安 凱

（山東航天電子技術(shù)研究所，煙臺(tái) 264003）

0 引言

碎片云軸向最大速度（以下稱前端速度）是對(duì)航天器內(nèi)部?jī)x器設(shè)備毀傷程度評(píng)價(jià)的一個(gè)重要因素。儀器設(shè)備的外殼能否被擊穿以及擊穿面積的大小都與碎片云的前端速度密切相關(guān)，而前端速度又與撞擊航天器外殼的空間碎片的速度大小以及航天器外殼的結(jié)構(gòu)、材質(zhì)與厚度等多種因素有關(guān)[1-8]。由于超高速碰撞發(fā)生在空間，要真實(shí)地獲取碎片云 前端速度極其困難，因此地面模擬試驗(yàn)便成為獲取碎片云前端速度的主要途徑。地面模擬試驗(yàn)主要手段是用二級(jí)輕氣炮發(fā)射彈丸撞擊靶板。影響碎片云前端速度的因素很多，至少包括彈丸直徑、彈丸速度和靶板厚度，即建立的碎片云前端速度模型至少應(yīng)是一個(gè)三元函數(shù)。而多元函數(shù)的建模不僅需要更多的試驗(yàn)樣本，運(yùn)算的復(fù)雜度也更高，因此許多研究者采用無量綱化的方法，將多元函數(shù)建模問題轉(zhuǎn)換為一元函數(shù)建模問題。例如文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[5]將無量綱化變量V1/V0作為無量綱化變量t/D的函數(shù)，通過建立V1/V0的模型間接獲得V1的模型，則無量綱化模型的形式為V1/V0=[a(t/D)+b]c，式中：V1是碎片云的前端速度；t是靶板厚度；D是彈丸直徑；V0是彈丸撞擊速度；a、b和c是擬合樣本數(shù)據(jù)時(shí)的待定系數(shù)[8]。

無量綱化模型的一個(gè)明顯缺陷是，在t/D一定時(shí)V1/V0只能是一個(gè)常數(shù)。而文獻(xiàn)[3]中的試驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示，當(dāng)t/D=0.026，V0分別為4.67 km/s、6.54 km/s、6.7 km/s 時(shí)，V1/V0分別為0.985、1.032、1.030?？梢娺@種“無量綱化”的方法與試驗(yàn)數(shù)據(jù)存在一定差異，其原因就是獨(dú)立變量個(gè)數(shù)太少。本文將建立包含彈丸直徑、彈丸速度和靶板厚度3 個(gè)變量的碎片云前端速度三元函數(shù)，然后利用多元函數(shù)的擬合方法建立碎片云前端速度的預(yù)測(cè)模型。

1 試驗(yàn)及相關(guān)數(shù)據(jù)

1.1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)

本文采用二級(jí)輕氣炮發(fā)射球形彈丸進(jìn)行超高速撞擊試驗(yàn)，彈丸材料為2017-T4 鋁合金，靶板材料采用6061-T6 單層鋁合金板（600 mm×600 mm）。試驗(yàn)進(jìn)行了6 次，并采用閃光X 射線高速攝影機(jī)全程拍攝撞擊過程。試驗(yàn)數(shù)據(jù)見表1。

表1 6 次超高速撞擊試驗(yàn)數(shù)據(jù)Table 1 Data of six hypervelocity collision tests

1.2 相關(guān)數(shù)據(jù)

文獻(xiàn)[3]給出了一組二級(jí)輕氣炮的超高速撞擊試驗(yàn)數(shù)據(jù)，試驗(yàn)所采用的2017-T4 鋁合金球形彈丸的直徑分別為6.35 mm、9.53 mm 和12.70 mm，6061-T6 鋁合金單層靶板的厚徑比t/D及試驗(yàn)數(shù)據(jù)見表2[3]。

由表2的數(shù)據(jù)計(jì)算可得出V1和t，最終獲得建模所需要的4 個(gè)獨(dú)立變量（t、D、V0、V1），見表3。在用表2中的樣本序號(hào)數(shù)據(jù)計(jì)算所得結(jié)果填入表3中時(shí)，只是將表2中序號(hào)分別為4、9 和16 的樣本數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果依次排在表3的最后，其余樣本數(shù)據(jù)及計(jì)算結(jié)果的相對(duì)排序維持不變。

表2 超高速撞擊試驗(yàn)數(shù)據(jù)Table 2 Data of the hypervelocity collision test

表3 建模變量數(shù)據(jù)Table 3 Variables for model setting

續(xù)表3

考慮到模型預(yù)測(cè)精度的驗(yàn)證問題，將試驗(yàn)數(shù)據(jù)分為樣本數(shù)量不同的兩組，樣本較多的一組用來建立擬合模型，以保證用于建模的樣本中t/D有更多的值；而樣本較少的一組用來驗(yàn)證所建立的模型。因此，選擇表3中的最后3 個(gè)樣本作為驗(yàn)證樣本；用表3中的前22 個(gè)樣本以及表1的全部6 個(gè)樣本來建立擬合模型。

2 碎片云前端速度的模型及預(yù)測(cè)

2.1 前端速度模型的建立

在彈丸和靶板的材料一定時(shí)，碎片云前端速度V1主要取決于靶板材料厚度t、彈丸直徑D和撞擊速度V0，因此V1=f(t,D,V0)。

建立三元函數(shù)f(t,D,V0)的數(shù)值模型的關(guān)鍵是建模方法的選擇。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模法雖然已經(jīng)被證明具有很好的逼近效果，并在許多建模問題中得到應(yīng)用[9]，但所建模型的學(xué)習(xí)時(shí)間太長(zhǎng)，參數(shù)較多，改變彈丸和靶板材料后重新建模十分困難。而采用多元多項(xiàng)式逼近建模方法，只要函數(shù)在某一點(diǎn)展開的Taylor 級(jí)數(shù)足夠高，就可以無限逼近原函數(shù)。

一個(gè)三元函數(shù)的二階Taylor 展開式可以表示為

式中：aij，ai是f(t,D,V0)的二階Taylor 展開式的系數(shù)；c=f(0, 0, 0)。

式(1)可改寫成矩陣形式為

即稱之為三元二階多項(xiàng)式模型（以下簡(jiǎn)稱多項(xiàng)式模型）。其中Ω=[a11a22a33a12a13a23a1a2a3c]。

分別以ti，Di，V0i和V1i(i=1,2,…,n)表示第i個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，并將這些數(shù)據(jù)代入式(2)得到：

記Y=[V11V12…V1n]T；

則有Y=AΩT。根據(jù)最小二乘法原理，使擬合的方均根誤差達(dá)到最小的解[10]為

為保證式(3)在det(Ω)=0 時(shí)仍然有解，不妨取ΩT=A+Y，其中A+表示矩陣A的廣義逆矩陣[8]。

式(2)為碎片云前端速度模型，是具有3 個(gè)獨(dú)立變量的函數(shù)。將表1和表3中的前22 個(gè)數(shù)據(jù)樣本代入該模型后得ΩT=[-0.0027 -0.0312 0.0124 0.9080 -0.0480 -0.0222 -8.6977 0.3590 1.1430 -0.5494]。

為了直觀地了解碎片云前端速度模型的擬合效果，圖1依次繪出了表1和表3的前22 個(gè)建模樣本點(diǎn)的前端速度，以及由碎片云前端速度模型計(jì)算得到的相應(yīng)的前端速度的擬合值，可以看出絕大多數(shù)的擬合點(diǎn)都與原數(shù)據(jù)計(jì)算所獲得的前端速度點(diǎn)十分接近。

圖1 前端速度模型的擬合效果Fig.1 Fitting curves of the maximal axial velocity

2.2 前端速度的預(yù)測(cè)

為了檢驗(yàn)多項(xiàng)式模型的建模精度，將表3中的最后3 個(gè)樣本作為驗(yàn)證樣本代入模型，依次得到碎片云的前端速度的預(yù)測(cè)結(jié)果分別為6.745 2 km/s、7.401 3 km/s、6.520 2 km/s。而與其對(duì)應(yīng)的3 個(gè)碎片云的前端速度的試驗(yàn)值分別為6.901 0 km/s、7.608 8 km/s、6.586 5 km/s。結(jié)果顯示，這3 個(gè)預(yù)測(cè)結(jié)果的方均根誤差為0.154 6，平均相對(duì)誤差為1.99%。

3 多項(xiàng)式模型與無量綱化模型的比較

首先考慮無量綱化模型對(duì)于表3中的22 個(gè)建模樣本的擬合問題。當(dāng)c為任意實(shí)數(shù)時(shí)這是一個(gè)不能線性化的非線性最小二乘問題，目前大多采用隨機(jī)搜索法來解決此類問題。為確定搜索的初始點(diǎn)，將無量綱化模型改寫為

這是一個(gè)關(guān)于t/D的線性模型，當(dāng)V1/V0≠0 時(shí)而當(dāng)a=0、b=1 時(shí)，等式(4)右端 的值是1，因此1/c應(yīng)當(dāng)在0 的附近尋求。

選擇a=0，b=1，c=10 作為初始條件，則目標(biāo)函數(shù)為

其中V1i，V0i，ti和Di分別表示V1，V0，t和D的第i個(gè)樣本。利用文獻(xiàn)[11]所給出的二階段變半徑隨機(jī)搜索算法可以求得=±105，= (m10-5×0.830 9, 1±10-5×0.028 6)。

結(jié)果顯示，這3 個(gè)預(yù)測(cè)結(jié)果的方均根誤差為0.227 9，平均相對(duì)誤差為3.03%。

與多項(xiàng)式模型的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比可以看出，無量綱化模型無論預(yù)測(cè)結(jié)果的方均根誤差還是平均相對(duì)誤差都要來得大，而且本身不能轉(zhuǎn)化為線性模型，參數(shù)的求解十分復(fù)雜。

4 結(jié)束語

本文提出的預(yù)測(cè)碎片云前端速度的三元二階多項(xiàng)式模型屬于線性模型，因此其中的參數(shù)可以利用最小二乘法求解；但為避免非奇異問題，逆矩陣一律由廣義逆矩陣代替。該模型具有更強(qiáng)的泛化能力，可以更好地?cái)M合試驗(yàn)樣本，對(duì)前端速度具有更好的預(yù)測(cè)效果。

（References）

[1]Lai S T, Murad E, McNeil W J.Hazards of hypervelocity impacts on spacecraft[J].Spacecraft &Rockets, 2002, 39(1):106-114

[2]Kinslow R.High-velocity impact phenomena[M].New York:Academic Press, 1970:121-145

[3]Piekutowski A J.Formation and description of debris clouds produced by hypervelocity impact, NASA Contractor Report 4707[R], 1996

[4]Kessler J.Collision cascading:The limits of population growth in low Earth orbit[J].Advances in Space Research, 1991, 11(12):63-66

[5]Giacomuzzo C, Francesconi A, Anselmo L, et al.Impact risk analysis for a spacecraft in Cosmo-Skymed orbit[J].Advances in Space Research, 2010, 46(7):846-858

[6]Sch?fer F K.An engineering fragmentation model for the impact of spherical projectiles on thin metallic plates[J].International Journal of Impact Engineering, 2006, 33:745-762

[7]Klinkrad H.Space debris:models and risk analysis[M].Chichester:Praxis Publishing Ltd, 2006:5-57

[8]黃潔, 馬兆俠.超高速撞擊碎片云運(yùn)動(dòng)特性及碎片云分布模型研究[C]//第六屆全國空間碎片學(xué)術(shù)交流會(huì)論文集.北京:國家國防科技工業(yè)局系統(tǒng)工程一司, 2011:358-365

[9]安凱, 馬佳光, 傅承毓.超球聚類模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在跟蹤控制中的應(yīng)用[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù), 2001, 23(8):80-83 An Kai, Ma Jiaguang, Fu Chengyu.The application of fuzzy neural based on super-sphere clustering in tracking control[J].Systems Engineering and Electronics, 2001, 23(8):80-83

[10]安凱, 邢進(jìn)生, 邱祖廉.模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的二階段變半徑隨機(jī)搜索算法[J].自動(dòng)化學(xué)報(bào), 2000, 26(5):616-622 An Kai, Xing Jinsheng, Qin Zulian.Two-stage random search algorithm of fuzzy neural network with variable radius[J].Acta Automatica Sinica, 2000, 26(5):616-622

[11]An Kai, Ma Jiaguang, Fu Chengyu.Maximum likelihood estimation of the identification parameters and its correction[J].Systems Engineering and Electronics, 2002, 13(4):31-38