周偉建

摘??要：縱觀多年來的高考試題，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，往往事半功倍，因此，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中必須加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)與解題能力。

關(guān)鍵詞：巧用數(shù)形;破解數(shù)學(xué)

中圖分類號(hào)：G632???????????????????文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B???????????????文章編號(hào)：1002-7661（2014）22-191-01

高中數(shù)學(xué)四大數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸。其中數(shù)形結(jié)合是貫穿于數(shù)學(xué)發(fā)展的一條主線，使數(shù)學(xué)在實(shí)踐中的應(yīng)用更加廣泛和深遠(yuǎn)。一方面，借助于圖形的性質(zhì)將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡單化，給人以直觀感;另一方面，將圖形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，可以獲得準(zhǔn)確的結(jié)論?！皵?shù)”和“形”的信息轉(zhuǎn)換、相互滲透，不僅使解題簡潔明快，還開拓解題思路，為研究和探求數(shù)學(xué)問題開辟了一條重要的途徑。數(shù)形結(jié)合是連接“數(shù)”和“形”的“橋”，它不僅是一種重要的解題方法，更是一種重要的數(shù)學(xué)思想。

一、研究的目的和意義

數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)，華羅庚教授說：“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非”數(shù)形結(jié)合就是充分運(yùn)用數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)和形的直觀，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合，通過圖形的描述、代數(shù)的論證來研究和解決數(shù)學(xué)問題的一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。

數(shù)形結(jié)合思想方法是中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的精髓之一，是把許多知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的“橋”，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，許多抽象問題學(xué)生往往覺得難以理解，如果教師能靈活地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為直觀、易感知的問題，學(xué)生就易理解，就能把問題解決，從而獲得成功的體驗(yàn)，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，尤其是對于較難問題，學(xué)生若能獨(dú)立解決或在老師的啟發(fā)和引導(dǎo)下把問題解決，心情更是愉悅，這樣，就容易激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情、興趣和積極性，同時(shí)，學(xué)生一旦掌握了數(shù)形結(jié)合法，并不斷進(jìn)行嘗試、運(yùn)用，許多問題就能迎刃而解。

二、數(shù)形結(jié)合在提高學(xué)生解題能力中的作用

作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致又可分為兩種情形：或者借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關(guān)系，即數(shù)形結(jié)合包括兩個(gè)方面：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種情形是“以形助數(shù)”，其中數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”，根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種數(shù)形結(jié)合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到順利解決，在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時(shí)，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義;第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化;第三是正確確定參數(shù)的取值范圍，

三、數(shù)形結(jié)合的幾種類型

1、幾何圖形與數(shù)量關(guān)系相結(jié)合

幾何中的計(jì)算與證明問題，常常根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)挖掘蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系;一些數(shù)量關(guān)系的比較問題，常常構(gòu)造出由數(shù)量關(guān)系反映出的幾何圖形，根據(jù)圖形的直觀性尋求解決。

2、函數(shù)圖象與數(shù)量關(guān)系相結(jié)合

數(shù)軸使實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)建立起一一對應(yīng)的關(guān)系，平面直角坐標(biāo)系使有序?qū)崝?shù)對與平面上的點(diǎn)建立起一一對應(yīng)的關(guān)系，為數(shù)形結(jié)合創(chuàng)造了充分的條件函數(shù)圖象在直角坐標(biāo)系的位置及變化趨勢，為研究函數(shù)的性質(zhì)提供了直觀、形象的依據(jù)，反過來，依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)又能推斷函數(shù)圖象在直角坐標(biāo)系屮的位置及變化情況，數(shù)形結(jié)合成為研究解決函數(shù)問題的重要思想方法。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)貫穿著兩條主線，即數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法，通性通法蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想和方法，更貼近學(xué)生的認(rèn)知水平，符合常人的思維習(xí)慣，同樣也有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。在初中數(shù)學(xué)中，常用的數(shù)學(xué)思想有函數(shù)和方程思想、數(shù)形結(jié)合思想分類討論論思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、整體處理思想等，上面教學(xué)片斷的探究題，教者通過引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)和形的角度來解決問題，很好地發(fā)展了學(xué)生的方程思想和數(shù)形結(jié)合思想，同時(shí)也滲透了數(shù)學(xué)分類的思想方法。在平時(shí)的教學(xué)中，我們應(yīng)在解決問題的過程中，對這些數(shù)學(xué)思想加以揭示、運(yùn)用和提煉，以提高學(xué)生的思維水平和解題能力。

四、數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)新課程所滲透的重要思想方法之一，新教材中的內(nèi)容能很好地培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，教材中這一思想方法的滲透對發(fā)展學(xué)生的解題思路、尋找最佳解題方法有著指導(dǎo)性的作用，可對問題進(jìn)行正確的分析、比較、合理聯(lián)想，逐步形成正確的解題觀，還可在學(xué)習(xí)中引導(dǎo)學(xué)生對抽象概念給予形象化的理解和記憶，提高數(shù)學(xué)認(rèn)知能力，并提升對現(xiàn)實(shí)世界的認(rèn)識(shí)能力，從而提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，不斷完善自己。

新課標(biāo)的教學(xué)內(nèi)容早已全面實(shí)施，按新課標(biāo)的教學(xué)大綱要求與知識(shí)點(diǎn)傳授的層次性來看，數(shù)形結(jié)合法教學(xué)主要經(jīng)歷三個(gè)階段：第一階段是數(shù)形對應(yīng)，它是數(shù)形結(jié)合基礎(chǔ)，主要是通過平時(shí)概念的教學(xué)逐步滲透，讓學(xué)生通過學(xué)習(xí)、訓(xùn)練、體會(huì)、逐步領(lǐng)悟和握，一方面，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對應(yīng)，平面上點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對間的對應(yīng)，函數(shù)與圖象的對應(yīng)，曲線與方程的對應(yīng)等，以及以幾何元素和幾何條件為背景建立起來的概念，如向量、三角函數(shù)等等都為數(shù)形結(jié)合創(chuàng)造了條件，提供了理論支撐，另一方面，高中數(shù)學(xué)概念具有較強(qiáng)的抽象性、概括性，學(xué)生在理解時(shí)有較大的難度，可以借助形的幾何直觀性來達(dá)到幫助學(xué)生理解的目的，例如，將函數(shù)與圖象結(jié)合起來，用幾何方法表述函數(shù)關(guān)系來幫助學(xué)生理解函數(shù)的抽象。

第二階段是數(shù)形轉(zhuǎn)化，它體現(xiàn)了數(shù)與形關(guān)系在解決問題過程中，如何作為一種方法而得到運(yùn)用，數(shù)學(xué)問題是開展數(shù)學(xué)思維的前提，解決問題的過程，本質(zhì)上就是一個(gè)思維訓(xùn)練的過程，

第三階段是數(shù)形分工，這是把應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想作為解決問題中的一種策略，例如，高三復(fù)習(xí)中重點(diǎn)開設(shè)數(shù)形結(jié)合思想方法專題，以達(dá)到系統(tǒng)鞏固的目的。

縱觀多年來的高考試題，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，往往事半功倍，因此，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中必須加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)與解題能力。