該點(diǎn)坐標(biāo)與等效角變化關(guān)系,并證明該離散方法與傳統(tǒng)方法理論上效用一致且路徑更短更平滑,最后舉例驗(yàn)證等效并聯(lián)機(jī)構(gòu)能否滿足部件對(duì)接時(shí)的自由度要求,并說(shuō)明POGO柱作為分支模塊并不是簡(jiǎn)單疊加,需要考慮隨之帶來(lái)的超確定輸入問(wèn)題。

本文討論在小角度下姿態(tài)調(diào)整問(wèn)題,在成熟可靠的技術(shù)條件下可將平移距離縮短,使部件圍繞空間中一般單位向量旋轉(zhuǎn),相對(duì)于圍繞經(jīng)過(guò)參考坐標(biāo)系中心的單位向量旋轉(zhuǎn)增加了旋轉(zhuǎn)半徑,使其軌跡更平滑,有效減少各支撐點(diǎn)聯(lián)動(dòng)造成的誤差。該方法為飛機(jī)部件對(duì)接并聯(lián)平臺(tái)提供一定的理論依據(jù),但沒有引入實(shí)際執(zhí)行機(jī)構(gòu)的誤差模型,是否真正能夠應(yīng)用于對(duì)接平臺(tái)有待實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

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