王騎虎(1.北京工業(yè)大學(xué) 城市與工程安全減災(zāi)省部共建教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100022;2.甘肅省交通規(guī)劃勘察設(shè)計(jì)院有限責(zé)任公司，甘肅 蘭州 730030)

礦業(yè)縱橫

巖土材料破壞準(zhǔn)則基本特性分析

王騎虎1，2
(1.北京工業(yè)大學(xué) 城市與工程安全減災(zāi)省部共建教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100022;2.甘肅省交通規(guī)劃勘察設(shè)計(jì)院有限責(zé)任公司，甘肅 蘭州 730030)

破壞準(zhǔn)則是把基于指定應(yīng)力路徑或試驗(yàn)條件下得到土的強(qiáng)度特性推廣至一般應(yīng)力條件，其是否具有廣泛適用性值得探討。基于數(shù)值分析，探討了多種屈服準(zhǔn)則反映一般情況下土體強(qiáng)度特性的能力，并依據(jù)反映中主應(yīng)力影響的特性對屈服準(zhǔn)則進(jìn)行了分類。分析表明，廣義Mises準(zhǔn)則、形變能破壞準(zhǔn)則和Bishop準(zhǔn)則均不能合理地反映中主應(yīng)力的放大效應(yīng)和區(qū)間效應(yīng)，而SMP準(zhǔn)則和Lade-Duncan單參數(shù)破壞準(zhǔn)則可有效地反映這種影響，故建議有限元軟件中采用后者進(jìn)行土工數(shù)值分析。

破壞準(zhǔn)則；中主應(yīng)力；內(nèi)摩擦角；廣義Mises準(zhǔn)則；SMP準(zhǔn)則；Lade-Duncan準(zhǔn)則

由于試驗(yàn)儀器或認(rèn)識水平的限制，人們往往利用常規(guī)三軸儀器通過指定的應(yīng)力路徑(σ2=σ3)考察土的強(qiáng)度特性。并通過數(shù)學(xué)模型，把這種特定條件下得到的試驗(yàn)結(jié)果推廣到一般情況。這種數(shù)學(xué)模型可稱為本構(gòu)模型或者屈服與破壞準(zhǔn)則。

依據(jù)特定試驗(yàn)條件下得到的破壞準(zhǔn)則，其能否正確反映一般情況下土體的變形與強(qiáng)度特性，是值得探討的問題。一般地，可以通過中主應(yīng)力變化來考察一般應(yīng)力狀態(tài)(σ1≠σ2≠σ3)與三軸壓縮狀態(tài)(σ1≠σ2=σ3)間土體強(qiáng)度的相互關(guān)系[1-3]。方開澤根據(jù)多種破壞準(zhǔn)則，通過分析考察了在考慮中主應(yīng)力系數(shù)影響時(shí)的內(nèi)摩擦角與三軸壓縮試驗(yàn)所得內(nèi)摩擦角之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系[4]。但事實(shí)上，簡單地建立考慮中主應(yīng)力系數(shù)影響時(shí)的內(nèi)摩擦角與三軸壓縮試驗(yàn)所得內(nèi)摩擦角之間的轉(zhuǎn)換公式有時(shí)候可能帶來不合理的結(jié)果[5](后文將舉例敘述)。因此，有必要通過數(shù)學(xué)手段來探討考慮中主應(yīng)力系數(shù)影響時(shí)屈服準(zhǔn)則的基本函數(shù)特性。

本文基于函數(shù)求極值的數(shù)學(xué)手段，分析探討了多種屈服準(zhǔn)則反映中主應(yīng)力影響的能力。并依據(jù)反映中主應(yīng)力影響的特性對屈服準(zhǔn)則進(jìn)行分類(見一級標(biāo)題)，為屈服準(zhǔn)則的實(shí)際應(yīng)用提供了理論指導(dǎo)。

廣義Mises準(zhǔn)則(也稱Drucker-Prager準(zhǔn)則)屬于此類特性的屈服準(zhǔn)則，該準(zhǔn)則可表示為式(1)[6]。

(1)

式中：I1、J2分別為應(yīng)力張量第一不變量和應(yīng)力偏量第二不變量；a、k是與巖土材料內(nèi)摩擦角φ和黏聚力c有關(guān)的常數(shù)。該準(zhǔn)則考慮了中主應(yīng)力σ2對屈服和破壞的影響，且屈服面在偏平面上為圓形，這有利于塑性應(yīng)變增量方向的確定和軟件編程計(jì)算，因而得到了廣泛的應(yīng)用，并編入了大型商業(yè)軟件ANSYS、ABAQUS、NASTRAN和MARC等。

根據(jù)偏平面上廣義Mises準(zhǔn)則與Mohr-Coulomb準(zhǔn)則的位置關(guān)系可以確定參數(shù)a和k的表達(dá)式。徐干成等偏平面上廣義Mises準(zhǔn)則與Mohr-Coulomb準(zhǔn)則所圍面積相等的原理提出了一種參數(shù)表達(dá)式，計(jì)算表明利用該表達(dá)式得到的塑性區(qū)與Mohr-Coulomb準(zhǔn)則的結(jié)果相當(dāng)[7]。表1列出了參數(shù)a和k的常用表達(dá)式?？梢姡瑢τ跓o黏性土c=0時(shí)有k=0。

表1 廣義Mises破壞準(zhǔn)則中常用參數(shù)表達(dá)式

基于廣義Mises準(zhǔn)則針，對無黏性土可得到考慮中主應(yīng)力影響下的內(nèi)摩擦角φb與中主應(yīng)力系數(shù)b的相互關(guān)系，見式(2)[4]。

(2)

表2 利用式(2)計(jì)算所得的不合理情況

注：DP1、DP4具體意義見表1。

由此可知，有必要從廣義Mises準(zhǔn)則的函數(shù)性質(zhì)入手，探討中主應(yīng)力系數(shù)對強(qiáng)度參數(shù)的影響。定義大、小主應(yīng)力之比t=σ1/σ3，ttc為三軸壓縮條件下(σ2=σ3)的大、小主應(yīng)力比。針對無黏性土(k=0)，式(1)可變形為式(3)。

(3)

(4)

式(3)代入式(4)，可得式(5)。

(5)

分析式(5)知，當(dāng)α=0(對應(yīng)φ0=0°)有b1=b2=0.5；當(dāng)0<α≤0.288時(shí)，方程在(0，0.5)和(0.5，1)上取得兩實(shí)數(shù)解，且當(dāng)α=0.288時(shí)，方程的解為b1=0、b2=1；當(dāng)α>0.288時(shí)，方程(5)無解。

(6)

(7)

(8)

(9)

可以證明在α<0.288條件下有關(guān)系t1>t2>ttc，且大、小主應(yīng)力比t的最大值為t1其值由式(7a)確定、最小值為b=0時(shí)由式(3)確定的ttc。進(jìn)而可以得到考慮中主應(yīng)力系數(shù)b的影響時(shí)的內(nèi)摩擦角φb的最值表達(dá)式(式(10)、式(11))。

(10)

(11)

同理可以分析α≥0.288時(shí)內(nèi)摩擦角φb的最值表達(dá)式，不再詳述。選擇參數(shù)a的表達(dá)式，利用式(10)、式(11)便可以得到考慮中主應(yīng)力系數(shù)b的影響時(shí)的內(nèi)摩擦角φb與三軸壓縮試驗(yàn)所得內(nèi)摩擦角φ0之間的相互關(guān)系。圖1～4描繪了不同參數(shù)表達(dá)式所得的φb與φ0的關(guān)系。

圖1 利用DP1類型計(jì)算所得φb與φ0關(guān)系

圖2 利用DP2類型計(jì)算所得φb與φ0關(guān)系

圖3 利用DP3類型計(jì)算所得φb與φ0關(guān)系

2 第二類：φb≥φb=0=φb=1=φ0，且僅在內(nèi)摩擦角部分范圍上成立

第二類屬于該類型的破壞準(zhǔn)則有方開澤的形變能破壞準(zhǔn)則和Bishop準(zhǔn)則等。

方開澤根據(jù)形變能原理提出了形變能破壞準(zhǔn)則，利用該準(zhǔn)則得到的φb與φ0的關(guān)系，見式(12)[4]。

(12)

圖4 利用DP4類型計(jì)算所得φb與φ0關(guān)系

圖5 利用形變能準(zhǔn)則計(jì)算所得φb與φ0關(guān)系

Bishop根據(jù)三軸壓縮與三軸拉伸試驗(yàn)結(jié)果相同，而平面應(yīng)變試驗(yàn)結(jié)果不同的概念，提出了一個(gè)修正的Mohr-Coulomb準(zhǔn)則，其表達(dá)式見式(13)。

(13)

3 第三類：φb≥φb=1=φb=0≥φ0，且內(nèi)摩擦角在范圍上均成立

日本松岡元等基于空間準(zhǔn)滑動面(SMP：Spatial Mobilization Plane)概念所提出的SMP準(zhǔn)則，屬于此類型。該準(zhǔn)則認(rèn)為當(dāng)空間滑動面上剪應(yīng)力τsmp與正應(yīng)力σsmp之比達(dá)到某一數(shù)值時(shí)土體發(fā)生剪切破壞，其表達(dá)式可寫為式(14)[10]。

=kf

(14)

當(dāng)b=0或b=1時(shí)，式(14)變形為式(15)。

(15)

研究表明[11- 12]，在平面應(yīng)變條件下基于SMP準(zhǔn)則得到的土的強(qiáng)度參數(shù)達(dá)到最大，并且如式(16)所示關(guān)系成立。

(16)

把式(16)代入式(14)得到平面應(yīng)變下的破壞條件，見式(17)。

(17)

而在三軸壓縮條件下，根據(jù)Mohr-Coulomb準(zhǔn)則，得式(18)。

(18)

由式(18)可以得到大、小主應(yīng)力比t與內(nèi)摩擦角φb的關(guān)系，見式(19)。

(19)

式(15)、式(17)和式(18) 表示不同情況下的剪正應(yīng)力比，圖6反映了它們與大、小主應(yīng)力之比t的變化關(guān)系。

一般認(rèn)為，當(dāng)土體所受的剪正應(yīng)力比達(dá)到臨界剪正應(yīng)力比時(shí)，其將要發(fā)生破壞。根據(jù)圖6可知，當(dāng)土體的臨界剪正應(yīng)力比一定時(shí)(如圖中RA點(diǎn))，由SMP準(zhǔn)則得到的大、小主應(yīng)力之比t要比Mohr-Coulomb準(zhǔn)則的結(jié)果大(圖中ta、tb比tc大)。又由式(19)可知，大、小主應(yīng)力之比t的增大會導(dǎo)致內(nèi)摩擦角φb的增大。根據(jù)圖6中的相互關(guān)系可以得到φb與φ0的關(guān)系，如圖7所示。

圖6 剪正應(yīng)力比隨t的變化關(guān)系

圖7 利用SMP準(zhǔn)則所得φb最值與φ0關(guān)系

4 第四類：φb≥φb=1≥φb=0=φ0，且內(nèi)摩擦角在范圍上均成立

該類準(zhǔn)則既能考慮中主應(yīng)力對土的抗剪強(qiáng)度的影響，又能反映三軸拉伸強(qiáng)度指標(biāo)大于三軸壓縮強(qiáng)度指標(biāo)。Lade-Duncan單參數(shù)破壞準(zhǔn)則屬于該類型，其表達(dá)式見式(20) 。

(20)

式中：I1、I3分別為第一應(yīng)力不變量和第三應(yīng)力不變量；k1是與土性有關(guān)的參數(shù)，一般由三軸壓縮試驗(yàn)測得。利用大、小主應(yīng)力比t和中主應(yīng)力系數(shù)b，可把式(20)變形為式(21)。

(21)

根據(jù)式(21)及式(19)可知，三軸壓縮條件下(b=0)測得參數(shù)k1的表達(dá)式，見式(22)。

(22)

(23)

圖8 利用Lade-Duncan準(zhǔn)則所得φb最值與φ0關(guān)系

3 結(jié) 論

2) 形變能破壞準(zhǔn)則及Bishop準(zhǔn)則可以反映中主應(yīng)力的放大效應(yīng)和區(qū)間效應(yīng)，但僅只對部分的內(nèi)摩擦角有效，且放大效應(yīng)過大。

[1] 楊愛武，杜東菊，李佐良，等.考慮中主應(yīng)力影響的吹填土結(jié)構(gòu)強(qiáng)度研究[J].水文地質(zhì)工程地質(zhì)，2013，40(2)：70-73.

[2] 龔文俊，曾立峰，孫軍杰，等.基于中主應(yīng)力修正關(guān)系的邊坡穩(wěn)定性分析[J].巖土力學(xué)，2014，35(11)：3111-3116..

[3] 肖楊，劉漢龍，陳育民.砂土中主應(yīng)力與內(nèi)摩擦角統(tǒng)一關(guān)系研究[J].巖土工程學(xué)報(bào)，2012，34(6)：1102-1108..

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Study on the basic characters of failure criterions of geotechnical material

WANG Qi-hu1，2

(1.The Key Laboratory of Urban Security and Disaster Engineering，Ministry of Education，Beijing University of Technology，Beijing 100022，China；2.Gansu Province Transportation Planning，Survey & Design Institute CO.，LTD.，Lanzhou，Gansu 730030，China)

Failure criterions are mathematical models got under given stress path or given condition of experiment，but would be used in general stress conditions.So it is worth to discuss the rationality and applicability of failure criterions.Based on numerical analysis，the strength parameter with different intermediate principle stress is comparatively analyzed.It is demonstrated that the generalized Mises criterion，deformation energy criterion and Bishop criterion can not reflect the intermediate principle stress’s effect effectively，while the SMP criterion and Lade-Duncan criterion can reflect it reasonable.Therefore，it is advised that the latter criterions can be used to analyses geotechnical problem with FEM software.

failure criterion；the intermediate principle stress；internal friction angle；generalized Mises criterion；SMP criterion；Lade-Duncan criterion

2015-02-21

甘肅省交通運(yùn)輸廳科技項(xiàng)目資助(編號：甘交科技〔2011〕39號)

王騎虎(1974- )，男，甘肅武山人，博士研究生，高級工程師，主要從事公路巖土工程勘察設(shè)計(jì)工作。 E-mail：450704725@qq.com。

TU432

A

1004-4051(2015)12-0142-05