李偉鋒，王 哲

(中原工學(xué)院電子信息學(xué)院，河南鄭州 450007)

紗線拉伸至斷裂所能承受的最大抗拉伸力或拉伸斷裂負荷，是研究最多的紗線機械性質(zhì)之一［1－3］。由于紗線的拉伸變形能力很大，并且具有黏彈性體的性質(zhì)，紗線拉伸過程所產(chǎn)生的形變情況以及紗線成品質(zhì)量控制也受到充分的關(guān)注［4］。拉力對紗線拉伸性質(zhì)的影響，可用多元件或一般化的黏彈模型來研究［5－7］。本文利用典型的三元素模型進行分析，加入非線性部分，從而得到更接近實際的模型。

1 紗線張力數(shù)學(xué)模型

三元素模型，也叫做標準固體模型，可較好地模擬高分子材料黏彈性區(qū)的受力與變形關(guān)系，用以特定型號紗線的模型建立［8－9］。模型構(gòu)成如圖 1所示。

圖1 三元素模型Fig.1 Three element model

圖中，上部位彈簧的彈性系數(shù)為E0，下部位彈簧的彈性系數(shù)為E，牛頓型黏滯杯的阻尼系數(shù)為η。整個模型受到的應(yīng)力設(shè)定為σ，相應(yīng)的應(yīng)變?yōu)棣?。于是?gòu)建如下方程組:

式中:ξ1、ξ2分別為彈簧 E0和彈簧 E、黏滯杯 η 的應(yīng)變;σ1、σ2分別為彈簧E和黏滯杯η受到的應(yīng)力。

將方程組(1)化簡，得到下面等式:

繼續(xù)化簡，得出如下傳遞函數(shù)的形式:

再轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間方程的形式，即為

式中:x為狀態(tài)變量;μ為輸入;y為輸出;f(t，x)為紗線拉伸過程中的非線性擾動部分。該模型即為單根紗線張力模型的數(shù)學(xué)表示形式，該狀態(tài)空間方程即為單根紗線張力數(shù)學(xué)模型的算子。

2 右互質(zhì)分解

互質(zhì)分解的概念最早出現(xiàn)在線性反饋控制系統(tǒng)中，并對反饋控制系統(tǒng)的輸入輸出穩(wěn)定問題提供了合理的解決方案。之后，非線性控制系統(tǒng)的互質(zhì)分解問題開始出現(xiàn)，指導(dǎo)并應(yīng)用于非線性系統(tǒng)的分析、設(shè)計、鎮(zhèn)定和控制當(dāng)中，尤其是非線性系統(tǒng)的右互質(zhì)分解問題，得到了更為廣泛的關(guān)注［10］。

定義:如果P存在右分解P=ND－1，且存在因果穩(wěn)定的映射A∶Y→U，B∶U→U使如下的Bezout恒等式成立:

或

式中IU為U上的單位映射。則稱算子P具有右互質(zhì)分解。

3 紗線張力模型的右互質(zhì)分解

上文中，計算得到了紗線張力模型的算子，在此，將證明該算子具有右互質(zhì)分解并計算得到右互質(zhì)分解的結(jié)果。

對于方程組(2)的右互質(zhì)分解結(jié)果，D和N分別寫作如下形式:

下面根據(jù)算子右互質(zhì)分解的定義來證明P=ND－1且N和D滿足Bezout恒等式。

由式(4)、(5)，可得到:

對于任意的輸入μ，都有x2(t)≡x3(t)，因此上式與式(1)是相同的，即算子P具有右分解。

式中，v1=v3=v，x1=x3，因此得到(K1N+K2D)(v)=v(v∈U)，即滿足 AN+BD=I(A 即 K1，B 即K2)，故算子P具有右互質(zhì)分解。

4 紗線張力的跟蹤控制系統(tǒng)設(shè)計

綜合以上各部分的分析結(jié)果，基于右互質(zhì)分解的理論，對紗線張力進行跟蹤控制的設(shè)計研究，設(shè)計控制器和反饋狀態(tài)矩陣，結(jié)果如圖2所示。

圖2 紗線跟蹤控制結(jié)構(gòu)框圖Fig.2 Yarn tracking control structure diagram

圖中:r為期望輸入值;b為反饋值;e為誤差量;y為輸出值;u為紗線系統(tǒng)的輸入;P為右互質(zhì)分解后的紗線模型。

根據(jù)圖2的結(jié)構(gòu)，計算得到輸出y=CN(r)，因此，如果令C=N－1，那么系統(tǒng)就可完成跟蹤工作。

5 仿真

使用MatLab/simulink進行模塊化仿真，搭建系統(tǒng)模型。為簡化計算，假設(shè)彈簧E和E0的彈性系數(shù)為1，黏滯杯的阻尼系數(shù)η為1，則可得到系數(shù)A=1，B=1，C=2。則搭建原系統(tǒng)模型如圖3所示。仿真結(jié)果如圖4所示。設(shè)定輸入期望值為一按正弦變化的序列，分別測試原系統(tǒng)的輸出與跟蹤控制系統(tǒng)的輸出是否能夠完全跟蹤期望輸入。

根據(jù)第4節(jié)的跟蹤控制系統(tǒng)設(shè)計，加入控制和反饋部分，仿真系統(tǒng)如圖5所示。仿真結(jié)果如圖6所示。

圖3 紗線張力系統(tǒng)模型Fig.3 Yarn tension system model

圖4 紗線系統(tǒng)模型仿真結(jié)果Fig.4 Simulation result of Yarn tension system model

圖5 紗線張力跟蹤控制系統(tǒng)模型Fig.5 Yarn tension tracking control system model

圖6 紗線張力跟蹤控制系統(tǒng)模型仿真結(jié)果Fig.6 Simulation result of yarn tension tracking control system model

由仿真結(jié)果可知，右互質(zhì)分解之后的紗線張力跟蹤控制模型，輸出實際值能夠完全跟蹤輸入的期望值，實現(xiàn)紗線張力的跟蹤控制。

6 結(jié)束語

在紗線的模型基礎(chǔ)上，結(jié)合右互質(zhì)分解理論，對紗線張力模型進行分解，并設(shè)計得到紗線張力的跟蹤控制方法，通過仿真驗證了該方法的合理性。該方法能夠快速測得紗線張力并對其進行有效的跟蹤控制。

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