何立恒，鮑其勝，王 慶

(1.南京大學地理與海洋科學學院，江蘇南京210046;2.南京林業(yè)大學土木工程學院，江蘇南京210037;3.南京市測繪勘察研究院有限公司，江蘇南京210019)

一、引 言

在地理空間信息領域，為了獲得空間信息，需要實測空間數(shù)據(jù)，而實測的空間數(shù)據(jù)往往是離散點的形式，或者是分區(qū)數(shù)據(jù)的形式［1］，這些實測的空間數(shù)據(jù)集被稱為已知的空間樣本，實測的點則被稱為已知樣本點。即使實測空間數(shù)據(jù)達到相當?shù)拿芏?，也不足以表示復雜的地理空間形態(tài)，亦即常規(guī)方法無法對地理空間中所有點進行觀測，因此需要通過空間內(nèi)插來增補表達地理空間的空間數(shù)據(jù)。

空間數(shù)據(jù)內(nèi)插是用實測的空間數(shù)據(jù)來估算(預測)未知空間數(shù)值的過程［2］。根據(jù)已知的離散點數(shù)據(jù)或已知的分區(qū)數(shù)據(jù)來估計(推算)任意點或區(qū)域數(shù)據(jù)的方法稱為空間內(nèi)插，前者稱為點內(nèi)插，后者稱為面內(nèi)插［3］。通過內(nèi)插可以生成或補充已知數(shù)據(jù)的不足，廣泛應用于等值線制作、高程模型建立、數(shù)據(jù)格網(wǎng)化和地理區(qū)域空間分析與比較研究等。

1970年，美國地理學家W.R.Tobler提出地理學第一定律，指出“任何事物都是與其他事物相關的，但是距離近的事物比距離遠的事物相關性強”，這也是一切空間內(nèi)插方法的依據(jù)［4］。空間內(nèi)插方法眾多，各方法又有其本身的諸多前提、參數(shù)、適用范圍等，但從本質(zhì)上說，內(nèi)插均遵循的是臨近點之間具有相似性這一原則［5］。就目前的研究而言，大多數(shù)的內(nèi)插是根據(jù)周圍的已知數(shù)據(jù)，從這些已知數(shù)據(jù)推求一個函數(shù)關系式，使該關系式最好地逼近這些已知的空間數(shù)據(jù)，并能根據(jù)該函數(shù)關系式推求出區(qū)域范圍內(nèi)其他任意點或任意分區(qū)的值［6］。通常被熟知和利用得較多的就是點內(nèi)插。

二、反距離加權法及存在的問題

1.反距離加權平均算法介紹

在空間點內(nèi)插時，反距離加權插值(inverse distance weighting，IDW)具有計算相對簡單、操作便利等特點，是常用的幾何內(nèi)插方法之一。該方法認為與內(nèi)插點距離最近的若干個已知樣本點對內(nèi)插點值的貢獻最大，其貢獻大小與距離成反比［1-8］。其數(shù)學理論是加權平均，即將已知樣本點各數(shù)值乘以相應的單位數(shù)(權數(shù))，然后加總求和得到總體值，再除以單位數(shù)之和。假設xi為已知樣本點，wi為已知樣本點對應的權數(shù)，y為加權算術平均數(shù)(即預測值或內(nèi)插值)，則加權算術平均數(shù)的計算公式為

反距離加權法中的權數(shù)wi由式(2)來確定，為

式中，PDi為內(nèi)插點與已知樣本點之間的距離;u為距離PDi的冪。

由式(1)和式(2)可得反距離加權平均數(shù)的計算公式為

反距離加權法中，需要考慮距離的冪和鄰域搜索范圍兩個影響因素［7］。Husar等［9］的研究結果表明，冪越高，內(nèi)插結果越具有平滑的效果。u即為控制參數(shù)，u值越大，權重隨距離增大衰減得越快;反之，u越小，權重隨距離增大衰減得越慢，一般u取1～3［3］。同時，在給定鄰域搜索范圍后，可利用的已知樣本點就具有確定性。從內(nèi)插方法的誤差公式可明顯得出，已知數(shù)據(jù)的間距大小是影響內(nèi)插精度的最重要因素，間距越小，精度越高［10］。

2.反距離加權平均算法存在的問題

假定在內(nèi)插點所用的已知樣本點中，其中只有一個點距離內(nèi)插點很近，其他很多已知樣本點距離內(nèi)插點較遠，但這些較遠的已知樣本點差不多都在同一位置(也可認為是重復點)。這種情形運用反距離加權法將導致計算的內(nèi)插值不接近距離近點值。因此，探索新的加權因子，提高地理信息空間模擬的逼真性和合理性是非常必要的。

如圖1所示，假定已知樣本點A與內(nèi)插點P的距離為1個單位，點值為2.00，另10個已知樣本點B1、B2、…、B10與內(nèi)插點 P 的距離為10個單位，點值均為20.00。B系列點是彼此很近的點或者就是重復點，為了更好地反映重復點的影響，這里取冪值u為1(以下計算均取冪值u為1)，依反距離加權算法，利用式(3)計算P點的內(nèi)插點值為=11.00，此值相對靠近較遠的B系列點的值，不接近距離近點A的值。

圖1 內(nèi)插點位圖1

實際上，由于點值為20.00的點基本在空間同一位置，相當于重復點或者就是重復點，在實際內(nèi)插作業(yè)中所發(fā)揮的作用應類同于一個點，則此時內(nèi)插點P的值應為3.64，此內(nèi)插值接近較近點A點值。

探索既考慮已知樣本點與內(nèi)插點之間的距離，又考慮已知樣本點在內(nèi)插點周邊的方位分布和密度的加權因子，將解決上述問題。

三、反距離夾角加權算法

在土方工程量計算的野外數(shù)據(jù)采集時，地形規(guī)則的地區(qū)，采點相對稀疏，而地形變化復雜的地區(qū)，點位采集相對密集。除了距離這個因素影響內(nèi)插點外，再引入夾角作為定權要素，提出反距離夾角加權算法，可以解決已知樣本點在內(nèi)插點全圓方位上分布不均及已知樣本點疏密不勻?qū)?nèi)插值的影響。

距離定權方式不變，夾角則選擇以內(nèi)插點為頂點，內(nèi)插點與所有已知樣本點所構成的最小角為其權值。圖1 中，以P 點為頂點，P 點與B1、B2、…、B10這10 個點中任意兩點所構成的夾角顯然比P點與B1、B2、…、B10中任意一點和A點所構成的夾角要小得多。引入距離和夾角作為定權因子，樣本點的權值計算公式為

式中，pαi為夾角權因子，取內(nèi)插點與已知樣本點和其余已知樣本點中的最小夾角;pDi為距離權因子，取內(nèi)插點到已知樣本點的距離。

由式(1)和式(4)得反距離夾角加權平均數(shù)計算公式為

假定的距離值及樣本點的點值不變，設P點與A點和B1～B10點所構成夾角的最小角為120°，P點與B1、B2、…、B10中任意二點構成的最小夾角為0.5°，代入式(5)，可得利用反距離夾角加權法計算內(nèi)插點的點值約為2.07。

此值更接近較近點A的值，減弱甚至消除已知樣本點密度不均和在內(nèi)插點全圓方位分布不勻?qū)?nèi)插值的影響。

四、內(nèi)插過程及實例比較分析

1.內(nèi)插過程

反距離夾角加權算法進行幾何內(nèi)插的步驟如下:

1)設計內(nèi)插規(guī)則，確定內(nèi)插點的位置。在數(shù)據(jù)內(nèi)插處理中，一般是先設計內(nèi)插規(guī)則，內(nèi)插規(guī)則確定了內(nèi)插點的位置。DEM構建、數(shù)據(jù)的格網(wǎng)化、圖像變換處理等都是先設計內(nèi)插規(guī)則。圖2即為規(guī)則格網(wǎng)DEM矢量數(shù)據(jù)內(nèi)插圖，離散點為已知樣本點，方格頂點的值需內(nèi)插得出。

圖2 規(guī)則DEM內(nèi)插格網(wǎng)點及已知樣本點值圖

2)根據(jù)內(nèi)插點的數(shù)據(jù)特征，選定與內(nèi)插點具有相同數(shù)據(jù)特征的可利用已知樣本點，圖2中所有離散點即為可利用已知樣本點。

3)在已知樣本點中選取某一內(nèi)插點的可用點集S，已知樣本點的選取可以根據(jù)距離和數(shù)量等因素來確定，選取的原則有兩個方面:一是已知樣本點的位置相對內(nèi)插點應盡可能均勻分布;二是所選取的參與計算內(nèi)插值的已知樣本點數(shù)目應該適當。一般是以內(nèi)插點為圓心，給定搜索半徑，在搜索半徑內(nèi)找已知樣本中的該內(nèi)插點的可用點集S，總數(shù)為N;若不夠點數(shù)，便加大搜索半徑，直至搜索半徑上限或顯示已知樣本點不夠。若是規(guī)則內(nèi)插，搜索半徑一般為規(guī)則內(nèi)插點間距的1～2倍，N≥3。

4)在S中選取任意已知樣本點Ni，計算此內(nèi)插點與已知樣本點Ni之間的距離Di，計算此內(nèi)插點與Ni和S中其余已知樣本N-1個點的夾角，在N-1個夾角值中篩選出最小值得αi。若出現(xiàn)樣本點重合或在同一方向線上，此夾角值為零。為了充分利用所有的樣本點，避免夾角權值為零而影響Wi，可以將αi給定一微小值，如10-6。

5)重復步驟4)，分別求此內(nèi)插點與點集S中其余N-1個已知樣本點間的距離D和最小夾角α。

6)利用式(5)計算內(nèi)插點的內(nèi)插值。

7)重復步驟3)—步驟6)，直至所有內(nèi)插點的內(nèi)插值計算結束。

2.實例比較及分析

用不同的內(nèi)插方法對圖1和圖3—圖7進行內(nèi)插值計算。假設圖中都只有一個點值為2.00的已知樣本點A，并與內(nèi)插點的距離都為1;其他已知樣本點B1—B10的值均為20.00，并與內(nèi)插點的距離為10或5;樣本點值的單位可以為米或其他，各方法計算出的內(nèi)插值的單位與樣本點值的單位相同;距離和角度的單位可以是任意長度單位和角度單位。計算結果見表1。

圖3 內(nèi)插點位圖3

圖4 內(nèi)插點位圖4

圖5 內(nèi)插點位圖5

圖6 內(nèi)插點位圖6

圖7 內(nèi)插點位圖7

在內(nèi)插理論中，當內(nèi)插點正好位于已知樣本點位置時，可認為內(nèi)插特征值就是該已知樣本點值，亦即此點不需要內(nèi)插。設計實例用反距離夾角加權法進行內(nèi)插時，充分考慮到內(nèi)插點P接近已知樣本點A，這樣，可假定內(nèi)插真值接近A點值。從表1可以看出，相對于算術平均值法和反距離加權法，反距離夾角加權法內(nèi)插結果波動范圍小，也更接近假定內(nèi)插真值，而鄰近點值法的值只跟最近點值有關，無論其他樣本點怎樣變化。當已知樣本點少于3個或在全圓方位上分布均勻時，反距離夾角加權法和反距離加權法推求的值是相等的。

表1 不同內(nèi)插算法計算結果表

五、結束語

空間內(nèi)插是用已知樣本點的數(shù)據(jù)來估算內(nèi)插點的數(shù)值過程，把離散數(shù)據(jù)轉換成規(guī)則數(shù)據(jù)或增加內(nèi)插數(shù)據(jù)。從反距離夾角加權算法應用在地理信息空間數(shù)據(jù)內(nèi)插中可以看出，當已知樣本點只有一個時，該算法相當于最鄰近值法;當只有兩個已知樣本點，或者多于兩個已知樣本點并且點位在全圓方位上分布均勻時，夾角權相等，該算法相當于反距離加權法;多于兩個已知樣本點，但已知樣本點密度和方位分布不均，反距離夾角加權法能減弱甚至消除其影響，保證內(nèi)插值接近近點值?？梢哉f，反距離夾角加權法是鄰近值法和反距離加權法的改進和提伸，提出的距離加夾角的定權方法能有效減弱甚至消除在內(nèi)插過程中所選定的已知樣本點在內(nèi)插點全圓方位上分布不均及已知樣本點疏密不勻?qū)?nèi)插值的影響。基于加權平均理論，提出的反距離夾角加權算法將廣泛應用在建立DEM及圖像處理等地理空間信息數(shù)據(jù)內(nèi)插中。

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