郝高峰

摘 要：《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，那么作為幾乎無處不在的合情推理理應(yīng)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中得到足夠的重視。本文以《點(diǎn)陣中的規(guī)律》教學(xué)為例，論述在教學(xué)中，教師應(yīng)創(chuàng)造條件，引導(dǎo)和鼓勵(lì)學(xué)生經(jīng)?！安乱徊隆薄ⅰ氨纫槐取?、“證一證”，逐步培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力，促進(jìn)學(xué)生思維的提升。

關(guān)鍵詞：合情推理；思維能力；小學(xué)數(shù)學(xué)

中圖分類號(hào)：G622 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2014）21-151-01

推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，包括合情推理和演繹推理。在以往的教學(xué)中，我們比較重視演繹推理的教學(xué)，忽視了合情推理的培養(yǎng)。而小學(xué)生更多是在豐富多彩的數(shù)學(xué)活動(dòng)中經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等合情推理過程。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要重視培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力。

一、鼓勵(lì)學(xué)生“猜一猜”

我在教學(xué)《點(diǎn)陣中的規(guī)律》時(shí)，猜想可謂是貫穿了整節(jié)課的始末。如在研究正方形點(diǎn)陣時(shí)，請(qǐng)學(xué)生猜猜第10個(gè)，甚至第100個(gè)點(diǎn)陣的樣子及排列規(guī)律；研究完了正方形點(diǎn)陣，請(qǐng)學(xué)生猜一猜還可能有什么形狀的點(diǎn)陣并自己設(shè)計(jì)、研究；學(xué)生設(shè)計(jì)出三角形點(diǎn)陣、長方形點(diǎn)陣、十字形點(diǎn)陣后鼓勵(lì)學(xué)生猜猜第n個(gè)是什么樣子，用算式如何表示；教師出示了五邊形點(diǎn)陣后，引導(dǎo)學(xué)生猜猜還可能有六邊形、七邊形等點(diǎn)陣；課尾，將點(diǎn)陣從平面引向了空間，告訴孩子“畢達(dá)哥拉斯學(xué)派”的數(shù)學(xué)家們還研究了“三棱錐數(shù)”，請(qǐng)學(xué)生猜一猜數(shù)學(xué)家們還可能研究什么樣的“形數(shù)”呢。整節(jié)課，孩子遨游于猜想的海洋，思維活躍，幾近“山重水復(fù)”，屢歷“柳暗花明”。先后了解了正方形、三角形、長方形、十字形、五邊形、中心五邊形、五角星、三棱錐數(shù)等“形數(shù)”。我一次次折服于孩子大膽的猜想，難怪大教育家波利亞疾呼：“讓我們教猜想吧！”

二、聯(lián)系異同“比一比”

合情推理被譽(yù)為“科學(xué)發(fā)現(xiàn)的金鑰匙”，它有不完全歸納推理和類比推理兩種主要形式。而不管是“從個(gè)別到一般”的歸納推理，還是從“特殊到特殊”的類比推理都是在觀察、比較、分析、聯(lián)想的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要牢記俄國心理學(xué)家巴浦洛夫的告誡——“要研究事實(shí)，對(duì)比事實(shí)，積聚事實(shí)”，經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行比較，辨別異同，認(rèn)識(shí)本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力。探究正方形點(diǎn)陣的排列規(guī)律時(shí)，學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)以下思路：

1、從上往下。第1個(gè)點(diǎn)陣有1×1=1個(gè)點(diǎn)、第2個(gè)有2×2=4個(gè)點(diǎn)、第3個(gè)有3×3=9個(gè)點(diǎn)……第n個(gè)點(diǎn)陣共有n×n（即n2）個(gè)點(diǎn)；2、斜著觀察。第1個(gè)點(diǎn)陣有1個(gè)點(diǎn)、第2個(gè)有1+2+1=4個(gè)點(diǎn)、第3個(gè)有1+2+3+2+1=9個(gè)點(diǎn)……第n個(gè)點(diǎn)陣共有1+2+3+…+n+…+3+2+1個(gè)點(diǎn)；3、轉(zhuǎn)著觀察。第1個(gè)點(diǎn)陣有1個(gè)點(diǎn)、第2個(gè)有1+3=4個(gè)點(diǎn)、第3個(gè)有1+3+5=9個(gè)點(diǎn)……第n個(gè)點(diǎn)陣共有1+3+5+…+（2n-1）個(gè)點(diǎn)。

教學(xué)中，不但要引導(dǎo)學(xué)生通過“比一比”歸納或類推出第n個(gè)正方形點(diǎn)陣有多少個(gè)點(diǎn)，更要引導(dǎo)學(xué)生比較這三種思路之間的異同，類推出一般的找規(guī)律的方法（有序思考、數(shù)形結(jié)合等），還可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：n×n=1+2+3+…+n+…+3+2+1=1+3+5+…+（2n-1）=n2。把學(xué)生的思維引向一個(gè)新的高度，培養(yǎng)了學(xué)生的合情推理能力，發(fā)展了學(xué)生的思維。

三、引導(dǎo)學(xué)生“證一證”

合情推理是一種似真推理，主要用來探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論。而“實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)”。因此，當(dāng)我們通過合情推理得到一個(gè)猜想以后，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生在他們已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上進(jìn)行推理驗(yàn)證，經(jīng)歷一個(gè)“猜想——驗(yàn)證”，甚至“再猜想——再驗(yàn)證”的過程。比如學(xué)生在研究自己“創(chuàng)造”的十字形點(diǎn)陣時(shí)，通過觀察發(fā)現(xiàn)相鄰兩個(gè)點(diǎn)陣的點(diǎn)數(shù)總相差4，有同學(xué)猜測(cè)第n個(gè)點(diǎn)陣共有4n+1個(gè)點(diǎn)，也有人猜測(cè)應(yīng)有4n-3個(gè)點(diǎn)。如果教師迅速宣布結(jié)果，我們就將失去一次大好的思維訓(xùn)練契機(jī)。教學(xué)時(shí)，我適時(shí)追問了一句：“你能想辦法驗(yàn)證你的猜想嗎？”短暫的思考之后，孩子們就第n個(gè)點(diǎn)陣的點(diǎn)數(shù)到底是4n+1還是4n-3展開了激烈的爭(zhēng)論：

生1：我認(rèn)為應(yīng)該是4n+1，大家看，如果不看中間的點(diǎn)，這里每一圈都有4個(gè)點(diǎn)（孩子見說著不清楚，直接走上了講臺(tái)，借助實(shí)物投影展示），總點(diǎn)數(shù)應(yīng)該是4的倍數(shù)多1，不就是4n+1嗎？

生2：不對(duì)，不對(duì)?。ㄋ@然有些著急了）如果你說的是正確的，那么第5個(gè)點(diǎn)陣就有5×4+1=21個(gè)點(diǎn)。大家看（她走上黑板畫了起來）——只有17個(gè)點(diǎn)！

師：是這樣嗎，孩子們？（能看出生1也認(rèn)可）看來，要驗(yàn)證一個(gè)猜想的正確，可能需要嚴(yán)格的證明或大量的事實(shí)，而要說明一個(gè)猜想錯(cuò)誤，只要一個(gè)反例就夠了。是這樣嗎？

生3：這里的n表示第幾個(gè)點(diǎn)陣，如果沒有第一個(gè)點(diǎn)陣，那么4n+1就對(duì)了?。ㄎ翼樖稚w住了第一個(gè)點(diǎn)陣，孩子們表示認(rèn)同）

生4：我畫了幾個(gè)點(diǎn)陣，證明4n-3是正確的。（他展示了自己的成果）

生5：我是這樣想的，第n個(gè)點(diǎn)陣每條邊上都可以看作n個(gè)點(diǎn)，4條就有4n個(gè)。但中間一個(gè)點(diǎn)被多算了3次，所以共有4n-3個(gè)點(diǎn)。

生6：我是受生1的啟發(fā)。每圈有4個(gè)點(diǎn)，但是第n個(gè)點(diǎn)陣應(yīng)該有n-1圈，再加上中間一個(gè)點(diǎn)，一共有4（ n-1）+1個(gè)點(diǎn)，化簡(jiǎn)也是4n-3。

我不禁要為孩子們精彩的“驗(yàn)證”鼓掌叫好！誰說“證明與推理”只能是“大學(xué)生”的專利！《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》在對(duì)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總目標(biāo)進(jìn)行具體闡述時(shí)指出，要引導(dǎo)學(xué)生“在參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理和演繹推理的能力，清晰地表達(dá)自己的想法?！?/p>

“演繹推理用于證明，合情推理用于發(fā)明?！痹谛W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于小學(xué)生的思維特點(diǎn)決定了可能少有非常嚴(yán)密的邏輯證明，更多地是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、猜想、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的合情推理。但這不能成為我們忽視孩子推理能力培養(yǎng)的理由。我們應(yīng)該“既教證明，又教猜想”——哪怕些許的滲透。我想：長期不懈的潛移默化，一定會(huì)讓合情推理和演繹推理這對(duì)思維的雙翅比翼齊飛！

參考文獻(xiàn)：

[1] G·波利亞.李心燦.王日爽.李志堯譯.數(shù)學(xué)與猜想（第一卷）北京：科學(xué)出版社.

[2] 吉智深.我們對(duì)推理和證明的理解有偏差.中小學(xué)數(shù)學(xué)（小學(xué)版）2012：05.endprint