曹金國，王建斌，戴山嶺

(96633部隊，北京100096)

一、引 言

高程異常是似大地水準(zhǔn)面和參考橢球面之間的差距，似大地水準(zhǔn)面相對于參考橢球面的傾斜狀況可以采用垂線偏差來衡量。垂線偏差通常采用天文測量和大地測量相結(jié)合的方法確定，或通過重力場模型獲取。其中，天文測量受天氣制約明顯，而重力場模型對低頻長波擾動影響表征較好，對局部短波高頻擾動影響反應(yīng)較差。特殊情況下，需要一定精度垂線偏差分量而天文測量又無法實施時，就需要其他手段來保障。多年來，筆者在局部區(qū)域內(nèi)實測了一定數(shù)量的高程異常點，而通過這些高程異常點能否確定該區(qū)域內(nèi)任意位置滿足一定精度的垂線偏差，下面就這一問題進行探討。

二、擾動位局部平面展開式低階項的物理意義

眾所周知，垂線偏差代表了似大地水準(zhǔn)面的傾斜，垂線偏差分量(ξ，η)和擾動位T的關(guān)系可以簡單地表示為

式中，γ為正常重力值。

考慮到一定范圍內(nèi)似大地水準(zhǔn)面的變化比較平緩，可將擾動位T看做是平面坐標(biāo)(x，y)的函數(shù)，此時，可將擾動位展開為x和y的函數(shù)，即

式中，T0為參考點處(重心)的擾動位。參考點處擾動位的偏導(dǎo)數(shù)與垂線偏差，以及垂線偏差變化率的關(guān)系為

式中，γ0為正常重力。將式(3)和式(4)代入式(2)后可得

將式(5)代入到布隆斯公式可得

由正常重力的計算公式可知，相隔數(shù)十千米的兩點，正常重力的變化可忽略不計，即可取γ=γ0，則可得到和高程異常ζ與垂線偏差(ξ、η)的關(guān)系式，即

式中，ζ0為參考點的高程異常;(ξ0、η0)為參考點的垂線偏差分量;二次項的系數(shù)是垂線偏差的變化率。由此可見，式(7)是一個典型的多次曲面函數(shù)，因此可以將主要的低階項采用二次曲面函數(shù)進行擬合，即

正因為二次曲面函數(shù)具有高程異常和垂線偏差聯(lián)系的物理意義，因此可以通過高程異常擬合垂線偏差。

三、利用二次曲面擬合垂線偏差的方法

假如區(qū)域內(nèi)有n個已知高程異常值的點位S(x，y，ζ)，根據(jù)式(8)可以列出高程異常的誤差方程

當(dāng)n=3時，可以直接采用一次項，直接解算方程便會得到重心處的垂線偏差分量;當(dāng)n=5時，可以采用二次項，直接解算出6個系數(shù) a0、a1、a2、a3、a4、a5;當(dāng)n＞5時，需要采用最小二乘原理進行平差，此時若記

則可得到多項式擬合的各系數(shù)

在得到 a0、a1、a2、a3、a4的基礎(chǔ)上，區(qū)域內(nèi)任意點的垂線偏差則是

四、擬合結(jié)果分析

采用東南部3個測區(qū)不同數(shù)量的高程異常值對垂線偏差進行了擬合，3個測區(qū)的范圍分別為25 km×40 km、26 km ×25 km、25 km ×10 km，其高程異常值均采用GPS和三等電磁波測距高程導(dǎo)線測量所得。由于測區(qū)已知高程異常點數(shù)量較少，均為4個點，因此這3個測區(qū)僅能夠擬合出重心處的垂線偏差分量，對擬合結(jié)果與CGCS2000模型的計算結(jié)果進行了比較，結(jié)果見表1。

表1 3個測區(qū)垂線偏差分量(ξ、η)擬合結(jié)果(″)

為了驗證測區(qū)內(nèi)任意位置垂線偏差的擬合情況，測區(qū)3中采用CGCS2000計算出兩個點的高程異常作為已知點高程異常，這樣便可以求出垂線偏差在兩個方向的變化率。采用以上模型求出測區(qū)范圍內(nèi)1'×1'格網(wǎng)交叉點處共計78個點的垂線偏差，然后采用CGCS2000模型計算出這78個點的垂線偏差分量，將CGCS2000模型的計算結(jié)果作為已知值，對擬合的垂線偏差兩個分量分別進行了精度統(tǒng)計，擬合精度m的計算公式為

式中，Δ為擬合值與CGCS2000計算值之差。結(jié)果見表2。

表2 測區(qū)3內(nèi)垂線偏差分量擬合結(jié)果分布情況(″)

通過表1和表2的擬合結(jié)果可以看出，采用高程異常可以擬合出滿足一定精度要求的垂線偏差分量。

五、垂線偏差擬合時的高程異常精度要求

由于高程點的精度通常采用每千米高差中數(shù)偶然中誤差mΔh來衡量，忽略大地高的測量誤差，因此高程點的高程異常精度mh可以根據(jù)路線長度s按照以下公式計算得出

為了簡便起見，設(shè)Δx=Δy，并且忽略高階項的影響，可以得到局部區(qū)域內(nèi)高程異常與垂線偏差的精度關(guān)系，即

取兩個分量的誤差精度相同，即mξ=mη=m，可以概略地確定高程異常和垂線偏差的精度關(guān)系

將式(13)代入式(15)，并且取每千米高差中數(shù)偶然中誤差mΔh=10 mm代入計算，則可得到m大約在2.1″左右?？紤]到模型的誤差，可以滿足垂線偏差分量2.5″的精度要求，從另一個方面證明了該方法的可行性。

六、結(jié)束語

本文分析了擾動位局部平面展開式低階項的物理意義，并根據(jù)其物理意義采用相應(yīng)的二次曲面函數(shù)進行了垂線偏差分量的擬合試驗。試驗結(jié)果表明，該方法滿足一定精度要求，可以作為特殊情況下垂線偏差獲取的途徑。另外，在測區(qū)范圍的大小及已知點的分布情況對精度影響方面，還有待深入研究。

［1］陸仲連.地球重力場理論與方法［M］.北京:解放軍出版社，1996.

［2］王新洲，陶本藻，邱衛(wèi)寧，等.高等測量平差［M］.北京:測繪出版社，2006.

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