周 平，陳 敏，高美平

(文山學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 文山 663000)

1 基本定義、引理和符號(hào)說明

定義1［1－6］若A = (aij)∈Zn可表示為A = sI－ P，其中P ≥0，s ≥ρ(P)，則稱A 為M－矩陣。特別地，當(dāng)s = ρ(P)時(shí)，稱A 為奇異M－矩陣;當(dāng)s ＞ρ(P)時(shí)，稱A 為非奇異M－矩陣。記所有n 階非奇異M－矩陣所組成的集合為Mn。

定義2［3］設(shè)A = (aij)∈Cn×n的特征值為λ1，λ2，…，λn，令 σ(A) = {λi，i = 1，2，…n }，則σ(A)叫做A 的譜;把σ(A)中模最大的，即ρ(A)= max{| λi|，i ∈N}叫做A 的譜半徑。

定義3［3，4］設(shè)A=(aij)∈Rn×n，且滿足以下條件:

③i ∈N，i J(A)，存在序列aii1，ai1i2，…，airk(i ≠i1，i1≠i2，…，ir≠k，k ∈J(A))為非零元，那么稱A 是弱鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣。

定義4［3］設(shè)A = (aij)∈Rn×n，任取i，j ∈N，i ≠j，有aij≤0，aii＞0 ，則稱A 為L－矩陣。

設(shè)A = (aij)∈Zn×n，非空指標(biāo)集合β(k)N，定義A［β(k)］為行數(shù)和列數(shù)都是β(k)的A 的子矩陣。

定義A(k)= A［α(k)］，其中α(k)= {k +1，…n}。例如A(1)表示刪去A 的第一行第一列得到的矩陣。

引理1［4］設(shè)A = (aij)∈Rn×n是n ×n 階弱鏈對(duì)角占優(yōu)M－矩陣，則B = A(1)∈R(n－1)×(n－1)也是弱鏈對(duì)角占優(yōu)M－矩陣，且B－1= (βij)存在，βii≥0 ，(i，j = 2，3，…n)。

引理2［3，4］設(shè)A = (aij)是n × n 階弱鏈對(duì)角占優(yōu)M－矩陣，且A－1= (αij)，則

引理3［5］設(shè)A = (aij)∈Rn×n是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M－矩陣，且A－1= (αij)，則

引理4［4］設(shè)A = (aij)∈Rn×n是n ×n 階弱鏈對(duì)角占優(yōu)M－矩陣，B = A(1)∈R(n－1)×(n－1)，A－1=(αij)，B－1= (βij)，則

下面對(duì)文中用到的符號(hào)作以下說明:

記N = {1，2，…，n }，Cn×n(Rn×n)表示所有n× n 階復(fù)(實(shí))矩陣構(gòu)成的集合，Zn≡{A = (aij)∈Rn×n:aij≤0，i ≠j，i ∈N}。

2 ‖A－1‖∞的上界和τ(A)的下界估計(jì)式

定理1 設(shè)A = (aij)∈Rn×n是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M－ 矩陣，B = A(1)，A－1= (αij)∈Rn×n，B－1= (βij)∈R(n－1)×(n－1)，則

應(yīng)用引理1 ，引理2 ，引理3 和(6)式，得

當(dāng)2 ≤i ≤n 時(shí)，應(yīng)用(2)式和(5)式，得

則

由(8)式和(9)式，得

同理，根據(jù)上述定理和文獻(xiàn)［4］中的定理1 以及A(k)的定義，應(yīng)用迭代法便得到下面的結(jié)果，其中d1= w1，wn= 0 ，pn= 1 。

定理2 設(shè)A = (aij)∈Rn×n是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M－ 矩陣，則

推論1 假設(shè)A = (aij)∈Rn×n是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M－矩陣，則

證明:根據(jù)文獻(xiàn)［5］中引理2.6 和定理2.3 知Tj1≤p1，j ≠1，

故上述結(jié)論成立。

由此推論知，本文給出的定理2 改進(jìn)了文獻(xiàn)［1，2，4］的估計(jì)式。

［1］ PN Shivakumar，JJ Willians，Q Ye，et al.On two－sided bounds related to weakly diagonally dominant M－matrices with application to digital dynamics［J］.SIAM J Matrix Analisis Applications，1996，17(2):298－312.

［2］王亞強(qiáng)，李耀堂，孫小軍.An new lower bound for‖A－1‖∞of strictly diagonally dominant M－matrices［J］. 山東大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)，2010，45(4):43－47.

［3］陳公寧. 矩陣?yán)碚撆c應(yīng)用［M］. 北京:科學(xué)出版社，2007:53－109.

［4］TZ Huang，Y Zhu.Estimation of‖A－1‖∞for weakly chained diagonally dominant M－matrices［J］.Linear Algebra and its applications，2010，432(5):670－677.

［5］FB Chen.Some new inequalities for the Hadamard product of M－matrices［J］.Journal of Inequalities and Applications，2013，581(3):1186－1195.

［6］周平.M－矩陣與其逆的Hadamard 積的最小特征值下界的新估計(jì)［J］. 洛陽理工學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013，24(1):45－50.