程效軍，程帆瑾

(1.同濟大學 測繪與地理信息學院，上海 200092； 2.湖南大學 信息科學與工程學院，湖南 長沙 410082)

傾斜山坡地塊面積的精確量算與精度分析*

程效軍1，程帆瑾2

(1.同濟大學 測繪與地理信息學院，上海 200092； 2.湖南大學 信息科學與工程學院，湖南 長沙 410082)

對于傾斜山坡上多邊形地塊，利用電子全站儀測定該地塊中的轉(zhuǎn)折點的三維坐標，先按其中3點求出初始平面方程；然后以此為基礎，按最小二乘法的間接平差原理，解算出初始平面方程式系數(shù)的改正值，得到擬合的傾斜平面方程式；計算該平面與水平面的夾角，然后求出該地塊投影到水平面上的面積，由該面積和夾角即可精確計算出地塊的傾斜面積；最后對該地塊的面積精度進行評定。

傾斜山坡；地塊面積；精確量算；精度分析

0 引言

在實際工作中，往往會遇到如何精確量算傾斜山坡地塊面積的問題。如對于山地中的綠化面積進行計量等。如圖1所示，傾斜面上的地塊為n邊形(n>3)，利用電子全站儀測定該地塊的轉(zhuǎn)折點P1、P2、P3，…，Pn的三維坐標，先按P1、P2、P3三點求出其初始平面。然后以此為基礎，按最小二乘法的間接平差原理，列出各點觀測值的誤差方程式，組成法方程式，解算出初始平面方程式系數(shù)的改正值，得到擬合的平面方程式[1]。計算該平面與水平面的夾角，然后求出該地塊投影到水平面上的面積，由該面積和夾角即可精確計算出地塊的傾斜面積。另外根據(jù)誤差傳播定律，可推出該地塊在斜面上的面積中誤差公式[2]。

圖1 n邊形的傾斜地塊Fig.1 N-gon’s tilt block

1 計算公式

如圖1所示，設P1、P2、P3三點的坐標為(x1，y1，z1)，(x2，y2，z2)，(x3，y3，z3)，由這3點構(gòu)成的平面，可用下式表示：

(1)

將式(1)展開，可得到包括P1、P2、P3三點的平面方程式：

A0x+B0y+C0z+D0=0

(2)

式(2)中：

(3)

設按測定的n點擬合出的平面方程式應為：

Ax+By+Cz+D=0

(4)

將式(4)同除以D可得：

(5)

令

(6)

則式(4)可改寫為：

A′x+B′y+C′z+1=0

(7)

對于每個測定點的觀測值可列出其誤差方程式：

vi=A′xi+B′yi+C′zi+1 (i=1，2，…，m)

(8)

(9)

(10)

式(10)中，δA′，δB′，δC′為未知參數(shù)，右端括號內(nèi)數(shù)值為常數(shù)項li。根據(jù)n個地面觀測點的誤差方程式組成法方程式，再按照平方根法對法方程式求逆，可解得未知數(shù)δA′，δB′，δC′，由此求得平面方程的系數(shù)：

(11)

根據(jù)傾斜平面方程與水平面方程，可計算出斜面的夾角，公式為：

(12)

將P1、P2、P3，…，Pn投影到水平面上，計算該地塊在水平面上的面積，公式為：

(13)

最后按計算該地塊在傾斜面上的面積，公式為：

(14)

根據(jù)誤差傳播定律，可推出該地塊在傾斜面上的面積中誤差公式：

(15)

式中：mc=mx=my；Di+1，i-1為圖1中第i點的左、右相鄰點的連線的長度。

2 應用實例

表1 傾斜地塊各頂點坐標Tab.1 Coordinates of certain tilt block

表2 傾斜地塊擬合平面計算結(jié)果Tab.2 Fitting plannar calculation results of certain tilt block

由表2可知該地塊擬合出的平面方程為：

0.00016205X-0.00202449Y-0.01642770Z+1=0

按式(12)可計算出該傾斜平面的傾角為：

α=8°57′08″

按式(13)計算該地塊投影在水平面上的面積為：

P=165.260 2 m2

按式(14)計算該地塊在傾斜面上的面積：

P′ = 166.518 4 m2

可見，該地塊在傾斜面上的面積與投影在水平面上的面積相差1.258 2 m2，相對精度達1/130。

用2秒級的電子全站儀在200 m范圍內(nèi)點位精度可達mc=mx=my=±0.010 m，按式(15)計算該地塊在傾斜面上的面積中誤差：

mP=±0.129 7 m2

則該地塊的面積相對中誤差為：

從表1可知，由于傾斜地塊為草地，點位測定存在一定的誤差，該地塊的平面擬合精度為±10.35 mm，與實際情況相符。

3 結(jié)論

對于傾斜山坡上地塊，可以利用電子全站儀測定該地塊的各個轉(zhuǎn)折點的三維坐標，擬合出該地塊的平面方程式，求出該地塊投影到水平面上的面積，由該面積和夾角即可精確計算出地塊的傾斜面積及其中誤差，從而使計算出面積更加符合實際情況。

[1] 潘正風，程效軍，成樞，等.數(shù)字地形測量學[M].武漢：武漢大學出版社，2015.

[2] 顧孝烈，鮑峰，程效軍.測量學 [M].第4版.上海：同濟大學出版社，2011.

[3] 李杰，程效軍.三維激光掃描儀在墻面平整度檢測中的應用[J].井岡山大學學報：自然科學版，2014(4)：13-17.

Accurate Measurement and Calculation with Accuracy Analysis of Block Area on Tilt Hillside

CHENG Xiao-jun1，CHENG Fan-jin2

(1.CollegeofSurveyingandGeo-informations，TongjiUniversity，Shangshai200092，China； 2.CollegeofComputerScienceandElectronicEngineering，HunanUniversity，ChangshaHunan410082，China)

To the polygonal block on tilt hillside，we use electronic total station to determine the 3D coordinates of the block’s turning points.First，we use the three points of coordinates to obtain the initial plane equation.Second，according to the adjustment of observation equations of the least square method，the correcting value of initial plane equation’s coefficients is calculated，and the fitting tilt plane equation is obtained.Third，we calculate the angle between the plane and horizontal plane，and the projected area of the block to the horizontal plane is obtained.Then the tilt area of the block can be calculated out accurately by using the area and the angle.At last，the accuracy of the land area will be evaluated.

tilt hillside；land area；accurate measurement and calculation；accuracy analysis

2015-09-11

P 218

A

1007-9394(2015)04-0001-02

程效軍(1964～)，男，江西樂平人，教授，博士生導師，工學博士，主要研究方向為三維數(shù)字仿真與精密工程測量。