仇 翔，宋海裕，俞 立

（1.浙江工業(yè)大學信息工程學院，浙江杭州310023；2.浙江財經(jīng)大學信息學院，浙江杭州310018）

基于平均駐留時間方法的牛鞭效應穩(wěn)定化控制

仇 翔1，宋海裕2，俞 立1

（1.浙江工業(yè)大學信息工程學院，浙江杭州310023；2.浙江財經(jīng)大學信息學院，浙江杭州310018）

研究供應鏈庫存系統(tǒng)中的牛鞭效應抑制問題.針對實際生產(chǎn)中訂單波動補償決策信息的可獲得和不可獲得2種情況，把對供應鏈庫存系統(tǒng)中牛鞭效應的抑制轉(zhuǎn)化為一類含有2個子系統(tǒng)的切換系統(tǒng)穩(wěn)定化控制問題.采用平均駐留時間方法，給出一個充分條件，使所得的供應鏈庫存波動切換系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定.通過求解一組線性矩陣不等式，給出訂單補償控制增益和庫存波動信息權(quán)重矩陣的設計方法.通過仿真算例驗證了所得的訂單補償控制策略能夠有效地抑制供應鏈庫存網(wǎng)絡系統(tǒng)中的牛鞭效應.

牛鞭效應；穩(wěn)定化控制；切換系統(tǒng)；平均駐留時間

在全球經(jīng)濟一體化背景下，單個企業(yè)的發(fā)展與其所在供應鏈中上、下游成員的發(fā)展緊密聯(lián)系在一起，這迫使企業(yè)從整個供應鏈的角度來關(guān)注競爭力的提高.Bendiner[1]指出，有效的供應鏈管理方法使得企業(yè)的成本、交貨率和生產(chǎn)周期等指標得到改善.牛鞭效應是供應鏈運作過程中的需求波動增大現(xiàn)象，它造成了供應鏈效率的低下，是供應鏈管理中的重點與難點.造成牛鞭效應的主要成因在于不能有效地獲知需求波動信息.Croson等[2]從庫存信息共享的角度對牛鞭效應進行分析研究.Dejonckheere 等[3]指出，在不同的庫存補充策略下信息共享的效果不同，但都能夠有效地降低多階供應鏈中上游節(jié)點的訂單波動.汪傳旭等[4]指出在不同的需求自回歸系數(shù)作用下，需求信息延遲會造成完全不同的牛鞭效應效果.隨著不同學科交叉研究的深入，系統(tǒng)控制理論開始被應用到了牛鞭效應的抑制中[5-6].唐亮等[7]研究供應鏈系統(tǒng)運作中存在不確定擾動時的牛鞭效應抑制問題，設計了H∞魯棒控制策略來減小客戶不確定需求引起的生產(chǎn)、訂貨和庫存波動.針對信息共享受限的情況，李翀等[8-9]運用系統(tǒng)穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式方法給出庫存控制策略的設計方法.針對供應鏈系統(tǒng)中存在不確定性和時滯的情形，提出魯棒庫存控制方法來抑制供應鏈中的牛鞭效應[10].Garcia等[11]提出一種切換控制方法來對供應鏈中的庫存進行管理.Fu等[12]采用分散式和集中式模型預測控制方法來減小供應鏈系統(tǒng)中的牛鞭效應.

在供應鏈系統(tǒng)的實際運作中，由于庫存狀態(tài)信息的未及時更新、決策過程和企業(yè)之間信息交互的不及時性，訂單波動補償決策信息不一定在每個生產(chǎn)周期內(nèi)都可獲得.決策信息的不可獲得，意味著牛鞭效應將不受控制.當供應鏈庫存系統(tǒng)中存在決策信息不可獲得的情形時，設計一個訂單補償控制策略，使牛鞭效應仍能得到抑制顯得極為關(guān)鍵.顯然地，當決策信息一直都不可獲得時，牛鞭效應必定無法被抑制；因此，確定牛鞭效應可以得到控制時決策信息應滿足的可獲得率條件成為另一個重要問題.

在上述針對牛鞭效應的文獻中，盡管給了諸多定性或定量分析，但是均忽略了決策信息的可獲得率在控制策略設計中的影響.本文將訂單波動補償信息可獲得和不可獲得兩類情況分別建模成一個切換系統(tǒng)中的兩個子系統(tǒng)，從而使牛鞭效應的抑制問題轉(zhuǎn)化為所得庫存波動切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題.針對存在不穩(wěn)定子系統(tǒng)的切換系統(tǒng)控制問題，Hespanha等[13]提出平均駐留時間概念，指出只要系統(tǒng)駐留在每一個子系統(tǒng)上的平均時間足夠大，則切換系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定.近年來，平均駐留時間方法在一些網(wǎng)絡化控制和估計問題中得到了諸多應用[14-16].本文通過引入平均駐留時間的概念，把訂單補償決策信息的可獲得率轉(zhuǎn)化為切換系統(tǒng)中子系統(tǒng)的平均駐留時間.通過對所得的庫存波動切換系統(tǒng)進行穩(wěn)定性分析，給出一個訂單補償控制策略的設計方法.

1 問題描述與建模

在供應鏈庫存管理系統(tǒng)中，多個企業(yè)同時扮演著上游供應商和下游訂貨商的角色.供與求的動態(tài)變化直接影響著整個供應鏈系統(tǒng)的穩(wěn)定運行.當消費需求波動超過整個供應鏈系統(tǒng)能夠穩(wěn)定運行的波動范圍時，將會造成庫存的波動，從而引發(fā)牛鞭效應.考慮一個由n個企業(yè)構(gòu)成的供應鏈庫存系統(tǒng)，每個企業(yè)分別以1，2，…，n進行編號.針對企業(yè)i，記Si和Ti分別為上游供應商和下游訂貨商的集合.在第k個生產(chǎn)周期中，設dli（k）為企業(yè)i發(fā)送給上游供應商l的原料訂單，sli（k）為企業(yè)i從供應商l處實際收到的貨物量；dij（k）為企業(yè)i從下游訂貨商j處收到的原料訂單，sij（k）為企業(yè)i實際發(fā)給企業(yè)j的貨物量.令hi（k）為企業(yè)i在第k個生產(chǎn)周期中由于庫存短缺而未及時處理的訂單量，則企業(yè)i累積的訂單量有如下關(guān)系：

設xi（k）為企業(yè)i在第k個生產(chǎn)周期中的真實庫存水平，則庫存與收貨量和發(fā)貨量之間有如下關(guān)系：

由于庫存和訂單總量的限制，企業(yè)i的發(fā)貨量滿足：

當庫存量充足時，企業(yè)i的庫存有如下動態(tài)平衡：

式中：aij為給定的預測比例系數(shù).記企業(yè)因為市場需求變化而在本企業(yè)處進行的訂單調(diào)整量總和為ui（k），則由式（5）、（6）可得

記

由式（4）可知，訂單量和收貨量的波動直接影響企業(yè)庫存的變化.設（k）為第k個生產(chǎn)周期中市場需求穩(wěn)定時企業(yè)i的標準庫存量（k）為實際庫存與標準庫存的偏差，則有

則式（7）可以改寫成如下矩陣形式：

式中：A為預測比例系數(shù)矩陣，A=[aij]n×n.

從式（8）可以看出，整個供應鏈系統(tǒng)的庫存波動除了受到上一生產(chǎn)周期庫存波動的影響外，還受到上一生產(chǎn)周期中企業(yè)訂單量變化的影響.可以通過調(diào)節(jié)各企業(yè)的訂單量來抑制甚至消除牛鞭效應，即可以基于企業(yè)的庫存波動信息設計合理的u（k），使得動態(tài)系統(tǒng)（8）趨于穩(wěn)定.

結(jié)合實際情況，庫存信息的獲得可以由如下的輸出方程描述：

式中：C為已知輸出矩陣.特別地，當C為單位陣時，表示可以獲得所有企業(yè)的庫存信息.基于這些獲得的庫存信息，可以采用如下的訂單補償控制量：

式中：K為訂單波動控制增益，即基于庫存變化信息制定的訂單調(diào)整決策系數(shù)（k）為在第k個生產(chǎn)周期內(nèi)對供應鏈系統(tǒng)中企業(yè)庫存波動水平的估計值，可由如下估計模型獲得：

式中：L為庫存波動信息權(quán)重矩陣.

在實際市場運作中，由于庫存狀態(tài)信息的未及時更新、決策過程和企業(yè)之間信息交互的不及時性，u（k）不一定在每個生產(chǎn)周期內(nèi)都可獲得.當?shù)趉生產(chǎn)周期中的訂單補償量不可獲得時，則可以用前一生產(chǎn)周期內(nèi)的控制量來進行補償，即

定義供應鏈庫存波動水平的估計誤差：

并記

則有

1）當訂單補償決策量可獲知時，整個供應鏈庫存波動系統(tǒng)具有如下動態(tài)模型：

式中：

2）當訂單補償決策量不可獲知時，供應鏈庫存波動系統(tǒng)的動態(tài)模型為

式中：

根據(jù)訂單補償決策信息是否可獲得，可以將整個供應鏈庫存波動系統(tǒng)看成是一個由子系統(tǒng)（12）和子系統(tǒng)（13）構(gòu)成的切換系統(tǒng).為此，引入一切換信號σ（k）∈{1，2}，其中σ（k）=1表示訂單補償決策信息可獲得，即對應子系統(tǒng)（12）；σ（k）=2表示訂單補償決策信息不可獲得，對應子系統(tǒng)（13）.式（12）、（13）可以統(tǒng)一寫成如下切換系統(tǒng)模型：

存在決策信息不可獲得的供應鏈庫存波動系統(tǒng)可以描述為形如式（14）的具有2個子系統(tǒng)的切換系統(tǒng)模型.對牛鞭效應的抑制問題等價轉(zhuǎn)化為通過設計合理的訂單補償控制增益K和庫存波動信息權(quán)重矩陣L，使得切換系統(tǒng)（14）穩(wěn)定.為了使牛鞭效應能夠以較快的速率被抑制，引入如下指數(shù)穩(wěn)定的定義.

定義1考慮切換系統(tǒng)（14），若存在正常數(shù)c 和λ，使得對于任意給定的初始條件，系統(tǒng)（14）的解滿足

子系統(tǒng)（13）是一個不穩(wěn)定系統(tǒng)，換言之，當訂單補償決策信息不可獲知時，牛鞭效應會一直存在.特別地，若訂貨量是以擴大的形式被預測時（即矩陣A中的預測比例系數(shù)大于零），則牛鞭效應會愈演愈烈.當訂單補償決策信息可知時，則可以通過設計的K和L，使得子系統(tǒng)（12）穩(wěn)定，從而抑制牛鞭效應直至消除.顯然，即使設計好了K和L，也無法保證整個供應鏈庫存系統(tǒng)可以穩(wěn)定運行（特別地，若庫存波動狀態(tài)水平一直無法獲得，則牛鞭效應將越來越嚴重）.因此，研究的關(guān)鍵在于確定訂單補償決策信息在怎樣的可被獲知程度下可以使系統(tǒng)（14）穩(wěn)定.引入如下平均駐留時間的定義.

定義2［17］對于任意的τ2＞τ1＞0，令Nσ（τ1，τ2）表示切換信號σ（t）在間隔[τ1，τ2）內(nèi)的切換次數(shù).若存在τa＞0和N0≥0，使得不等式Nσ（τ1，τ2）≤N0+（τ2-τ1）/τa成立，則稱τa為切換信號σ（t）的平均駐留時間，其中N0為抖動界.

不失一般性，本文取抖動界N0=0.從上面建立的模型可知，當訂單補償決策信息可獲得時，切換系統(tǒng)（14）中的子系統(tǒng)1激活；當訂單補償決策信息不可獲得時，子系統(tǒng)2激活.記每個生產(chǎn)周期的時間跨度為M，將k個生產(chǎn)周期的時間間隔[0，k M ）簡記為[0，k）.記[0，k）內(nèi)子系統(tǒng)1和2被激活的次數(shù)分別為n1和n2，則有n1+n2=k.子系統(tǒng)1和2的被激活率分別為r1=n1/k和r2=n2/k.本文的目標可以歸結(jié)如下：設計K和L使得切換系統(tǒng)（14）指數(shù)穩(wěn)定，同時確定訂單補償決策信息可被獲得和不可被獲得的最小平均駐留時間以及r1和r2應滿足的條件.

2 訂單補償控制策略設計

本文基于切換系統(tǒng)的平均駐留時間方法，對供應鏈庫存波動系統(tǒng)（14）進行穩(wěn)定性分析，給出訂單補償控制器增益和庫存波動信息權(quán)重矩陣的設計方法.

定理1給定庫存波動系統(tǒng)（14）的子系統(tǒng)激活率r1和r2以及標量ε1、ε2和λ＞1，若存在對稱正定矩陣Pi（i=1，2），使得以下線性矩陣不等式組

成立，則庫存波動系統(tǒng)（14）指數(shù)穩(wěn)定并具有指數(shù)衰減率λρ，其中，r1+r2=1，

選取Lyapunov函數(shù)：

則

式中：Ωi=由條件（15）和Schur補引理可知，Ωi＜0.對于任意的φ（k）≠0，有Wi（k+1）＜Wi（k），因此，Wi（k）＜Wi（k0）.

為系統(tǒng)（14）選取如下Lyapunov函數(shù)：

令k1，k2，…，kl為系統(tǒng)（14）在間隔[0，k）內(nèi)的切換點，且0＜k1＜k2＜…＜kl＜k，l≥1.對于任意的子系統(tǒng)i∈{1，2}，有

由式（23）可得

利用條件（16），有

利用式（24）和（25），可得

由條件（17）可知，

結(jié)合式（26）和（27），有

由于

由條件（18）可知，ρ＞0.同時由λ＞1可知，λρ＞1，從而庫存波動系統(tǒng)（14）指數(shù)穩(wěn)定并具有定義1中的指數(shù)衰減率λρ.證畢.

定理1給出庫存波動系統(tǒng)（14）具有指數(shù)穩(wěn)定的訂單波動補償增益和庫存波動信息權(quán)重矩陣存在性充分條件.基于該充分條件，下面將提出訂單波動補償增益和庫存波動信息權(quán)重矩陣的設計方法.

定理2給定庫存波動系統(tǒng)（14）的子系統(tǒng)激活率r1和r2以及標量ε1、ε2和λ＞1，若存在矩陣K、L和正定對稱矩陣（i=1，2），使得以下不等式組

成立，則庫存波動系統(tǒng)（14）指數(shù)穩(wěn)定.對應的訂單波動補償增益和庫存波動信息權(quán)重矩陣為K和L.同時，系統(tǒng)（14）的2個子系統(tǒng)滿足的平均駐留時間為

利用不等式Pi＞2I-，當

3 供應鏈管理系統(tǒng)案例仿真

某制衣有限公司為了拓展市場，在4個縣級市分設了4個加工批發(fā)分部.分部之間根據(jù)各自規(guī)?？蓮泥徑植炕蚩偛窟M行貨物訂購，以補償分部自身生產(chǎn)不足.具體的訂購關(guān)系如圖1所示.圖中，a0j為總部對分部j的訂單預測比例系數(shù)，aij為分部i對分部j的訂單預測比例系數(shù)，因此，

總部和4個分部構(gòu)成了一個典型的供應鏈庫存系統(tǒng)，有如式（14）的庫存波動方程.選取ε1=1.2和ε2=0.55，各分部對來自總部或其他分部的訂單波動補償決策信息的可獲得率和不可獲得率分別為r1=0.9和r2=0.1，則有=1.109 9.根據(jù)式（33）取符合條件的λ=1.1，并取μ=1.2，則可以求得應滿足的最小平均駐留時間為=lnμ/（2l nλ）=0.956 5.在50個生產(chǎn)周期內(nèi)，訂單波動補償決策信息可獲得的次數(shù)為n1=50r1=45，不可獲得的次數(shù)為n2=50r2=5.因此，對應的切換系統(tǒng)最多切換10次，即最小平均駐留時間為5，滿足定理2中的平均駐留時間條件，同時系統(tǒng)的指數(shù)衰減率為

圖1 訂購關(guān)系圖Fig.1 Figure of order relation

和庫存波動信息權(quán)重矩陣

選取總部和4個分部對應的庫存波動系統(tǒng)（14）的初始信息為

圖2 訂單補償決策信息可獲得和不可獲得發(fā)生序列Fig.2 Occurrence sequence of available and unavailable decision information for order compensating

設各分部訂單補償決策信息的可獲得和不可獲得發(fā)生序列如圖2所示.圖中，k為生產(chǎn)周期.可以算得該切換序列中訂單波動決策信息可獲得率和不可獲得率分別為90％和10％.取庫存波動輸出矩陣C=diag[1，0，1，0，1]，即只量測總部，分部2和分部4的庫存波動狀況.利用MATLAB的LMI工具箱對式（31）和（32）進行求解，可得訂單波動補償控制增益庫存量的單位為百件.當訂單補償決策信息不可獲得時，對應的庫存波動水平軌跡如圖3所示.可以看出，由于訂單一直無法受到補償調(diào)整，隨著生產(chǎn)的進行，總部和各分部的牛鞭效應愈演愈烈.當訂單補償決策信息具有90％的獲得率時，對應的庫存波動水平軌跡如圖4所示.圖中，Tr為庫存.可以看出，根據(jù)定理2的設計方法得到的訂單波動補償控制策略很好地抑制了該制衣有限公司供應鏈系統(tǒng)中的牛鞭效應.對比圖3和4可以發(fā)現(xiàn)，盡管訂單補償決策信息不能一直被獲得，但是如果獲得率得到保證，則可以有效地抑制牛鞭效應.通過仿真結(jié)果的對比分析可以看出，當供應鏈庫存管理系統(tǒng)中決策信息無法一直獲得時，本文所給的訂單補償控制策略可以有效地抑制牛鞭效應.

圖3 訂單補償決策信息不可獲得時的庫存波動軌跡圖Fig.3 Trajectories of inventory when decision information for order compensating is unavailable

圖4 訂單補償決策信息獲得率為90％時的庫存波動軌跡圖Fig.4 Trajectories of inventory when available rate of decision information for order compensating is 90％

4 結(jié) 語

在供應鏈庫存管理系統(tǒng)中，由于庫存狀態(tài)的未及時更新、決策過程和企業(yè)之間信息交互的不及時性，使得訂單波動決策信息無法在每個生產(chǎn)周期內(nèi)都能被獲得.通過對訂單補償控制信息的可獲得和不可獲得2種情況進行分別建模，本文將供應鏈庫存系統(tǒng)中的牛鞭效應抑制問題轉(zhuǎn)化為了一類含有2個子系統(tǒng)的切換系統(tǒng)穩(wěn)定化控制問題.基于平均駐留時間方法，通過求解一組線性矩陣不等式給出訂單補償控制增益和庫存波動信息權(quán)重矩陣的設計方法.仿真結(jié)果表明：當訂單補償決策信息不可獲得時，企業(yè)的牛鞭效應會愈演愈烈；當訂單補償決策信息的可獲得率得到保證時，則可以通過所設計的訂單補償控制方法有效地抑制牛鞭效應.在供應鏈實際運作中，企業(yè)之間的交互信息會存在不確定性，同時庫存調(diào)度過程中會受到時間滯后的影響.因此，進一步的研究可以考慮具有信息交互不確定性和調(diào)度時延的供應鏈牛鞭效應抑制問題.

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Bullwhip effect control based on average dwell time method

QIU Xiang1，SONG Hai-yu2，YU Li1

（1.College of Information Engineering，Zhejiang University of Technology，Hangzhou 310023，China；2.College of Information，Zhejiang University of Finance and Economics，Hangzhou 310018，China）

The bullwhip effect control problem was analyzed for the supply chain system.Considering the fact that the decision information for order compensating may be lost or not，the bullwhip effect control problem of the supply chain systems was converted to a stabilization problem of a class of switched systems with two subsystems.A sufficient condition was provided by using the average dwell time method in order to ensure that the supply chain inventory system is exponentially stable.The order compensation controller and the weighted matrix of the inventory fluctuation were designed by solving a set of linear matrix inequalities.An illustrative example was provided to demonstrate the effectiveness of the proposed order compensation control strategy in controlling the bullwhip effect for supply chain systems.

bullwhip effect；stability control；switched system；average dwell time

TP273

A

1008-973X（2015）10-1909-07

2014-11-03.浙江大學學報（工學版）網(wǎng)址：www.journals.zju.edu.cn/eng

國家自然科學基金資助項目（61273117）.

仇翔（1980—），男，講師，博士生，從事先進控制理論、供應鏈優(yōu)化技術(shù)等的研究.ORCID：0000-0001-9925-856X.

E-mail：qiuxiang@zjut.edu.cn