王化東

(中國(guó)人民解放軍93818部隊(duì)，北京100843)

0 引言

一般情況下，飛行模擬所建立的環(huán)境都是以平靜大氣為主，并未考慮到大氣擾動(dòng)對(duì)于飛機(jī)飛行的影響。但是實(shí)際上真實(shí)的大氣中存在著各種各樣的大氣擾動(dòng)，這些擾動(dòng)對(duì)于飛行器的品質(zhì)有非常大的影響。因此為了增加地面仿真的真實(shí)性，需建立與真實(shí)大氣環(huán)境相似的大氣擾動(dòng)模型并應(yīng)用于地面仿真。開(kāi)展大氣擾動(dòng)建模技術(shù)的研究對(duì)于研究飛行器在擾動(dòng)環(huán)境下的品質(zhì)特性、提高仿真的逼真度有著非常重要的意義。

大氣擾動(dòng)包括很多種形式:低空的穩(wěn)態(tài)風(fēng)、大氣紊流以及陣風(fēng)。在這些氣流擾動(dòng)中大氣紊流最為復(fù)雜，模型建立也最為困難。本文將基于Dryden模型針對(duì)大氣紊流數(shù)學(xué)模型的仿真計(jì)算進(jìn)行詳細(xì)探討［1］。

1 大氣紊流數(shù)學(xué)模型

大氣紊流現(xiàn)象的形成和出現(xiàn)一般與地形誘導(dǎo)、熱交換、風(fēng)切變等因素有很大的關(guān)系。同時(shí)飛機(jī)、艦船等拖曳的尾流也會(huì)形成紊流區(qū)，例如對(duì)于運(yùn)動(dòng)的艦船來(lái)說(shuō)，在艦船的尾部區(qū)域也會(huì)形成一個(gè)紊流區(qū)，稱(chēng)之為艦尾流，它是由于甲板風(fēng)流過(guò)艦船上的各種建筑物所形成的，它的出現(xiàn)對(duì)于艦載機(jī)的著艦過(guò)程有著非常大的影響。

實(shí)際的大氣紊流是十分復(fù)雜的物理現(xiàn)象。為了使飛機(jī)響應(yīng)問(wèn)題的研究不至于過(guò)分復(fù)雜，在保證模型準(zhǔn)確度的基礎(chǔ)上可進(jìn)行適當(dāng)?shù)募僭O(shè)。一般來(lái)說(shuō)，大氣紊流是一個(gè)隨機(jī)函數(shù)，它與時(shí)間和位置有著緊密的關(guān)系，這種函數(shù)關(guān)系是基于大量的測(cè)量和統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行構(gòu)建的。在航空工程應(yīng)用中，可以假設(shè):大氣紊流的統(tǒng)計(jì)特征(即平均值和均方差，以及相關(guān)函數(shù)和頻譜函數(shù))既不隨時(shí)間而變(認(rèn)為紊流是平穩(wěn)的)，也不隨位置而變(認(rèn)為紊流是均勻的)，在這種假設(shè)條件下可以滿(mǎn)足對(duì)飛機(jī)品質(zhì)特性分析的需要。

目前常用的大氣紊流模型是德萊頓基于大量測(cè)量和統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)提出的，其對(duì)應(yīng)的指數(shù)型縱向相關(guān)函數(shù)為［2］:f(ξ)=e－ξ/L?；跍y(cè)量和統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)求得f(ξ)和g(ξ)后，然后對(duì)得到的結(jié)果通過(guò) Fourier變換，可求出 Dryden模型的縱向和橫向頻譜函數(shù)如下:

這里

得到的頻譜函數(shù)是基于“平穩(wěn)”和“均勻”兩個(gè)假設(shè)條件得到的，這就會(huì)使得所得到的這個(gè)模型在無(wú)窮遠(yuǎn)處的漸進(jìn)性質(zhì)是不符合實(shí)際紊流理論的，但這并不影響實(shí)際的工程應(yīng)用。該Dryden模型的優(yōu)點(diǎn)在于:相對(duì)來(lái)說(shuō)頻譜的形式較為簡(jiǎn)單，可以通過(guò)常規(guī)的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行處理，而這一點(diǎn)對(duì)于紊流數(shù)值仿真是非常必要的。

2 仿真計(jì)算理論

為了完成對(duì)大氣紊流的仿真計(jì)算，針對(duì)上述求得的大氣紊流頻譜函數(shù)，設(shè)計(jì)如圖1所示的仿真計(jì)算流程。

圖1 生成大氣擾流的仿真計(jì)算流程圖Fig.1 Simulation calculation procedure for creating atmospheric turbulence

要生成大氣紊流數(shù)據(jù)，需要解決的問(wèn)題就是作為輸入的隨機(jī)信號(hào)的生成以及成型濾波器的設(shè)計(jì)計(jì)算。嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，在大氣紊流的數(shù)值仿真過(guò)程中所要求的輸入信號(hào)是真正的隨機(jī)信號(hào)，但是在實(shí)際的數(shù)字計(jì)算機(jī)中，任何運(yùn)算都是按一定的算法由相應(yīng)的程序進(jìn)行的，所以，不可能產(chǎn)生真正的隨機(jī)數(shù)，只能產(chǎn)生“偽隨機(jī)數(shù)”，其特征僅近似地符合白噪聲。

通常情況下，所使用的數(shù)字計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)為32 bit。在數(shù)學(xué)上可以按如下公式生成在［0，231－1］之間均勻分布的隨機(jī)數(shù):

式中，初值r0可以任意選取;a和b為滿(mǎn)足一定要求的奇數(shù);mod為求余運(yùn)算符號(hào);m=231－1為最大整數(shù)。

圖2為通過(guò)這種算法所得出的一段偽隨機(jī)信號(hào)序列以及該隨機(jī)信號(hào)的功率譜分析結(jié)果(其均值與方差分別為0.0383和1.0184)。

圖2 程序計(jì)算生成的隨機(jī)信號(hào)序列及其功率譜分析結(jié)果Fig.2 Results of random signal sequence and power spectrum analysis

要生成大氣紊流數(shù)據(jù)，必須要使用成型濾波器進(jìn)行計(jì)算，以偽隨機(jī)信號(hào)作為輸入，而且成型濾波器的設(shè)計(jì)必須依據(jù)于理論頻譜函數(shù)，這樣才能夠保證所生成的大氣紊流數(shù)據(jù)頻譜特性的正確性［2］。成型濾波器就是通過(guò)濾波環(huán)節(jié)將白噪聲轉(zhuǎn)化為期望的有色噪聲，如圖3所示。

圖3 成型濾波器Fig.3 Shaping filter

根據(jù)公式

可以得出:

而白噪聲的頻譜為常值，令它為單位值，所以，輸出的頻譜為:

由此可見(jiàn)，只要把給定的輸出頻譜按照上式分解，就可以得到成型濾波器的傳遞函數(shù)G(s)。低空擾動(dòng)模型使用的是Dryden紊流擾動(dòng)模型，其空間域頻譜表達(dá)式如下:

根據(jù)ω=ΩV(V為該方向上飛機(jī)的分速度)，可求得上述模型的時(shí)間域頻譜表達(dá)式為:

對(duì)上述各式進(jìn)行分解，則可得到為了產(chǎn)生給定頻譜Φx(ω)所需要的成型濾波器的傳遞函數(shù)Gx(s)。

對(duì)于3個(gè)分量，求出所需的傳遞函數(shù)如下:

以上所得到的就是可以進(jìn)行大氣紊流數(shù)值仿真計(jì)算所需要的成型濾波器所對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

對(duì)于成型濾波器的形式還不能直接在程序中運(yùn)算，必須要由濾波器所對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)的形式得到可以在程序中以數(shù)值方法進(jìn)行運(yùn)算的遞推公式，這也就是濾波器在程序中的實(shí)現(xiàn)方式。對(duì)于低空擾動(dòng)的Dryden紊流擾動(dòng)模型，則有如下遞推公式:

3 仿真計(jì)算結(jié)果

根據(jù)上述所介紹的方法，可計(jì)算得到如下低空氣流擾動(dòng)模型的時(shí)間歷程曲線(xiàn)，如圖4所示。

圖4 低空擾動(dòng)氣流曲線(xiàn)Fig.4 Low altitude atmospheric turbulence

4 結(jié)果驗(yàn)證與修正

計(jì)算得到的大氣紊流序列是否符合要求，要通過(guò)對(duì)生成的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證來(lái)體現(xiàn)。首先針對(duì)其中的偽隨機(jī)序列的生成進(jìn)行檢驗(yàn)修正，由于上面得到的偽隨機(jī)信號(hào)序列均值不等于零，標(biāo)準(zhǔn)偏差也不等于1，將該隨機(jī)信號(hào)序列減去其均值再除以方差，可將隨機(jī)信號(hào)序列的均值和方差修正為 －3.5009×10－17和1;然后就需要針對(duì)所生成的大氣紊流序列進(jìn)行檢驗(yàn)了。其檢驗(yàn)的準(zhǔn)則就是要看由計(jì)算所得到的大氣紊流序列xi(i=0，1，…，N)的頻譜特性或者相關(guān)特性是否符合該紊流模型的頻譜函數(shù)或者相關(guān)函數(shù)的理論表達(dá)式。對(duì)于這兩種方法來(lái)說(shuō)，檢驗(yàn)相關(guān)函數(shù)是比較方便的。

按照定義，隨機(jī)過(guò)程(大氣紊流序列)x(t)的相關(guān)函數(shù)為:

對(duì)此式進(jìn)行離散化，取τ=kh(h為步長(zhǎng)，k為正整數(shù))，于是就有

式中，相關(guān)函數(shù)的點(diǎn)數(shù)L不可太大，應(yīng)該使L?N。然后把由此得到的統(tǒng)計(jì)相關(guān)函數(shù)與理論相關(guān)函數(shù)畫(huà)在同一幅圖上，就可以衡量它們的吻合程度。

將低空大氣紊流擾動(dòng)模型空間頻譜函數(shù)轉(zhuǎn)化成時(shí)間頻譜函數(shù)，再對(duì)上述的紊流頻譜函數(shù)作Fourier逆變換，由此就可以得到相應(yīng)的相關(guān)函數(shù)表達(dá)式。下面以u(píng)方向的大氣紊流序列作為范例，未修正之前，所得到的u方向大氣紊流序列如圖5所示，其對(duì)應(yīng)的相關(guān)序列可按照下式進(jìn)行計(jì)算:

在該大氣紊流序列中N=1500，可取L=50?N。

對(duì)于低空擾動(dòng)模型來(lái)說(shuō)，采用的是Dryden紊流擾動(dòng)模型，通過(guò)查表可知u方向上的尺度和強(qiáng)度分別為L(zhǎng)u=620 ft，σu=8.105(注:由于各種大氣紊流模型中均以ft為單位，故在驗(yàn)證計(jì)算過(guò)程中采用英制單位，在最后結(jié)果中化為國(guó)際單位制)，因此在該方向上的紊流擾動(dòng)模型為:

其對(duì)應(yīng)的理論相關(guān)函數(shù)為:

圖5 修正前驗(yàn)證結(jié)果Fig.5 No fixed result

圖5 中下圖給出了實(shí)際生成的大氣紊流相關(guān)函數(shù)曲線(xiàn)與理論頻譜函數(shù)的相關(guān)函數(shù)曲線(xiàn)對(duì)比結(jié)果。圖中，由“×”組成的曲線(xiàn)表示生成的大氣紊流序列的相關(guān)函數(shù)曲線(xiàn);由“·”組成的曲線(xiàn)表示理論頻譜函數(shù)的相關(guān)函數(shù)曲線(xiàn)。由圖中可以看出，不經(jīng)過(guò)修正得出的結(jié)果與理論頻譜的相關(guān)函數(shù)相差較大，計(jì)算結(jié)果遠(yuǎn)小于理論值，故需要對(duì)結(jié)果進(jìn)行修正，修正的方法就是要對(duì)所得出的大氣紊流序列的強(qiáng)度乘以一個(gè)修正系數(shù)，通過(guò)調(diào)整修正系數(shù)的大小，就可以使所得出的大氣紊流序列的相關(guān)函數(shù)與理論頻譜的相關(guān)函數(shù)基本吻合。修正后的大氣紊流序列結(jié)果及驗(yàn)證結(jié)果如圖6所示。

圖6 修正后得到的驗(yàn)證結(jié)果Fig.6 Fixed results

圖中，“·”和“×”分別表示理論頻譜函數(shù)和所生成的大氣紊流序列的相關(guān)函數(shù)。從圖中可以看出，計(jì)算結(jié)果經(jīng)過(guò)修正后與理論曲線(xiàn)的吻合程度還是比較令人滿(mǎn)意的。

5 結(jié)束語(yǔ)

根據(jù)大氣紊流的數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)成型濾波器，并以白噪聲信號(hào)為輸入，能夠得到大氣紊流的仿真結(jié)果。但是利用相關(guān)函數(shù)驗(yàn)證后發(fā)現(xiàn)，此時(shí)所生成的大氣紊流序列與原數(shù)學(xué)模型相差較大，不能直接用于仿真計(jì)算。通過(guò)適當(dāng)?shù)男拚?，能夠得到比較準(zhǔn)確的大氣紊流序列，可用于各種地面模擬器以及空中飛行模擬器。

［1］ 朱華，黃輝寧，李永慶，等.隨機(jī)信號(hào)分析［M］.第1版.北京:北京理工大學(xué)出版社，1990.

［2］ 肖業(yè)倫，金長(zhǎng)江.大氣擾動(dòng)中的飛行原理［M］.第1版.北京:國(guó)防工業(yè)出版社，1993.