王 可，于同春，孫興偉，楊赫然

（沈陽工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110870）

0 引言

目前各種異型螺桿在機(jī)械、塑膠、軍工、石油等工業(yè)行業(yè)中的應(yīng)用越來越廣泛，而且它們在設(shè)備中發(fā)揮著越來越重要的作用。這就需要不斷提高螺桿這一核心構(gòu)件的加工精度以及加工效率，但螺桿部件的螺旋曲面廓形越來越復(fù)雜，對螺桿進(jìn)行精加工也越來越困難［1，2］。

目前螺桿的精加工主要采用單砂帶進(jìn)行拋光處理，加工效率相對較低，本課題研究的雙砂帶拋光技術(shù)將大幅度提高螺桿的加工效率。本文利用有限元分析方法對雙砂帶和單砂帶拋光時砂帶的接觸變形以及螺桿所受的正壓力進(jìn)行分析對比，找出正壓力變化的規(guī)律，以便更好地對螺桿進(jìn)行拋光。

1 建立砂帶和螺桿接觸的力學(xué)模型

砂帶在拋光復(fù)雜細(xì)長螺桿這種螺旋曲面時，因?yàn)槠浔砻嫘螤顝?fù)雜性及其他因素的影響，其工藝參數(shù)比較復(fù)雜，拋光軌跡難以確定和控制［3］。由于砂帶拋光螺桿的過程中，螺桿在各拋光接觸點(diǎn)所受正壓力的情況是周期性變化的，因此選取其中的一個周期來進(jìn)行分析。將一個周期內(nèi)螺桿端截面分為3個階段（如圖1所示）：拋光螺桿大徑附近位置（AB段）、拋光螺桿中徑附近位置（BC段）和拋光螺桿小徑附近位置（CD段）。由于各區(qū)域內(nèi)曲線具有一定的形相似性，正壓力的計(jì)算也具有相同的規(guī)則。

雙砂帶拋光時，雙砂帶和螺桿在某個時刻的接觸屬于小面積接觸，接觸面為曲面，實(shí)際接觸的是砂帶的有效磨削點(diǎn)。砂帶在磨削工件時每個有效磨削點(diǎn)主要受到4個力作用，即砂帶自身張力T、工件對砂帶的切向摩擦力f和法向正壓力N、砂帶繞過工件產(chǎn)生的彎曲應(yīng)力TSi。由于砂帶的厚度很小，砂帶的彎曲應(yīng)力可以省略不計(jì)。

砂帶與工件的小接觸面上有n個有效磨削點(diǎn)，每個磨削點(diǎn)i所受的4個力分別表示為Ti，fi，Ni，TSi。正壓力沿著法矢的方向，工件對砂帶的摩擦力沿著切矢的方向。在砂帶有效磨削點(diǎn)中選取主磨削點(diǎn)，以它作為基準(zhǔn)點(diǎn)，將其他的有效磨削點(diǎn)所受的力投影到與工件固連的坐標(biāo)系中，得到各個力的解析表達(dá)式：

其中：P為砂帶有效磨削點(diǎn)的位置矩陣。有：

其中：n為砂帶有效磨削點(diǎn)的數(shù)量。

由于砂帶和螺桿接觸時的力是空間變化的力，實(shí)際拋光過程中砂帶的有效磨削點(diǎn)很難確定，而且砂帶的變形屬于高度非線性的范疇，故本文采用有限元分析的方法來計(jì)算接觸力和接觸變形［4］。

2 砂帶與工件的接觸分析

2.1 建立計(jì)算模型

工件的材料屬于線彈性材料，接觸時結(jié)構(gòu)變形非常小可看成是剛性的，將砂帶的模型簡化成長方體，由于主要研究砂帶跟螺桿的接觸變形和應(yīng)力，故砂帶材料選取基底的材料，工件的材料為高強(qiáng)度鋼，建立的雙砂帶與工件的接觸模型如圖2所示。

圖1 拋光過程中的3個階段

圖2 雙砂帶與螺桿接觸的有限元模型

2.2 接觸條件以及求解方法

砂帶拋光過程中，工件和砂帶的接觸屬于大變形問題，結(jié)構(gòu)的應(yīng)變量不大。其接觸過程依賴于時間，本文結(jié)合接觸條件的增量表達(dá)形式采用增量方法求解接觸問題。根據(jù)工件材料與時間t＋Δt位形內(nèi)物體的平衡條件及力邊界條件相等效的虛位移原理以及接觸力的不同形式，得到虛功的計(jì)算公式［5］：

由于式（3）中t＋Δt位形未知，因此采用更新拉格朗日格式進(jìn)行位移增量uk求解，該格式中所有變量以時間t的位形作為參考位形。得到增量求解的非線性表達(dá)式為：

其中：σij，t為時間t位形的 Kirchhoff應(yīng)力張量；e為線性應(yīng)變；η為非線性應(yīng)變。

將式（4）線性化處理得到：

其中：Dij，t為參考于時間t位形度量的切線本構(gòu)張量。

以上方程變分的結(jié)果可得到關(guān)于位移增量ui的線性方程組。

采用變分法求解位移增量ui的方程，引入接觸方程，利用拉格朗日乘子法將附加約束條件引入泛函求解關(guān)于位移增量的線性方程組，總位能的泛函表示為：

其中：∏u為不包括接觸約束條件的總位能；∏CL為用拉格朗日乘子法引入接觸約束條件的附加泛函。

接觸條件不同邊界條件也發(fā)生改變，本文選取有摩擦滑動的邊界條件，采用變分法，令δ∏＝δ∏u＋δ∏CL＝0，可以得到相應(yīng)位移增量ui的求解方程。

2.3 螺桿和砂帶的變形和應(yīng)力分析

本文采用拉格朗日乘子法進(jìn)行增量求解，以所有變量的時間t作為參考，用拉格朗日乘子法將接觸邊界條件引入泛函求解相關(guān)線性方程組。由于模型較復(fù)雜，為了節(jié)省計(jì)算時間，采用預(yù)置條件共軛梯度算法間接迭代求解。在螺桿和砂帶接觸分析時，采用相同的下壓量和砂帶張緊力。

單砂帶拋光螺桿時，砂帶3個階段的最大變形和應(yīng)力如圖3、圖4所示。雙砂帶拋光螺桿時，砂帶3個階段的最大變形和應(yīng)力如圖5、圖6所示。

圖3 單砂帶拋光時砂帶的最大變形量

圖4 單砂帶拋光時砂帶的法向最大應(yīng)力

圖5 雙砂帶拋光時砂帶的最大變形量

單砂帶和雙砂帶拋光時，選取相同的砂帶張緊力和下壓量，雙砂帶相比單砂帶在法向應(yīng)力上總體有所減小，但二者在3個位置總體的趨勢相同；雙砂帶拋光時砂帶的應(yīng)變相對較小。通過圖4和圖6可以看出，雙砂帶在拋光中徑附近時的正壓力與兩側(cè)相比變化較小，單砂帶在拋光3個階段的正壓力變化較大。以往單砂帶在拋光螺桿中徑附近時（圖1中BC段），由于螺旋面的凹凸性，使得在拋光過程中砂帶有向下的分力，導(dǎo)致砂帶在拋光螺桿時正壓力不足，出現(xiàn)砂帶“打滑”的現(xiàn)象，減少了砂帶在拋光接觸點(diǎn)的駐留時間，使得拋光量不足。雙砂帶拋光由于回轉(zhuǎn)中心在兩個砂帶的中心上，不在砂帶各自的中心上，所以在拋光螺桿中徑附近時，砂帶在螺桿旋轉(zhuǎn)到平坦的位置進(jìn)行拋光，正應(yīng)力變化較小，這就使得拋光量更均勻，提高了螺桿廓形的加工精度。

圖6 雙砂帶拋光時砂帶的法向最大應(yīng)力

3 結(jié)束語

本文采用接觸理論研究了砂帶與螺桿拋光過程中的接觸情況，對單砂帶和雙砂帶拋光過程中砂帶受力及變形進(jìn)行了比較分析，進(jìn)一步驗(yàn)證了雙砂帶拋光的優(yōu)越性。雙砂帶拋光技術(shù)能夠極大地提高螺桿的加工效率、改善螺桿局部的拋光質(zhì)量，從而降低螺桿的加工成本，對螺桿數(shù)控拋光技術(shù)的推廣起到了促進(jìn)作用。

［1］ 周志雄，周秦源，任瑩暉.復(fù)雜曲面加工技術(shù)的研究現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢［J］.機(jī)械工程學(xué)報，2010，46（17）：10－113.

［2］ 孫興偉，董蔚，王可，等.數(shù)控機(jī)床零件輪廓加工精度的分析與控制［J］.制造技術(shù)與機(jī)床，2010（1）：61－63.

［3］ 王可，臧愛清，孫興偉.螺旋馬達(dá)轉(zhuǎn)子的拋光研究［J］.機(jī)床與液壓，2010（3）：54－56.

［4］ 曹和平，李高峰，洪在地.砂帶磨削接觸有限元分析［J］.煤礦機(jī)械2008，29（10）：82－84.

［5］ 閻秋生，宋亞楠，高偉強(qiáng).發(fā)動機(jī)氣門過渡曲面砂帶拋光過程接觸狀態(tài)分析［J］.中國機(jī)械工程，2010，21（21）：2054－2058.