鄭燦基

重點(diǎn)：掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式;掌握特殊的非等差、等比數(shù)列求和的幾種常見方法.

難點(diǎn)：通過分析數(shù)列的通項(xiàng)，能快速選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行數(shù)列求和;分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用.

1. 公式法

利用以下常用的求和公式求和是數(shù)列求和的最基本、最重要的方法.

（1）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn==na1+.

（2）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn=na1，q=1，=，q≠1.

（3）幾個(gè)常用的數(shù)列求和公式：Sn=k=n（n+1），Sn=k2=n·（n+1）（2n+1），Sn=k3=n（n+1）2.

2.分組求和法

一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可進(jìn)行拆分，分別用常用的求和公式求和后相加減，例如求{n+2n}的前n項(xiàng)和.

3. 倒序相加法

若將一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)倒過來排序，它與{an}的前n項(xiàng)分別對(duì)應(yīng)“配對(duì)”相加時(shí)，若每對(duì)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，則求{an}的前n項(xiàng)和可用倒序相加法. 例如等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的.

4.錯(cuò)位相減法

若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法. 一般是和式兩邊同乘等比數(shù)列{bn}的公比（若公比為參數(shù)，應(yīng)分公比為1和不為1兩類討論），然后作差求解. 例如求{n·2n}的前n項(xiàng)和. 注意在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出表達(dá)式.

5.并項(xiàng)求和法

數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn中，某些項(xiàng)合在一起就具有特殊的性質(zhì)，因此可以幾項(xiàng)結(jié)合求和，再求Sn，則稱之為并項(xiàng)求和. 形如an=（-1）nf（n）的類型，可以采用相鄰兩項(xiàng)合并求解;如周期為4的數(shù)列求其前n項(xiàng)和，可以采用相鄰四項(xiàng)合并求解.

6.裂項(xiàng)相消法

把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，求和過程中能夠前后相互抵消，從而求得其和. 本法常適用于通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)中含有的前n項(xiàng)求和. 分裂通項(xiàng)時(shí)，應(yīng)注意通項(xiàng)是否恰好等于相應(yīng)的兩項(xiàng)之差;在求和時(shí)還要注意，抵消后不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也可能是前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)，例如求的前n項(xiàng)和.

常見的拆項(xiàng)公式有：

（1）=-;（2）=-;

（3）=-（其中{an}是一個(gè)公差d不為0的等差數(shù)列）;

（4）=-;

（5）=-;

（6）=-;（7）=-.

例1 ?（2014年高考湖南卷）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=，n∈N？鄢.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;？搖

（2）設(shè)bn=2+（-1）nan，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和.

？搖 思索 ?本題主要考查數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系，等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式以及分組求和法與并項(xiàng)求和法. 對(duì)于（1），已知Sn求an，應(yīng)分兩種情況，靈活運(yùn)用結(jié)論an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2 來求解數(shù)列的通項(xiàng)公式. 對(duì)于（2），將（1）得到的通項(xiàng)公式代入，可得bn由2n和（-1）nn相加，所以求{bn}的前2n項(xiàng)和要用分組求和法，而（-1）nn的求和則需要用到并項(xiàng)求和法.

？搖破解 ?（1）當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=-=n. 當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=1，滿足上式，故an=n（n∈N？鄢）.

（2）由（1）知，bn=2n+（-1）nn. 記數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和為T2n，則T2n=（21+22+…+22n）+[-1+2-3+4-…-（2n-1）+2n]=+（1+1+…+1）=22n+1+n-2. 故數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和為22n+1+n-2.

例2 ?（2014年高考全國(guó)大綱卷）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn. 已知a1=10，a2為整數(shù)，且Sn≤S4.

（1）求{an}的通項(xiàng)公式;？搖

（2）設(shè)bn=，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.

思索 ?本題主要考查等差數(shù)列的概念與性質(zhì)、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，以及裂項(xiàng)相消法，重點(diǎn)考查運(yùn)算求解能力和轉(zhuǎn)化化歸能力. 對(duì)于（1），目標(biāo)就是求出{an}的公差d. 由a1=10和a2為整數(shù)，可知公差d是整數(shù). 由Sn≤S4可知當(dāng)n=4時(shí)，Sn取得最大值，所以d<0，a4≥0，a5≤0，建立不等式組可以求出整數(shù)d. 也可以直接由Sn≤S4得到S3≤S4，S5≤S4， 即不等式組3a1+3d≤4a1+6d，5a1+10d≤4a1+6d，求出整數(shù)d. 對(duì)于（2），由于{an}是等差數(shù)列，可以拆分=-，采用裂項(xiàng)相消法求和.

破解 ?（1）由a1=10，a2為整數(shù)知，等差數(shù)列{an}的公差d是整數(shù). 由Sn≤S4可知，當(dāng)n=4時(shí)，Sn取得最大值，所以d<0，a4≥0，a5≤0. 所以a1+3d≥0且a1+4d≤0，即10+3d≥0且10+4d≤0，解得-≤d≤-. 所以d=-3. 故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=10-3（n-1）=13-3n.

（2）bn===

--，所以Tn=b1+b2+

…+bn=--+--+…+--=

--+-+…+-=--=.

例3 ?（2014年高考四川卷）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，點(diǎn)（an，bn）在函數(shù)f（x）=2x的圖象上（n∈N？鄢）.

（1）若a1=-2，點(diǎn)（a8，4b7）在函數(shù)f（x）的圖象上，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn;endprint

（2）若a1=1，函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（a2，b2）處的切線在x軸上的截距為2-，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.

思索 ?本題將數(shù)列、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)有機(jī)結(jié)合在一起，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，錯(cuò)位相減法以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義;重點(diǎn)考查運(yùn)算求解能力和分析處理綜合問題的能力.對(duì)于（1），不難得bn=2，4b7=2，由于所求目標(biāo)是an，所以應(yīng)將兩個(gè)條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，消去bn得到關(guān)于an的式子，再利用a1，d這兩個(gè)基本量代入求解得d，最后利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出Sn. 對(duì)于（2），求出f（x）的圖象在點(diǎn)（a2，b2）處的切線，令y=0求出x的值，結(jié)合x=2-和b2=2兩式可求得a2=2，從而求得an=n，由于<，應(yīng)考慮錯(cuò)位相減法求和.

破解 ?（1）因?yàn)辄c(diǎn)（an，bn）在函數(shù)f（x）=2x的圖象上（n∈N？鄢），所以bn=2，所以b=2. 又因?yàn)辄c(diǎn)（a8，4b7）在函數(shù)f（x）的圖象上，所以4b7=2，所以4·2=2，即a+2=a，所以等差數(shù)列{an}的公差d=a8-a7=2. 所以{an}的前n項(xiàng)和Sn=n×（-2）+×2=n2-3n.

（2）因?yàn)閒（x）=2x，所以f ′（x）=2xln2，所以函數(shù)f（x）=2x在點(diǎn)（a2，b2）處的切線方程為y-b2=（2ln2）（x-a2）. 令y=0，得x=a2-. 因?yàn)閎2=2，所以x=a2-. 因?yàn)閤=2-，所以a2=2，由a1=1可得公差d=1，所以an=n. 又因?yàn)閎n=2，所以bn=2n，所以==n·n.因?yàn)門n=+2·2+3·3+…+（n-1）·n-1+n·n，所以Tn=2+2·3+3·4+

…+（n-1）·n+n·n+1，兩式相減得：Tn=+2+3+4+

…+n-n·n+1=-n·n+1=1--，所以Tn=21--=2-.

1. 數(shù)列2，2，3，4，…，n+，…的前n項(xiàng)和為（ ? ?）

A. +2-

B. +1-

C. -

D. -

2. 已知函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R，都有f（x）+f（1-x）=，則f（0）+f+f+…+f+f（1）=________.

3. 已知{an}是首項(xiàng)為1、公差為2的等差數(shù)列，S表示{an}的前n項(xiàng)和.{bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，公比q滿足q2-（a4+1）q+S4=0，則{bn}的前n項(xiàng)和Tn=________.

4. （2014年高考新課標(biāo)卷I）已知{an}是遞增的等差數(shù)列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根.

（1）求{an}的通項(xiàng)公式;（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

5. 正項(xiàng)數(shù)列{an}的前項(xiàng)和Sn滿足：S2n-（n2+n-1）Sn-（n2+n）=0.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;

（2）令bn=，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，證明：對(duì)于任意的n∈N？鄢，都有Tn<.

參考答案

1. C ? ?2. 504？搖 ? 3. （4n-1）

4. （1）an=n+1.

（2）設(shè)的前n項(xiàng)和為Sn，由（1）可得==，則Sn=++…++，則Sn=++

…++，兩式相減可得Sn=++…+-=+-=+1--，所以Sn=2-.

5. （1）由S-（n2+n-1）Sn-（n2+n）=0，得[Sn-（n2+n）]（Sn+1）=0. 由于{an}是正項(xiàng)數(shù)列，所以Sn>0，Sn=n2+n. 于是a1=S1=2，n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=n2+n-（n-1）2-（n-1）=2n. 綜上，數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=2n.

（2）由于an=2n，bn=，所以bn==-，Tn=1-+-+-+…+-+-=1+--<1+=.endprint

（2）若a1=1，函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（a2，b2）處的切線在x軸上的截距為2-，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.

思索 ?本題將數(shù)列、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)有機(jī)結(jié)合在一起，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，錯(cuò)位相減法以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義;重點(diǎn)考查運(yùn)算求解能力和分析處理綜合問題的能力.對(duì)于（1），不難得bn=2，4b7=2，由于所求目標(biāo)是an，所以應(yīng)將兩個(gè)條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，消去bn得到關(guān)于an的式子，再利用a1，d這兩個(gè)基本量代入求解得d，最后利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出Sn. 對(duì)于（2），求出f（x）的圖象在點(diǎn)（a2，b2）處的切線，令y=0求出x的值，結(jié)合x=2-和b2=2兩式可求得a2=2，從而求得an=n，由于<，應(yīng)考慮錯(cuò)位相減法求和.

破解 ?（1）因?yàn)辄c(diǎn)（an，bn）在函數(shù)f（x）=2x的圖象上（n∈N？鄢），所以bn=2，所以b=2. 又因?yàn)辄c(diǎn)（a8，4b7）在函數(shù)f（x）的圖象上，所以4b7=2，所以4·2=2，即a+2=a，所以等差數(shù)列{an}的公差d=a8-a7=2. 所以{an}的前n項(xiàng)和Sn=n×（-2）+×2=n2-3n.

（2）因?yàn)閒（x）=2x，所以f ′（x）=2xln2，所以函數(shù)f（x）=2x在點(diǎn)（a2，b2）處的切線方程為y-b2=（2ln2）（x-a2）. 令y=0，得x=a2-. 因?yàn)閎2=2，所以x=a2-. 因?yàn)閤=2-，所以a2=2，由a1=1可得公差d=1，所以an=n. 又因?yàn)閎n=2，所以bn=2n，所以==n·n.因?yàn)門n=+2·2+3·3+…+（n-1）·n-1+n·n，所以Tn=2+2·3+3·4+

…+（n-1）·n+n·n+1，兩式相減得：Tn=+2+3+4+

…+n-n·n+1=-n·n+1=1--，所以Tn=21--=2-.

1. 數(shù)列2，2，3，4，…，n+，…的前n項(xiàng)和為（ ? ?）

A. +2-

B. +1-

C. -

D. -

2. 已知函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R，都有f（x）+f（1-x）=，則f（0）+f+f+…+f+f（1）=________.

3. 已知{an}是首項(xiàng)為1、公差為2的等差數(shù)列，S表示{an}的前n項(xiàng)和.{bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，公比q滿足q2-（a4+1）q+S4=0，則{bn}的前n項(xiàng)和Tn=________.

4. （2014年高考新課標(biāo)卷I）已知{an}是遞增的等差數(shù)列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根.

（1）求{an}的通項(xiàng)公式;（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

5. 正項(xiàng)數(shù)列{an}的前項(xiàng)和Sn滿足：S2n-（n2+n-1）Sn-（n2+n）=0.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;

（2）令bn=，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，證明：對(duì)于任意的n∈N？鄢，都有Tn<.

參考答案

1. C ? ?2. 504？搖 ? 3. （4n-1）

4. （1）an=n+1.

（2）設(shè)的前n項(xiàng)和為Sn，由（1）可得==，則Sn=++…++，則Sn=++

…++，兩式相減可得Sn=++…+-=+-=+1--，所以Sn=2-.

5. （1）由S-（n2+n-1）Sn-（n2+n）=0，得[Sn-（n2+n）]（Sn+1）=0. 由于{an}是正項(xiàng)數(shù)列，所以Sn>0，Sn=n2+n. 于是a1=S1=2，n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=n2+n-（n-1）2-（n-1）=2n. 綜上，數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=2n.

（2）由于an=2n，bn=，所以bn==-，Tn=1-+-+-+…+-+-=1+--<1+=.endprint

（2）若a1=1，函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（a2，b2）處的切線在x軸上的截距為2-，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.

思索 ?本題將數(shù)列、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)有機(jī)結(jié)合在一起，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，錯(cuò)位相減法以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義;重點(diǎn)考查運(yùn)算求解能力和分析處理綜合問題的能力.對(duì)于（1），不難得bn=2，4b7=2，由于所求目標(biāo)是an，所以應(yīng)將兩個(gè)條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，消去bn得到關(guān)于an的式子，再利用a1，d這兩個(gè)基本量代入求解得d，最后利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出Sn. 對(duì)于（2），求出f（x）的圖象在點(diǎn)（a2，b2）處的切線，令y=0求出x的值，結(jié)合x=2-和b2=2兩式可求得a2=2，從而求得an=n，由于<，應(yīng)考慮錯(cuò)位相減法求和.

破解 ?（1）因?yàn)辄c(diǎn)（an，bn）在函數(shù)f（x）=2x的圖象上（n∈N？鄢），所以bn=2，所以b=2. 又因?yàn)辄c(diǎn)（a8，4b7）在函數(shù)f（x）的圖象上，所以4b7=2，所以4·2=2，即a+2=a，所以等差數(shù)列{an}的公差d=a8-a7=2. 所以{an}的前n項(xiàng)和Sn=n×（-2）+×2=n2-3n.

（2）因?yàn)閒（x）=2x，所以f ′（x）=2xln2，所以函數(shù)f（x）=2x在點(diǎn)（a2，b2）處的切線方程為y-b2=（2ln2）（x-a2）. 令y=0，得x=a2-. 因?yàn)閎2=2，所以x=a2-. 因?yàn)閤=2-，所以a2=2，由a1=1可得公差d=1，所以an=n. 又因?yàn)閎n=2，所以bn=2n，所以==n·n.因?yàn)門n=+2·2+3·3+…+（n-1）·n-1+n·n，所以Tn=2+2·3+3·4+

…+（n-1）·n+n·n+1，兩式相減得：Tn=+2+3+4+

…+n-n·n+1=-n·n+1=1--，所以Tn=21--=2-.

1. 數(shù)列2，2，3，4，…，n+，…的前n項(xiàng)和為（ ? ?）

A. +2-

B. +1-

C. -

D. -

2. 已知函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R，都有f（x）+f（1-x）=，則f（0）+f+f+…+f+f（1）=________.

3. 已知{an}是首項(xiàng)為1、公差為2的等差數(shù)列，S表示{an}的前n項(xiàng)和.{bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，公比q滿足q2-（a4+1）q+S4=0，則{bn}的前n項(xiàng)和Tn=________.

4. （2014年高考新課標(biāo)卷I）已知{an}是遞增的等差數(shù)列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根.

（1）求{an}的通項(xiàng)公式;（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

5. 正項(xiàng)數(shù)列{an}的前項(xiàng)和Sn滿足：S2n-（n2+n-1）Sn-（n2+n）=0.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;

（2）令bn=，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，證明：對(duì)于任意的n∈N？鄢，都有Tn<.

參考答案

1. C ? ?2. 504？搖 ? 3. （4n-1）

4. （1）an=n+1.

（2）設(shè)的前n項(xiàng)和為Sn，由（1）可得==，則Sn=++…++，則Sn=++

…++，兩式相減可得Sn=++…+-=+-=+1--，所以Sn=2-.

5. （1）由S-（n2+n-1）Sn-（n2+n）=0，得[Sn-（n2+n）]（Sn+1）=0. 由于{an}是正項(xiàng)數(shù)列，所以Sn>0，Sn=n2+n. 于是a1=S1=2，n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=n2+n-（n-1）2-（n-1）=2n. 綜上，數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=2n.

（2）由于an=2n，bn=，所以bn==-，Tn=1-+-+-+…+-+-=1+--<1+=.endprint