從繼成，高綱領(lǐng)

（黃淮學(xué)院，河南 駐馬店 463000）

一種新的雙翼和四翼蝴蝶吸引子共存的超混沌系統(tǒng)*

從繼成，高綱領(lǐng)

（黃淮學(xué)院，河南 駐馬店 463000）

針對(duì)現(xiàn)有的四翼超混沌系統(tǒng)在系統(tǒng)參數(shù)固定時(shí)，不能同時(shí)產(chǎn)生雙翼和四翼蝴蝶混沌吸引子的問(wèn)題，提出了一種雙翼與四翼蝴蝶混沌吸引子共存的超混沌系統(tǒng)。對(duì)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)、Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖進(jìn)行了研究，呈現(xiàn)了系統(tǒng)的超混沌特性。最后，利用主動(dòng)控制同步法，設(shè)計(jì)了合適的非線性反饋控制器，實(shí)現(xiàn)雙翼與四翼吸引子共存的超混沌系統(tǒng)的廣義投影同步。

超混沌，雙翼蝴蝶混沌吸引子，四翼蝴蝶混沌吸引子，廣義投影同步

0 引言

由于混沌系統(tǒng)具有非常復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，因此，混沌已被廣泛地應(yīng)用于保密通信中，而四翼蝴蝶混沌系統(tǒng)較一般的雙翼蝴蝶混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為更復(fù)雜，因此，在保密通信中使用四翼蝴蝶混沌系統(tǒng)，能使保密通信更安全，信息更難被破譯。

2003年，Liu等［1］構(gòu)造了第1個(gè)四翼蝴蝶混沌吸引子，盡管被證明是假的四翼蝴蝶混沌吸引子［2］，但卻引起了人們對(duì)構(gòu)造四翼［3-14］蝴蝶混沌系統(tǒng)的興趣。文獻(xiàn)［3-11］通過(guò)對(duì)雙翼蝴蝶混沌系統(tǒng)的修改，構(gòu)造了能產(chǎn)生四翼蝴蝶混沌吸引子的系統(tǒng)；Wang等［12］構(gòu)造了一個(gè)新的混沌系統(tǒng)，通過(guò)改變系統(tǒng)參數(shù)，該系統(tǒng)能產(chǎn)生三翼和四翼蝴蝶混沌吸引子；Dadras等也構(gòu)造了兩個(gè)混沌系統(tǒng)，通過(guò)改變系統(tǒng)參數(shù)，這兩個(gè)系統(tǒng)分別能產(chǎn)生兩翼、三翼、四翼蝴蝶混沌吸引子［13］和一翼、兩翼、三翼、四翼蝴蝶混沌吸引子［14］。然而，對(duì)于上述的混沌系統(tǒng)，其不足之處在于：要產(chǎn)生不同翼數(shù)的蝴蝶混沌吸引子，都需要修改系統(tǒng)參數(shù)才能實(shí)現(xiàn)，而當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)固定時(shí)，卻不能同時(shí)產(chǎn)生具有不同翼數(shù)的蝴蝶混沌吸引子。針對(duì)該問(wèn)題，本文構(gòu)造了一種雙翼與四翼蝴蝶混沌吸引子共存的超混沌系統(tǒng)。

1 雙翼和四翼蝴蝶混沌吸引子共存的超混沌系統(tǒng)

本文構(gòu)造的具有雙翼與四翼蝴蝶混沌吸引子共存的超混沌系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

其中，x，y，z，w是狀態(tài)變量，a，b，c，d，m，n為系統(tǒng)參數(shù)。令a=25，b=3，c=40，d=10，m=10，n=2，選取初始條件［x，y，z，w］=［0.1，0.2，0.3，0.12］T，取步長(zhǎng)為0.001，通過(guò)數(shù)值仿真，得到系統(tǒng)（1）能同時(shí)產(chǎn)生雙翼與四翼蝴蝶超混沌吸引子，如圖1所示。

從圖1可以看出，系統(tǒng)（1）在x～y相平面呈現(xiàn)出雙翼蝴蝶超混沌吸引子；在x～z和y～z相平面呈現(xiàn)出四翼蝴蝶超混沌吸引子。由此可見，系統(tǒng)（1）能同時(shí)產(chǎn)生雙翼和四翼蝴蝶超混沌吸引子。

2 基本動(dòng)力學(xué)分析

2.1 平衡點(diǎn)

把平衡點(diǎn)S0代入特征方程det（J-λI）=0，得到4個(gè)特征值分別為 λ1=-3，λ2=-46.49，λ3=20.55，λ4=0.94，由于λ1和λ2為負(fù)實(shí)數(shù)，λ3和λ4為正實(shí)數(shù)，故平衡點(diǎn)S1為不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)。

把平衡點(diǎn)S2和S3代入特征方程det（J-λI）=0，得到S2和S3有相同的特征值，分別是λ1，2=-3.85± 51.32i，λ3=-20.40，λ4=0.10。由于λ1，2為具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)根，λ3為負(fù)實(shí)數(shù)，λ4為正實(shí)數(shù)，故平衡點(diǎn)S2和S3為不穩(wěn)定的鞍焦點(diǎn)。

2.2 Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖

令系統(tǒng)參數(shù) a=25，b=3，c=40，d=10，n=2，當(dāng)0＜m＜20時(shí)，系統(tǒng)（1）的Lyapunov指數(shù)譜和關(guān)于狀態(tài)變量y的分岔圖，如圖2所示。

從圖 2（a）知，當(dāng)m∈［4.4，7］，［10，10.9］，［11.2，15.3］和m∈［16.1，17.2］時(shí)，系統(tǒng)式（1）最大的兩個(gè)Lyapunov指數(shù)大于0，系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)；當(dāng)m取剩余值時(shí)，系統(tǒng)（1）只有一個(gè)Lyapunov指數(shù)大于0，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。從圖2（b）中的分岔圖也可以看出系統(tǒng)始終處于混沌與超混沌狀態(tài)。分岔圖與Lyapunov指數(shù)譜相一致。

3 廣義投影同步

設(shè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)：

響應(yīng)系統(tǒng)：

式中，u1～u4是要設(shè)計(jì)的同步控制器。對(duì)于驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（2）和響應(yīng)系統(tǒng)（3），任取初始值，若使

成立，則稱系統(tǒng)（2）和系統(tǒng)（3）獲得廣義投影同步。常數(shù)α稱為比例因子。

定義系統(tǒng)（2）與系統(tǒng)（3）的同步誤差為e1=x1-αy1，e2=x2-αy2，e3=x3-αy3，e4=x4-αy4。

根據(jù)主動(dòng)控制的思想，設(shè)計(jì)控制器

可使式（4）成立。

下面證明控制器（5）能使式（4）成立。

對(duì)V求導(dǎo)，得

其中，

選擇反饋系數(shù)k=46，比例因子α=0.5，取驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（2）與響應(yīng)系統(tǒng)（3）的初始值，x=［0.1，0.01，0.2，0.1］T，y =［0.2，0.12，0.12，0.3］T，步長(zhǎng)為0.001，通過(guò)數(shù)值仿真得系統(tǒng)（2）和系統(tǒng)（3）的同步誤差曲線如圖3所示。從圖3可見，系統(tǒng)（2）和系統(tǒng)（3）達(dá)到同步狀態(tài)，表明所設(shè)計(jì)的控制器的有效性和理論推導(dǎo)的正確性。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種產(chǎn)生雙翼與四翼蝴蝶吸引子共存的超混沌系統(tǒng)。通過(guò)數(shù)值仿真，在x～y相平面得到了雙翼蝴蝶超混沌吸引子，在x～z和y～z相平面得到了四翼蝴蝶超混沌吸引子。利用主動(dòng)控制同步法，設(shè)計(jì)了非線性控制器，實(shí)現(xiàn)了該系統(tǒng)的廣義投影同步。由于該系統(tǒng)同時(shí)存在雙翼和四翼超混沌吸引子，表明了該系統(tǒng)具有更復(fù)雜、更豐富的動(dòng)力學(xué)特性，同時(shí)該系統(tǒng)又能實(shí)現(xiàn)廣義投影同步，因此，在保密通信中具有巨大的應(yīng)用價(jià)值。

［1］Liu W B，Chen G R.A New Chaotic System and Its Generation［J］.Int.J.Bifurcation and Chaos，2003，13（1）:261-267.

［2］Liu W B，Chen G R.Can a Three-dimensional Smooth Autonomous Quadratic Chaotic System Generate a Single Four-scroll Attractor［J］.Int.J.Bifur.Chaos，2004，14（4）: 1395-1403.

［3］王繁珍，齊國(guó)元，陳增強(qiáng)，等.一個(gè)四翼混沌吸引子［J］.物理學(xué)報(bào)，2007，56（6）:3137-3144.

［4］Dong E Z，Chen Z P，Chen Z Q，et al.A Novel Four-wing Chaotic Attractor Generated from a Three-dimensional Quadratic Autonomous System［J］.Chin.Phys.B，2009，18（7）:2680-2689.

［5］喬曉華，包伯成.三維四翼廣義增廣Lü系統(tǒng)［J］.物理學(xué)報(bào)，2009，58（12）:8152-8159.

［6］Wang Z H，Qi G Y，Sun Y X，et al.A New Type of Four-wing Chaotic Attractors in 3-D Quadratic Autonomous Systems［J］.Nonlinear Dynamics，2010，60（3）:443-457.

［7］陳昌川.一種多翼超混沌系統(tǒng)及其FPGA實(shí)現(xiàn)［J］.微電子學(xué)，2011，41（4）:562-566.

［8］褚衍東，湛寧，安新磊，等.一個(gè)具有四翼混沌吸引子的新系統(tǒng)及其參數(shù)辨識(shí)［J］.蘭州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012，48（2）:136-140.

［9］屈雙惠，容旭巍，吳淑花，等.一個(gè)四翼超混沌系統(tǒng)的電路實(shí)現(xiàn)及其同步控制［J］.華中師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013，47（2）:189-194.

［10］余飛，王春華，尹晉文，等.一個(gè)具有完全四翼形式的四維混沌［J］.物理學(xué)報(bào)，2012，61（2）:020506.

［11］黃沄，張鵬，趙衛(wèi)峰.一個(gè)新的四翼超混沌系統(tǒng)及其FPGA實(shí)現(xiàn)［J］.西南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013，35（6）: 127-130.

［12］Wang L.3-scroll and 4-scroll Chaotic Attractors Generated from A New 3-D Quadratic Autonomous System［J］.Nonlinear Dynamics，2009，56（4）:453-462.

［13］Dadras S，Momeni H R.A Novel Three-dimensional Autonomous Chaotic System Generating Two，Three and Four-scroll Attractors［J］.Phys.Lett.A，2009，373（40）: 3637-3642.

［14］Dadras S，Momeni H R.Generating One-，Two-，Threeand Four-scroll Attractors from a Novel Four-dimensional Smooth Autonomous Chaotic System［J］.Chin.Phys.B，2010，19（6）:60-62.

A New Hyper-chaotic System Generating Two-wing and Four-wing Butterfly Attractors Simultaneously

CONG Ji-cheng，GAO Gang-ling
（Huanghuai University，Zhumadian 463000，China）

Considering the issue of the four-wing hyper-chaotic system cannot produce two-wing and four-wing hyper-chaotic attractors simultaneously when the parameters of the system are fixed，a novel hyper-chaotic system is presented，in which the two-winged and four-winged attractors can coexist in this paper.Through the study of the equilibrium points，the Lyapunov exponent spectrums and bifurcation diagrams，itshowsthedynamiccharacteristicsofthehyper-chaoticsystem. Furthermore，with an active control method，the proper nonlinear feedback controllers are designed to achieve the generalized projective synchronization of the hyper-chaotic system.

hyper-chaotic，two-wing butterfly chaotic attractors，four-wing butterfly chaotic attractors，generalized projective synchronization

TP391

A

1002-0640（2015）09-0085-03

2014-08-25

2014-09-27

河南省教育廳科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)基金資助項(xiàng)目（13A520786）

從繼成（1979- ），男，河南駐馬店人，碩士，實(shí)驗(yàn)師。研究方向：計(jì)算機(jī)應(yīng)用。