田 豐，孫 劍，邵 山

（1.沈陽(yáng)航空航天大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110136;2.沈陽(yáng)飛機(jī)設(shè)計(jì)研究所，遼寧 沈陽(yáng) 110136）

0 引言

在性能試驗(yàn)測(cè)試工程中，由于內(nèi)部和外部噪聲的干擾，總是影響后續(xù)的分析效果。因此，在對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析之前，能否有效地去除這些噪聲干擾，以提高數(shù)據(jù)信噪比，就顯得十分重要。

小波分析克服了傳統(tǒng)傅里葉變換在單分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特點(diǎn)，在時(shí)域和頻域都有表征信號(hào)局部信息的能力，時(shí)間窗和頻率窗都可以根據(jù)信號(hào)的具體形態(tài)動(dòng)態(tài)調(diào)整。小波分析可以探測(cè)信號(hào)中的瞬態(tài)成分，并展示其頻率成分，被稱為數(shù)學(xué)顯微鏡，廣泛應(yīng)用于各種時(shí)頻分析領(lǐng)域［1］。

針對(duì)航電試驗(yàn)信號(hào)的特點(diǎn)，有針對(duì)地正確選擇小波函數(shù)，閾值和分解層數(shù)等參數(shù)對(duì)于處理結(jié)果起著決定性作用［2，3］。本文以傳感器性能測(cè)試試驗(yàn)中的死區(qū)測(cè)試為例來(lái)說(shuō)明這些參數(shù)的選取過(guò)程。

1 小波閾值去噪原理

假設(shè)一個(gè)含噪聲的一維信號(hào)的模型可表示為

其中，e（n）為噪聲，σ為噪聲強(qiáng)度，f（n）為真實(shí)信號(hào)，s（n）為含噪信號(hào)。最簡(jiǎn)單的情況下可以假設(shè)e（n）為高斯白噪聲，且σ=1［4，5］。在實(shí)際工程中，有用信號(hào)通常表現(xiàn)為低頻信號(hào)或較平穩(wěn)的信號(hào)，而噪聲信號(hào)則通常表現(xiàn)為高頻信號(hào)。所以，小波去噪的過(guò)程可細(xì)分為如下幾段:

1）分解過(guò)程:選取合適的小波基函數(shù)，確定合理的分解層數(shù)，對(duì)含噪信號(hào)進(jìn)行小波分解，獲取各個(gè)尺度上的小波分解系數(shù);

2）作用閾值過(guò)程:通過(guò)估計(jì)各個(gè)尺度上的高頻系數(shù)的噪聲水平確定閾值，然后利用該閾值對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行削減;

3）重建過(guò)程:將處理后的小波系數(shù)進(jìn)行逆變換，重構(gòu)得到去噪后信號(hào)。

從以上小波去噪過(guò)程可以看出:小波閾值作用函數(shù)和小波基的選擇是小波去噪的關(guān)鍵，直接影響試驗(yàn)數(shù)據(jù)的去噪效果。

2 小波閾值去噪

2.1 小波閾值函數(shù)的選取

在對(duì)小波分解系數(shù)作用門限閾值處理操作時(shí)，主要有2種函數(shù)方法，硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)。硬閾值處理令較小的小波系數(shù)為0，并保留較大的小波系數(shù)

軟閾值處理將較小的小波系數(shù)置0，并對(duì)較大的小波系數(shù)向0作了收縮

對(duì)直線作用硬閾值和軟閾值的結(jié)果見(jiàn)圖1，從圖中可以看出:軟閾值處理可以有效地避免間斷，使得重建的信號(hào)比較光滑，而硬閾值處理會(huì)在某些點(diǎn)產(chǎn)生間斷。軟閾值處理實(shí)質(zhì)上是對(duì)小波分解系數(shù)作了收縮，從而Donoho-Johnstone將這種去噪技術(shù)稱之為小波收縮（wavelet shrinkage）［5］。用軟閾值的方法去噪能夠使估計(jì)信號(hào)實(shí)現(xiàn)最大均方誤差最小化，即去噪后的估計(jì)信號(hào)時(shí)原始信號(hào)的最優(yōu)估計(jì)，所以，本文使用軟閾值處理方法。

圖1 硬閾值方法和軟閾值方法Fig 1 Hard threshold and soft threshold method

2.2 小波閾值的確定

小波變換中，對(duì)各層系數(shù)降噪所需的閾值一般是根據(jù)原信號(hào)的信噪比來(lái)取的。在理論模型里這個(gè)量用式（1）中的t=來(lái)表示，從s（n）中提取σ的方法有很多，這里介紹4種基于樣本估計(jì)的閾值函數(shù)形式［1］:

1）無(wú)偏似然估計(jì)（rigrsure）:基于Stein無(wú)偏似然估計(jì)（SURE）的軟閾值估計(jì)。對(duì)于給定的閾值t，得到它的似然估計(jì)，然后將似然估計(jì)最小化，得到所需的閾值。

2）固定閾值（sqtwolog）:固定閾值t的計(jì)算公式為t=2logn，其中，n為信號(hào)的長(zhǎng)度。

3）啟發(fā)式閾值（heursure）:前2種形式的綜合形式，當(dāng)信噪比很小時(shí)rigrsure形式產(chǎn)生的閾值抑制噪聲的效果不明顯，這時(shí)heursure采用固定閾值sqtwolog。

4）最小極大方差閾值（minimaxi）:使得選取的閾值產(chǎn)生最小的極大方差。在統(tǒng)計(jì)學(xué)上，降噪后的信號(hào)可以看成與未知回歸函數(shù)的估計(jì)式相似，所以，這種方法通過(guò)求得未知回歸函數(shù)與原信號(hào)方差在最壞情況下的最小值來(lái)獲取閾值。

以db5小波作為小波基，采用軟閾值方法，將上述4種閾值形式分別在2～7層上進(jìn)行去噪處理得到的信噪比、均方差和平滑度做對(duì)比［6］。如圖2～圖4所示，信噪比總是隨著分解層數(shù)的增加而減少，均方差總是隨著分解層數(shù)的增加而增加，然而4種閾值情況下的這2項(xiàng)指標(biāo)并無(wú)明顯的差別，反而在平滑度上固定閾值（sqtwolog）和啟發(fā)式閾值（heursure）有著更好的表現(xiàn)，在去噪作用原理上啟發(fā)式閾值（heursure）更為優(yōu)秀，故選擇啟發(fā)式閾值（heursure）規(guī)則作用于航電伺服系統(tǒng)死區(qū)測(cè)試數(shù)據(jù)去噪。

圖2 不同分解層數(shù)下的不同閾值規(guī)則去噪的信噪比Fig 2 Signal-to-noise ratio of de-noising of different decomposition levels different threshold rules

圖3 不同分解層數(shù)下的不同閾值規(guī)則去噪的均方差Fig 3 Mean square error of de-noising of different decomposition levels different threshold rules

圖4 不同分解層數(shù)下的不同閾值規(guī)則去噪的平滑度Fig 4 Smoothness of de-noising of different decomposition levels different threshold rules

2.3 小波基函數(shù)的選擇

小波基函數(shù)的選取對(duì)于去噪效果極其重要，正確地選擇小波基函數(shù)能夠使得有用信號(hào)與噪聲得到充分分離。同傅里葉分析不同，小波分析的基（小波函數(shù)）不是唯一存在的。到目前為止，已經(jīng)構(gòu)造出的小波基函數(shù)有很多，包括Haar小波、Daubechies小波族、Symlets（symN）小波族、Biorthogonal（biorNr.Nd）小波族、Coiflet（coifN）小波族、Morlet小波、Mexican Hat小波、Meyer小波等。實(shí)際選擇小波的標(biāo)準(zhǔn)主要有以下3種:

1）自相似原則:如果選擇的小波與原始信號(hào)有一定的相似性，也是在下式的基礎(chǔ)上

若χ2j（t）和f（t）有某種程度的相似，則變換后的能量就比較集中，可以有效減少計(jì)算量。

2）正交性:選擇正交性好的小波基和雙正交小波基，有利于航電試驗(yàn)信號(hào)的重構(gòu)。

3）支集長(zhǎng)度:大部分應(yīng)用選擇支集長(zhǎng)度在5～9之間的小波，因?yàn)橹ЪL(zhǎng)會(huì)產(chǎn)生邊界問(wèn)題，支集太短消失矩太低，不利于信號(hào)能量的集中。

小波函數(shù)的主要性質(zhì)還包括對(duì)稱性、消失矩階數(shù)和正則性等。一般情況下用某組小波基對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解得到的小波系數(shù)能量集中在少數(shù)的幾個(gè)系數(shù)上，則認(rèn)為這組小波基較好。由于航電試驗(yàn)的測(cè)試信號(hào)類型不同，根據(jù)測(cè)試信號(hào)（梯形波、鋸齒波、方波等）特點(diǎn)引入重構(gòu)因子來(lái)選擇小波基函數(shù)，這里選用一定階數(shù)的Daubechies（dbN）和Symlets（symN）小波族較合適。

重構(gòu)信號(hào)的能力反映了小波變換對(duì)真實(shí)信號(hào)的提取能力，也即反映了去噪能力的強(qiáng)弱，故引入重構(gòu)因子對(duì)小波基的去噪效果進(jìn)行評(píng)判

定義重構(gòu)因子

通過(guò)向量的2種距離保證消噪信號(hào)同原始信號(hào)間的整體偏差和局部偏差能夠充分暴露出來(lái)。如果計(jì)算出某小波基的ρ越大，則認(rèn)為用該小波基進(jìn)行信噪分離的效果越好。本文中對(duì)于兩者在重構(gòu)相對(duì)誤差中的權(quán)重γ1和γ2各取0.5［7～9］。由于已知航電試驗(yàn)的測(cè)試信號(hào)類型已知，可以通過(guò)事先在白噪聲下的仿真找出各種類型信號(hào)的最優(yōu)小波基函數(shù)。以階躍特性試驗(yàn)為例，在Simulink中以方波通過(guò)二階系統(tǒng)的輸出來(lái)仿真標(biāo)準(zhǔn)階躍信號(hào)s，該標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)分別加入信噪比為10的高斯白噪聲模擬含噪輸出信號(hào)s1，選取通用閾值δ，其中，δ為各層系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，N為信號(hào)的長(zhǎng)度，進(jìn)行5層小波分解閾值去噪得到去噪信號(hào)s2。根據(jù)式（5）、式（6）選取10種常用的db小波和10種sym小波，計(jì)算重構(gòu)因子如圖5所示。

由圖5可見(jiàn)，對(duì)于航電伺服系統(tǒng)階躍特性測(cè)試信號(hào)，sym5和db8小波基的重構(gòu)因子較大，其去噪效果好于其它小波基，較適用于該類信號(hào)的去噪。

圖5 20種小波基對(duì)應(yīng)的重構(gòu)因子Fig 5 Reconfiguration factor corresponding to 20 wavelet basis

2.4 小波分解層數(shù)的選擇

由于傳感器性能死區(qū)測(cè)試試驗(yàn)數(shù)據(jù)去噪是后續(xù)數(shù)據(jù)處理的預(yù)處理部分，較好的去噪平滑度便于數(shù)據(jù)的處理與分析，因此，以去噪平滑度［10］為指標(biāo)來(lái)確定分解層數(shù)。

平滑度指標(biāo)的定義式為

式中f（n）為原始信號(hào)，^f（n）為去噪后的信號(hào)。

式（7）表明:當(dāng)數(shù)據(jù)足夠多時(shí)，去噪后信號(hào)的差分?jǐn)?shù)的方差根與原始信號(hào)的差分?jǐn)?shù)的方差根之比，指標(biāo)r反映了去噪信號(hào)的平滑度。

小波分解層數(shù)對(duì)于去噪效果的影響很大，如果分解層數(shù)過(guò)少，低頻部分的噪聲得不到抑制，信噪分離的效果不好，去噪后的信號(hào)仍含有較多噪聲且平滑度不理想，不便于后期數(shù)據(jù)處理;如果分解層數(shù)過(guò)多，去噪效果滿意，平滑度理想，但是可能導(dǎo)致去噪后的信噪比下降，同時(shí)增大了運(yùn)算量，圖像處理的速度，故選擇合適的分解層數(shù)非常重要。

以db5小波為例，分解層數(shù)分別取2～6，應(yīng)用啟發(fā)式閾值（heursure）軟閾值去噪方法去噪效果如圖6所示。

由圖6可以看出:在不同分解層次下，小波閾值去噪的效果有著明顯的差異。在4層分解層次以上已經(jīng)有較好的平滑性，可以進(jìn)行后續(xù)的數(shù)據(jù)分析了，5，6層分解雖也有不錯(cuò)的平滑性，但在細(xì)節(jié)保留和運(yùn)算程度上4層分解更有優(yōu)勢(shì)。

表1給出來(lái)了圖6各層次去噪處理的信噪比、均方差、平滑度3種評(píng)價(jià)指標(biāo)，由表中可以看出:幾種分解層次的信噪比均方差別不大，難以確定分解層次，但從平滑度上可以看出去噪分解到4層已經(jīng)足夠了。

圖6 不同分解層數(shù)下的db5小波去噪效果Fig 6 De-noising effects of db5 wavelet of different decomposition levels

表1 不同分解層數(shù)下的小波閾值去噪評(píng)價(jià)指標(biāo)值Tab 1 Wavelet threshold de-noising evaluating indicator values in different decomposition levels

從以上確定分解層數(shù)的討論可以得出，當(dāng)小波去噪從信噪比、均方差上不足以確定分解層數(shù)時(shí)，可以綜合考慮平滑度指標(biāo)作為確定分解層數(shù)的依據(jù)。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文給出了傳感器性能死區(qū)測(cè)試實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)預(yù)處理的小波閾值去噪方法，對(duì)小波去噪函數(shù)的各個(gè)參數(shù)的選擇進(jìn)行了研究，通過(guò)去噪信噪比、均方差和平滑度的比較確定了選擇啟發(fā)式閾值（heursure）的閾值規(guī)則，引入了重構(gòu)因子對(duì)小波基函數(shù)進(jìn)行了選擇，給出了利用平滑度指標(biāo)來(lái)確定分解層數(shù)的方法。對(duì)于其它一些試驗(yàn)項(xiàng)目，要根據(jù)這些項(xiàng)目試驗(yàn)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)確定各個(gè)去噪?yún)?shù)，方法的選擇與本文類似。該方法在保證平滑度適宜的基礎(chǔ)上，最大程度的保留了信號(hào)的細(xì)節(jié)信息，是一種切實(shí)可行的去噪方法。

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