劉力瑋，馬博淵，王章宇，鄒睿航

（1.北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，北京100048；2.北京工商大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院，北京100048；3.北京工商大學(xué)材料與機(jī)械工程學(xué)院，北京100048）

1 模型理論

1.1 現(xiàn)實(shí)生活中的超車情形

現(xiàn)實(shí)中左駕右行的駕駛模式會(huì)受到多方面因素的影響，例如司機(jī)的駕駛習(xí)慣，汽車性能，道路性能。理想中，若所有車輛以相同速度行駛，則汽車行駛中不會(huì)發(fā)生超車，也不會(huì)被超車。但實(shí)際情況是每輛車的行駛速度并不相同，超車的發(fā)生次數(shù)也隨車流量密度的變化而不斷變化。

汽車是有空間和質(zhì)量的物體，在行駛中會(huì)因駕駛不當(dāng)發(fā)生碰撞。超車過(guò)程會(huì)受到多種因素的影響，如前后車間距，被超車輛對(duì)超車車輛的視線遮擋角度，超車車輛左側(cè)并道后在超車車輛后方是否存在也正在超越其他個(gè)體的車輛等。若單獨(dú)從微觀角度分析超車過(guò)程中的影響因素，諸多因素并不相互獨(dú)立，難以考慮所有影響因素來(lái)建立模型；若從某單一因素對(duì)超車過(guò)程的影響入手建立模型，又不能完整地體現(xiàn)超車過(guò)程中復(fù)雜的因素影響。所以在本文的左駕右行模型中，將車視為沒(méi)有質(zhì)量，沒(méi)有空間的點(diǎn)。

超車的過(guò)程分為三個(gè)階段，第一階段，向左并道準(zhǔn)備超車；第二階段，直線行駛，直到與被超車輛之間的距離符合行駛安全距離；第三階段，向右并道，回歸初始狀態(tài)。可以得出，超車過(guò)程是一個(gè)在時(shí)間與空間上都有變化的過(guò)程量。在模型中，車輛行駛都遵守不超車時(shí)在右側(cè)行駛的規(guī)則，只有在超車的時(shí)候才會(huì)往左邊移動(dòng)一條車道完成超車。所以，模型將高速公路視為兩車道。

真實(shí)情況車道上的車輛有轎車、貨車、巴士等多種車輛。每種車在計(jì)算車流量時(shí)的數(shù)量不同，例如7 坐及以下轎車為1veh/h，拖掛貨車為3veh/h。模型中將所有的車輛都視為7 坐以下的轎車，即所有的個(gè)體車輛所占的車流量都為1veh/h。

1.2 模型整體思想

在模型中，不考慮超車過(guò)程中的變道時(shí)間，忽略變道過(guò)程中向左前行駛與右前行駛造成的相較于直線行駛距離的增加。將所有點(diǎn)放在一條線段上運(yùn)動(dòng)，每個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度恒定，總體的速度呈正態(tài)分布。當(dāng)點(diǎn)之間發(fā)生一次重疊的時(shí)候，記為一次超車。點(diǎn)與點(diǎn)之間的重疊是瞬時(shí)的，當(dāng)某一點(diǎn)與前一點(diǎn)重合之后，這兩個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不發(fā)生任何變化，保持兩個(gè)點(diǎn)原來(lái)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，然后計(jì)算當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)行狀態(tài)處于穩(wěn)定狀態(tài)下的重疊的次數(shù)。也就是說(shuō)當(dāng)高速公路上的車輛成均勻分布，車輛的速度程正態(tài)分布。

參考NS 模型與上文中提到的模型，發(fā)現(xiàn)左駕右行模型涉及正常行車、超車、自由通行狀態(tài)、無(wú)法自由通行狀態(tài)（堵車）。影響因素包含車流量、道路中車輛密度和行車速度，這些因素并不獨(dú)立。在一個(gè)模型中將這些并不相互獨(dú)立的變量同時(shí)考慮需要龐大的計(jì)算量，而且不能保證準(zhǔn)確性。

通過(guò)何種建模方式，保證模型準(zhǔn)確性，同時(shí)使各個(gè)因素之間的相關(guān)性影響減小到最小，是模型開(kāi)發(fā)的理想結(jié)果。在此需要理解車輛遵守左駕右行模型時(shí)的超車模型，將車看做質(zhì)點(diǎn)之后，這些點(diǎn)之間的超越不存在換道，只要有一次重疊就是發(fā)生一次超車。

2 普通超車模型實(shí)例

在模型建立初期，為了簡(jiǎn)化模型，排除了一些變量因素。例如司機(jī)的駕駛習(xí)慣、車流量對(duì)汽車行駛速度的影響、汽車速度對(duì)車間距的影響、車間距與超車概率的關(guān)系。這些影響因素會(huì)在之后加入，完善模型，進(jìn)而得到和現(xiàn)實(shí)情況比較接近，且為兩車道的一條高速公路的數(shù)據(jù)，并將這個(gè)數(shù)據(jù)帶入模型之中。

根據(jù)沈大高速公路的車流流量數(shù)據(jù)，在2004 年之前，沈大高速公路的最大承載能力為55 000veh/24h，最低承載能力22 000veh/24h。此處的承載能力是雙向行駛的承載能力，因此應(yīng)該除以2，得到單向行駛的最高承載能力與最低承載能力。設(shè)計(jì)限速為50～120km/h。根據(jù)沈大高速公路的最大與最小承載能力，可以得到車輛放行的頻率0.01～0.32veh/s。

模型將所有車輛看成單位為1veh 的點(diǎn)，并且所有點(diǎn)在一條線段上運(yùn)行。查閱資料后，未能找到其他與本模型相同假設(shè)的模型。

因此，在本文模型中采用仿真試驗(yàn)的方法模擬一條高速公路中超車發(fā)生的次數(shù)。通過(guò)對(duì)照試驗(yàn)的方法研究：

（1）高速公路限速上下限對(duì)汽車行駛實(shí)際情況造成的影響；

（2）高速公路平均行駛速度對(duì)汽車行駛實(shí)際情況造成的影響。

在設(shè)計(jì)“高速公路限速上下限對(duì)汽車行駛實(shí)際情況造成的影響”時(shí)，考慮到高速公路中所有車輛的行駛速度應(yīng)該服從正態(tài)分布，根據(jù)期望速度與速度標(biāo)準(zhǔn)差可以憑借方差為界確定汽車速度的上下限。

2.1 同一正態(tài)分布下的車流量與超車次數(shù)的關(guān)系

通過(guò)對(duì)沈大高速公路車輛數(shù)量和行駛速度分析得出，二者之間服從以23.68m/s 為期望，以4.83m/s為標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)分布，及X～N(23.68，4.832)。沈大高速公路不同車速及其數(shù)量關(guān)系如圖1所示。

根據(jù)上述的模型介紹，在線段起始端依照一定的流量拋出隨機(jī)速度的點(diǎn)，最后計(jì)量在一定時(shí)間內(nèi)拋出的點(diǎn)在線段上碰撞次數(shù)，并以發(fā)生的碰撞次數(shù)來(lái)代替超車次數(shù)，最后進(jìn)一步說(shuō)明車流量與安全的權(quán)衡。

圖1 沈大高速公路不同車速及其數(shù)量直方圖

2.1.1 模型假設(shè)

本文模型采用以下假設(shè)：（1）把車輛視為質(zhì)點(diǎn)；（2）沈大高速公路為一條直線，其全長(zhǎng)為270km；（3）車輛在行駛過(guò)程中只有在超車時(shí)才會(huì)發(fā)生危險(xiǎn)，即超車次數(shù)越多，發(fā)生危險(xiǎn)的概率也就越大；（4）車輛放行速度是以在沈大高速公路測(cè)得的不同車速及其數(shù)量的數(shù)據(jù)擬合出的正態(tài)分布X～N(23.68，4.832)，同時(shí)是隨機(jī)拋出的。

2.1.2 模型方法

在線段的的起始點(diǎn)向線段中拋出一定流量的點(diǎn)（點(diǎn)單位為veh，流量單位為veh/h），待點(diǎn)在270 000m 的線段上均勻布滿后，開(kāi)始計(jì)算在一定時(shí)間內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)碰撞次數(shù)，且為了排除偶然因素，只計(jì)量均勻狀態(tài)下1h 的碰撞次數(shù)；在其他條件（線段長(zhǎng)度、點(diǎn)拋出的正態(tài)分布、點(diǎn)均勻布滿時(shí)間及記錄時(shí)間）不變的情況下，改變拋出的車流量，以0.01作為車流量變動(dòng)的最小單位；引入C++語(yǔ)言對(duì)上述過(guò)程進(jìn)行編程計(jì)算，并根據(jù)得出的統(tǒng)計(jì)量使用MATLAB 擬合、修勻并給出相應(yīng)表達(dá)式。通過(guò)引入C++語(yǔ)言對(duì)上述過(guò)程進(jìn)行編程計(jì)算，得出的數(shù)據(jù)如表1和圖2所示。

表1 車流量與超車次數(shù)的關(guān)系

表1（續(xù)）

圖2 車流量與超車次數(shù)的關(guān)系

根據(jù)得出的統(tǒng)計(jì)量使用MATLAB 擬合、修勻，相應(yīng)表達(dá)式為：

2.1.3 模型分析

在定量分析中，通過(guò)1h 的計(jì)量，可以清晰地看到隨著車流量的增加，超車次數(shù)在逐漸變大，但當(dāng)車流量達(dá)到0.40veh/h 以后，超車次數(shù)變得穩(wěn)定，也就是說(shuō)在車流量達(dá)到0.40veh/h 后，曲線一改前一階段的變化規(guī)律，趨于穩(wěn)定。此點(diǎn)過(guò)后，模擬的曲線性質(zhì)發(fā)生了極大變化。

模型函數(shù)的二階導(dǎo)函數(shù)圖像如圖3所示。

圖3 車流量與超車次數(shù)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)

在二階導(dǎo)數(shù)中，如果x∈[ ]a,b,且時(shí)，在此區(qū)域函數(shù)為凹函數(shù)，如果x∈[b ,c],并且時(shí)，在此區(qū)域函數(shù)為凸函數(shù)，此時(shí)x=b 時(shí)為凹凸函數(shù)的臨界點(diǎn)，此二階導(dǎo)數(shù)的臨界點(diǎn)為：x1=0.02，x2=0.2403。在當(dāng)車流量臨界點(diǎn)，原函數(shù)的凹凸性瞬間發(fā)生變化，就可以依據(jù)這兩個(gè)點(diǎn)確定最佳的車流量，即0.05veh/s和0.24veh/s（對(duì)原數(shù)據(jù)向下取證），但是車流量為0.02veh/h，道路的車流量極少相對(duì)0.24veh/s 時(shí)更加浪費(fèi)資源，最后確定最佳車流量應(yīng)確定為0.24veh/s。

現(xiàn)考慮車流量對(duì)超車率的影響，認(rèn)為超車率越高潛在風(fēng)險(xiǎn)就越大。根據(jù)已有文獻(xiàn)，可知車流量達(dá)到500veh/h，即0.14veh/s時(shí)超車率最大，同時(shí)也是潛在風(fēng)險(xiǎn)最大的點(diǎn)的車流量，隨著車流量的邊緣化，超車率逐漸變小，同時(shí)潛在風(fēng)險(xiǎn)也在變小。當(dāng)車流量為0.24veh/s 時(shí)，超車率為約為5%，潛在風(fēng)險(xiǎn)為最高時(shí)的5%/0.13%=38.46%，這樣認(rèn)為是相對(duì)安全的。實(shí)際放行車輛與超車率的關(guān)系如圖4所示。

圖4 實(shí)際放行車輛與超車率的關(guān)系

2.1.4 模型結(jié)論

在安全和流量同時(shí)權(quán)衡時(shí)，可以車流量為0.24veh/s為基礎(chǔ)進(jìn)行調(diào)整，調(diào)整量為0.01veh/s，即控制流量在0.23～0.25veh/s 時(shí)交通更有效率且有相對(duì)安全。

2.2 不同正態(tài)分布下的車流量與超車次數(shù)的關(guān)系

2.2.1 模型方法

為了研究速度上下限的控制對(duì)整個(gè)系統(tǒng)最佳放行量的影響，在上述模型的基礎(chǔ)上增加一個(gè)變量，即改變速度的期望值來(lái)實(shí)現(xiàn)改變所拋出質(zhì)點(diǎn)速度的正態(tài)分布形式，依次為X～N(33.3,4.822)、X～N(27.6,4.822)、X～N(23.68,4.822)、X～N(19.4,[4.822)]和X～N(16.6，4.822) 。

同理，使用C++進(jìn)行模擬，并根據(jù)得出的統(tǒng)計(jì)量使用MATLAB 擬合、修勻，不同正態(tài)分布下的放行車輛與超車次數(shù)的關(guān)系如圖5所示。

圖5 不同正態(tài)分布下的放行車輛與超車次數(shù)的關(guān)系

2.2.2 模型分析

不同的車速控制下，曲線的形狀并未發(fā)生巨大變化，依舊是先隨著車流量的增大，超車次數(shù)緩慢增大；再經(jīng)歷一段快速走高的態(tài)勢(shì)；最后，均在0.4veh/s后達(dá)到平穩(wěn)。

模型函數(shù)的二階導(dǎo)函數(shù)圖像如圖6所示。

圖6 不同正態(tài)分布下的放行量與超車次數(shù)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)

基于上述最佳通行量的選擇方法，X～N(33.3,4.832)、X～N(27.6,4.832)、X～N(23.68,4.832)、X～N(19.4,4.832)和X～N(16.6,4.832)的最佳通行流量依次為0.22veh/s、0.24veh/s、0.24veh/s、0.25veh/s 和0.25veh/s，所以行車速度的管制并沒(méi)有太多的改變超車次數(shù)，這樣就認(rèn)為速度管制不會(huì)影響車流量。

考慮車流量和與超車率的關(guān)系：根據(jù)上述的文獻(xiàn)資料可以知道車流量為860veh/h，即0.24veh/s時(shí)安全性越高，所以取0.24veh/s為相對(duì)較安全的車流量，這樣就認(rèn)為速度管制不會(huì)影響相對(duì)安全車流量。

2.2.3 模型結(jié)論

在安全和流量同時(shí)權(quán)衡時(shí)，可以以車流量為0.24veh/s為基礎(chǔ)進(jìn)行調(diào)整，調(diào)整量為0.01veh/s。所以控制流量在0.23～0.25veh/s 時(shí)交通更有效率且有相對(duì)安全。這樣就得出：速度管制并沒(méi)有有效提高車流量和安全度。

3 智能交通的超車模型實(shí)例

在實(shí)際道路中，超車與否不僅僅取決于車速，還取決跟車距離，以及個(gè)人的駕駛超車意愿等因素，而整個(gè)道路系統(tǒng)中，若其中某一輛車以上某一因素改變，必會(huì)導(dǎo)致后面車輛產(chǎn)生連鎖反應(yīng)，故不能簡(jiǎn)單地靜態(tài)分析整個(gè)車道系統(tǒng)，同時(shí)由于動(dòng)態(tài)分析會(huì)導(dǎo)致問(wèn)題的連鎖反應(yīng)，也不宜采用此方法。在此，試圖嘗試從微觀的角度考慮兩輛車之間的超車行為，進(jìn)而引進(jìn)單輛汽車的智能駕駛，以構(gòu)建整個(gè)智能的駕駛系統(tǒng)。

假設(shè)微觀系統(tǒng)中，僅含兩輛汽車，分別為前面的汽車A和后面的汽車B，且均服從右側(cè)駕駛規(guī)則。首先由汽車B上的距離傳感器檢測(cè)出車A和車B 之間的距離，記為L(zhǎng)，當(dāng)L到達(dá)一個(gè)臨界超車距離Lo時(shí)，開(kāi)始考慮前后車速，這時(shí)前后車的車速由速度傳感器測(cè)定，記前車車速為va，后車車速為vb，當(dāng)va≥vb時(shí)，不考慮超車；但va＜vb時(shí)，才考慮從左側(cè)超車。此時(shí)的系統(tǒng)開(kāi)始進(jìn)一步計(jì)算超車加速度這個(gè)過(guò)程中設(shè)定汽車有一個(gè)最大加速度amax，當(dāng)a＜amax時(shí)，開(kāi)始超車。當(dāng)然，這個(gè)過(guò)程中還需檢測(cè)A車的加速度aa，當(dāng)aa＞0時(shí)，即前車處于加速階段，給B車系統(tǒng)一個(gè)反饋信號(hào)，不允許B車超車，這也符合的法律規(guī)定；當(dāng)aa≤0 時(shí)，開(kāi)始考慮從左側(cè)超車。這樣微觀智能汽車系統(tǒng)已經(jīng)建成。對(duì)整體道路系統(tǒng)而言，系統(tǒng)是由很多無(wú)序的微觀系統(tǒng)構(gòu)成，當(dāng)微觀系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，智能道路系統(tǒng)也是穩(wěn)定的，即此時(shí)道路系統(tǒng)可以正常運(yùn)行。

4 結(jié)語(yǔ)

基于前兩個(gè)模型的分析可知，在保證安全的前提下要使效率達(dá)到最高，可以以車流量為0.24veh/s為基礎(chǔ)進(jìn)行調(diào)整，調(diào)整量為0.01veh/s，即控制流量在0.23～0.25veh/s 時(shí)既可以使交通更有效率且有相對(duì)安全，同時(shí)速度管制并沒(méi)有有效提高車流量和安全度。綜上所述，在高速公路的匝道口日放行量每晝夜為39744～43200時(shí)既保證安全，又確保效率。

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