曾慧娥 周慶忠

(1.重慶科技學(xué)院機(jī)械與動力工程學(xué)院，重慶 401331;2.后勤工程學(xué)院，重慶 401331)

多屬性決策(Multiple Attribute Decision Making，MADM)是指在考慮多個(gè)屬性的情況下，選擇最優(yōu)備選方案或進(jìn)行方案排序，在工程、技術(shù)、經(jīng)濟(jì)、管理等諸多領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用［1］，是裝備維修決策研究的熱點(diǎn)。應(yīng)用MADM解決油料裝備維修問題，體現(xiàn)在維修方案評估及選擇方面。以往實(shí)現(xiàn)MADM使用基于效用函數(shù)和優(yōu)勢排序的方法。各方法差別主要表現(xiàn)在屬性相對重要性的表達(dá)及其綜合形式上。

因油料裝備維修決策者知識結(jié)構(gòu)、判斷水平和個(gè)人偏好等差異，可能采用不同形式偏好信息表達(dá)判斷，致使各屬性間可能相互沖突，且有不同重要性［2］。維修方案綜合偏好度量是決策者獲得偏好序關(guān)系的前提條件。通過決策者偏好信息構(gòu)造綜合偏好模型的傳統(tǒng)方法是數(shù)學(xué)分析法，即建立一個(gè)函數(shù)或關(guān)系模型得到方案的偏好序。在油料裝備維修MADM中，關(guān)于屬性集間相對重要性度量，多數(shù)通過各單個(gè)屬性的權(quán)重之和來實(shí)現(xiàn)。不完全信息下的線性規(guī)劃算法，本質(zhì)仍停留在權(quán)重確定上。而權(quán)重確定需依賴大量先驗(yàn)數(shù)據(jù)，尤其在突發(fā)事件下的應(yīng)急油料裝備維修決策，沒有先驗(yàn)數(shù)據(jù)可采用，致使權(quán)重確定往往帶有主觀性［3-4］。因此，本文關(guān)注油料裝備維修MADM問題，通過規(guī)則演繹推理來模擬決策者的偏好序關(guān)系判斷過程，得到維修方案的偏好序關(guān)系，科學(xué)地實(shí)現(xiàn)油料裝備維修方案的智能決策。

1 問題描述

油料裝備維修MADM問題用四元組描述為{X，A，V，f}，論域X={x1，x2，…，xn}為備選油料裝備維修方案集;A為非空屬性集，A=C∪D，C={c1，c2，…，cm}是條件屬性集;D={d1，d2，…，dm}為決策屬性集;V=Vc∪Vd，其中Vc={Vc:c∈C}是條件屬性值集，Vd是決策屬性值集，Vij為第i個(gè)方案在第j個(gè)屬性下的屬性值f:X×Q→V是一個(gè)信息函數(shù)，表示對每一個(gè) c∈A，x∈X，f(x，c)∈Vc，其中Vc(c∈C)和Vd有偏好次序。

設(shè)對方案進(jìn)行評價(jià)的所有屬性的集合為{q1，q2，…，qm};qk(xi)是維修方案xi的第k個(gè)屬性qk的屬性值，qk(xi)∈［0，1］。ωk是qk(xi)所對應(yīng)屬性qk的權(quán)重，表示該屬性的相對重要性。油料裝備維修MADM偏好次序通常不滿足連通性，對于屬性值qk(xi)，維修方案xi和xj間存在4種基本偏好關(guān)系:

①方案xi強(qiáng)優(yōu)勢于方案xj，定義關(guān)系運(yùn)算符P，表示為xiP xj，或記為xi??xj。

②方案xi弱優(yōu)勢于方案xj，定義關(guān)系運(yùn)算符Q，表示為 xiQ xj，或記為 xi? xj。

③方案xi與方案xj是等價(jià)的，定義關(guān)系運(yùn)算符I，表示為 xiI xj，或記為 xi≈ xj。

④方案xi與方案xj是無可比性的，定義關(guān)系運(yùn)算符 R，表示為 xiR xj，或記為 xi?xj。

式中 x∈ X，X={x1，x2，… ，xn}。

油料裝備維修MADM受應(yīng)急維修需求、決策者知識、維修人員技能、維修經(jīng)費(fèi)、維修時(shí)間、維修條件等眾多因素制約［5］，維修方案xi在某些屬性上的劣勢難于通過其在另外屬性上的優(yōu)勢得到互補(bǔ)。因此，不適宜采用效用函數(shù)方法，應(yīng)采用優(yōu)勢屬性集重要性來度量油料裝備維修方案的綜合優(yōu)勢，確定方案偏好序關(guān)系。

2 用ELECTREⅢ評估超越關(guān)系，構(gòu)建優(yōu)勢屬性集

使用ELECTREⅢ偽準(zhǔn)則評估維修方案間超越關(guān)系，構(gòu)建優(yōu)勢屬性集。偽準(zhǔn)則處理涉及閾值問題。油料裝備維修涉及面廣，約束因素多而復(fù)雜，維修方案既有定性屬性，又有定量屬性，其屬性值確定存在著模糊性和不精確性。閾值的引入使ELECTREⅢ更符合決策實(shí)際情況。方案優(yōu)劣確定通過兩兩屬性值的比較來實(shí)現(xiàn)，在一定程度上抵消了屬性值的不精確對維修方案總體排序的影響［6］。

2.1 優(yōu)勢屬性集

引入優(yōu)勢屬性集定義。對于維修方案xi與xj，方案xk與xl，假設(shè)P?C(P≠φ)，Φ(xi，xj)，Φ(xk，xl)∈M ×M，如果在每一個(gè)c∈P下，xi和xj中，決策者偏好xi;xk和xl中，決策者偏好xl，偏好程度至少是一樣強(qiáng)，則稱 Φ(xi，xj)優(yōu)勢于 Φ(xk，xl)，記為Φ(xi，xj)DpΦ(xk，xl)。對維修方案進(jìn)行兩兩比較，確定其優(yōu)劣關(guān)系:

xi相對xj的優(yōu)勢屬性集Φ(xi，xj)={q∈Q|在單屬性 q下 xiP xj}。xk相對 xl的優(yōu)勢屬性集Φ(xk，xl)={q∈Q|在單屬性q下xkP xl}。也即，xiP xj→Φ(xi，xj)?Φ(xj，xi)。xkP xl→Φ(xk，xl)? Φ(xl，xk)。求出優(yōu)勢屬性集:?c∈ P，若 Φ(xk，xl)DpΦ(xi，xj)，則 Φ(xk，xl)為相對于 Φ(xi，xj)的優(yōu)勢屬性集，記為 D+PΦ(xi，xj)={Φ(xk，xl)∈ M ×M:Φ(xk，xl)DPΦ(xi，xj)}。若 Φ(xi，xj)DpΦ(xk，xl)，則Φ(xi，xj)為相對于Φ(xk，xl)的優(yōu)勢屬性集，記為Φ(xi，xj)={Φ(xk，xl)∈ M × M:Φ(xi，xj)DPΦ(xk，xl)}。

設(shè)g(x，q)是維修方案x在屬性q下的狀態(tài)值，偏好序關(guān)系是通過狀態(tài)值g(x，q)來確定的。由于影響因素限制，g(x，q)本身難以確定。g(x，q)在空間上相對離散程度有大有小，難以確定2個(gè)維修方案在某屬性值上相差多少才算是真正存在偏好序關(guān)系。

2.2 超越關(guān)系

維修方案間超越關(guān)系是選擇最優(yōu)方案的主要依據(jù)。超越關(guān)系取決于一對方案的比較、基本偏好關(guān)系和分組關(guān)系。定義超越關(guān)系為:當(dāng)方案xi與方案xj無可比性，其狀態(tài)無法用P and Q and R來區(qū)分時(shí)，認(rèn)為方案 xi超越方案 xj。定義關(guān)系運(yùn)算符 S，記為xiS xj。

準(zhǔn)則函數(shù)顯示決策者個(gè)人偏好。設(shè)方案xi的準(zhǔn)則函數(shù)為 ψk(xi)，對于準(zhǔn)則 k，超越關(guān)系狀態(tài)為:?xi，xj∈A，fk(xi)≤fk(xj)?xiSkxj。換言之，可認(rèn)為若具有準(zhǔn)則k的方案xi劣于具有同樣準(zhǔn)則的方案xj，則方案xj超越方案xi。

2.3 準(zhǔn)則閾值和指標(biāo)

決策判斷存在中間區(qū)域，在該區(qū)域，決策者信息相互矛盾或不確定，也即被比較的方案既不是嚴(yán)格偏好，也非無差異。為此，引入閾值和指標(biāo)，來評估屬性值所存在的不精確性。根據(jù)具有給定準(zhǔn)則的方案間差異，將偏好類型描述為強(qiáng)、弱和無［7］。

定義3個(gè)指標(biāo):(1)一致性指標(biāo)ρ1(xi，xj)，度量在考慮所有準(zhǔn)則下維修方案xi和xj至少是一樣好;(2)不協(xié)調(diào)指標(biāo)ρ2(xi，xj)，度量對這一假說證據(jù)的強(qiáng)度。(3)可信度指標(biāo)ρ3(xi，xj)，度量擁有“備選維修方案xi至少與備選方案xj一樣好”的強(qiáng)度。

設(shè)方案xi與xj具有相同準(zhǔn)則k，定義3個(gè)閾值:①偏好閾值θp，設(shè)fk(xi)和fk(xi)分別表示其個(gè)體部分偏好函數(shù)(individualpartialpreference function，IPP)。若 fk(xi)-fk(xi)＞，表明決策者對方案xi有明顯偏好。②等價(jià)閾值θq，方案xi與xj屬性值之差在這個(gè)范圍內(nèi)，說明2個(gè)方案無差異。對于準(zhǔn)則k，總是偏好閾值大于等價(jià)閾值。2個(gè)閾值之間區(qū)域是弱偏好區(qū)域。若方案xi與xj屬性值之差在，表示方案 xj弱偏好于 xi，即＜fk(xj)-fk(xi)≤?xjQkxi。③否決閾值，阻止維修方案間的超越關(guān)系。當(dāng)維修方案性能遠(yuǎn)優(yōu)于方案xi性能，其屬性值之差很大時(shí)，維修方案xj遠(yuǎn)超越其他方案。即fk(xj)-fk(xi)≥維修方案xi和其他方案不能超越方案xj。

2.4 ELECTREⅢ算法步驟

Step 2:對每個(gè)準(zhǔn)則(Ci(a，b))，計(jì)算一致性指標(biāo)ρ1:

Step 3:計(jì)算一致性矩陣R1(xi，xj):

Step 4:對每個(gè)準(zhǔn)則k，計(jì)算不協(xié)調(diào)指標(biāo)ρ2。對于所有成對的備選維修方案，若沒有指定否決閾值

Step 5:計(jì)算可信度指標(biāo)ρ3。對于所有成對的備選維修方案，若沒有指定否決閾值，則xj)=R1(xi，xj)。

Step 6:使用降序和升序處理程序，對備選維修方案排序。

3 使用圖論占優(yōu)度算法的規(guī)則推理

采用定性推理模型，無需維修決策者給出精確數(shù)值信息的前提下，在獲得部分基本偏好序關(guān)系后，經(jīng)推理機(jī)按照一定規(guī)則自動推理，來獲取備選維修方案的復(fù)雜偏好序關(guān)系。

對于 ?xi，xj，xk∈ 2Q，推理規(guī)則有:

(1)擴(kuò)大規(guī)則 xi? xj?xi∪ xk?xj。

(2)反對稱規(guī)則xi?xj? -(xj?xi)。

(3)傳遞規(guī)則(xi?xj)∧(xj?xk)?xi?xk。

(4)加法規(guī)則(xi?xj)∧(xi∩xk=φ)?xi∪xk?xj∪xk。

(5)隱含規(guī)則 ?xi，xj∈2Q，xi?sxj∧ s ＜ t?xj?txi。

由規(guī)則①至④，得出2個(gè)維修方案的級別偏好序關(guān)系:

設(shè)偏好序關(guān)系有L個(gè)不同級別，相應(yīng)的偏好序P={p1，p2，…，pL}。這 L個(gè)不同級別優(yōu)勢屬性集的重要性關(guān)系滿足規(guī)則①至④，且通過規(guī)則⑤相互關(guān)聯(lián)。

油料裝備維修方案偏好序推理步驟為:

Step 1:定義維修問題 {X，A ，V，f}。

Step 2:按照各Pq定義來獲取兩兩方案的優(yōu)勢屬性集。

Step 3:輸入部分基本優(yōu)勢屬性集的重要性關(guān)系構(gòu)成?1集合。

Step 4:運(yùn)用推理規(guī)則，進(jìn)行偏好序關(guān)系P1的推理。若存在不可比方案，則引入新的優(yōu)勢屬性集，使用其重要性關(guān)系來完善?1集合。

Step 5:偏好序分析，若方案的偏好序關(guān)系P1不能滿足維修決策者要求，則進(jìn)一步構(gòu)造級別稍低的?2集合，獲得偏好序P2。如此繼續(xù)，直至?L和PL，最終形成維修決策。

用有向偏好關(guān)系圖G(X，P)表示在方案集X上的偏好序關(guān)系P={p1，p2，…，pL}。每個(gè)節(jié)點(diǎn)對應(yīng)于一個(gè)維修方案，每條邊表示2個(gè)節(jié)點(diǎn)所對應(yīng)維修方案之間的優(yōu)劣關(guān)系。從節(jié)點(diǎn)i到節(jié)點(diǎn)j的有向邊表示方案xi優(yōu)于方案xj。采用圖論占優(yōu)度(Out-ranking degree，ORD)算法進(jìn)行偏好序分析，在備選維修方案集上找出最優(yōu)解集，實(shí)現(xiàn)維修方案排序。

最佳維修方案是d(xi)值取最大值所對應(yīng)的方案。對于n個(gè)備選維修方案，一般需確定n(n-1)/2個(gè)規(guī)則。

4 案例研究

以某油料裝備維修方案評估為例，設(shè)有n=5個(gè)備選維修方案，需考慮m=6個(gè)屬性(性能指標(biāo))，q1=維修費(fèi)用，q2=維修響應(yīng)時(shí)間，q3=維修人員配置(人數(shù))，q4=裝備可靠性，q5=維修準(zhǔn)確度，q6=維修效率。方案xi的第j個(gè)屬性的 IPP函數(shù)值為fj(xi)，取值范圍為［1，9］，由油料裝備維修專家確定取值，如表1所示。

表1 IPP函數(shù)值和偏好閾值

對方案xi，計(jì)算 θq= αq+ βq× f(xi)，θp= αp+βp×，θv= αv+ βv×

表2 優(yōu)勢屬性集

對于5個(gè)備選維修方案，形成推理準(zhǔn)則，確定各維修方案的偏好關(guān)系。

級別1:R1a{q1}?1{q2}，R1b{q1}?1{q3}，R1c{q1}?1{q4}，R1d{q1}?1{q5}，R1e{q1}?1{q6}，R1e{q1}?1{q6}。

級別 2:R2{q1，q2}?1{q4，q5，q6}。

級別3:R3{q4，q6}?2{q1}。

采用ORD算法對有向圖進(jìn)行偏好序分析，找出最優(yōu)解集，如圖1所示。

圖1 偏好序分析有向圖

維修方案排序?yàn)?d(x1)=0，d(x2)=-2，d(x3)=2，d(x4)=-4，d(x5)=4，x5P x3P x1P x2P x4。根據(jù)計(jì)算結(jié)果，選擇維修方案x5作為最優(yōu)方案。

5 結(jié)論

所提出的方法實(shí)現(xiàn)油料裝備維修MADM技術(shù)關(guān)鍵點(diǎn)為:(1)通過規(guī)則推理來模擬決策者對方案的偏好判斷過程，得到油料裝備維修方案的偏好序關(guān)系。(2)引入閾值和指標(biāo)評估屬性值所存在的不精確性。(3)用有向圖將維修方案的復(fù)雜偏好關(guān)系可視化。(4)用圖論占優(yōu)度算法實(shí)現(xiàn)維修方案排序。研究表明，該方法對于提高油料裝備維修決策效率具有重要作用。

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