呂 彪， 劉海旭， 蒲 云，， 王恪銘， 郭 茜

(1. 西南交通大學峨眉校區(qū)，四川 峨眉山614202;2. 西南交通大學交通運輸與物流學院，四川 成都610031)

城市道路交通系統(tǒng)受交通事故、惡劣氣候條件等隨機事件影響，引起需求的隨機波動和路段通行能力的隨機退化［1］，導致出行時間的不確定性. 目前，關(guān)于隨機路網(wǎng)環(huán)境下交通分配問題的研究已引起研究者的廣泛興趣.文獻［2］假定出行者以行程質(zhì)量作為路徑選擇依據(jù)，建立了路段通行能力隨機變化情況下基于行程質(zhì)量的隨機用戶均衡模型.文獻［3］提出了基于出行時間預算(travel time budget，TTB)的用戶均衡模型，TTB 定義為在一定可靠度下，出行者完成出行需要預算的最短出行時間，可表述為路徑期望出行時間與緩沖時間之和.文獻［4］假定出行者以超預算期望出行時間(mean-excess travel time，METT)作為擇路依據(jù)，建立了隨機需求條件下的超預算期望交通均衡(mean-excess traffic equilibrium)模型. METT 定義為出行時間超過TTB 條件下的數(shù)學期望.文獻［5-6］對文獻［4］進行了擴展，同時考慮了需求與路段通行能力的隨機變化，但忽視了路網(wǎng)拓撲關(guān)系對配流的影響.

上述研究工作［2-6］是基于期望效用理論(expected utility theory，EUT)或隨機效用理論(random utility theory，RUT)，假定出行者的路徑選擇行為完全理性. 已有研究表明，在隨機路網(wǎng)環(huán)境下，出行者的擇路行為并非完全理性，而是存在明顯的參考點依賴，呈現(xiàn)有限理性特征，符合累積前景理論(cumulative prospect theory，CPT)的決策框架［7-12］.

在基于CPT 的用戶均衡問題研究中，參考點選擇是關(guān)鍵問題. 在已有研究中，將參考點分為內(nèi)生和外生兩類.外生參考點通常是一個固定值，而內(nèi)生參考點是一個變量，取決于網(wǎng)絡狀態(tài)［9］. 由于參考點的選擇受決策情景、出行者性格特征等因素的影響，具有內(nèi)生性，因此，選擇內(nèi)生參考點比較合理［10］.文獻［10-11］將TTB 作為參考點，描述出行者對可靠性的關(guān)注. 文獻［9］將METT 作為參考點，反映了出行者對出行可靠性和不可靠性兩方面的關(guān)注.

已有的基于CPT 的用戶均衡模型，一般都假定路網(wǎng)中的出行者是同質(zhì)的，具有相同風險取向，基于某種單一準則設置參考點，這與現(xiàn)實情況不符.已有研究表明，在隨機路網(wǎng)環(huán)境下，面對出行時間的隨機波動，出行者的風險取向存在明顯差異，路徑選擇行為也存在明顯差異［13］.為簡化問題，已有研究大多忽視了出行時間隨機變化的具體致因，僅通過主觀假定路段或路徑出行時間的變異系數(shù)來反映其不確定程度［9，11］，或是僅考慮了供需條件某單一方面的隨機變化［10-12］，在此條件下得到的網(wǎng)絡均衡狀態(tài)與實際情況存在較大偏差.

基于上述分析，本文對已有研究在下述兩方面進行擴展:

(1)考慮用戶異質(zhì)性，按風險取向不同將出行者分為4 種類型，分別以可靠度低于50%的出行時間預算、期望出行時間、可靠度高于50%的出行時間預算及超預算期望出行時間作為選擇路徑的內(nèi)生參考點.

(2)同時考慮需求與路段通行能力兩方面的隨機變化，調(diào)整不符合實際的假設，明確考慮出行者對出行時間的估計誤差及路網(wǎng)拓撲關(guān)系等影響配流的重要因素，建立更符合現(xiàn)實條件的配流模型.

1 隨機供需條件下的流量與出行時間

1.1 隨機需求條件下的交通流量

考慮交通網(wǎng)絡G =(N，A)，N 表示節(jié)點集合，A 表示路段集合，用W 表示OD(origin-destination)對集合，Rw表示OD 對w 的路徑集合，w∈W.

假定由于各種隨機事件影響，需求隨機波動.令Qw表示OD 對w 的需求量，服從某種概率分布.由于假定需求為隨機變量，因此，路徑流量和路段流量也是隨機變量. 根據(jù)需求量、路段流量及路徑流量之間關(guān)系，可得:

式中:Fw，k為OD 對w 路徑k 的流量(隨機變量);

Va為路段a 的流量(隨機變量);

δwak為0-1 變量，如果OD 對w 的路徑k 使用路段a，δwak=1，否則δwak=0.

設qw、fw，k和va分別表示Qw、Fw，k和Va的均值，根據(jù)式(1)～(3)，可得:

式中:E(·)為期望值算子.

為便于計算，假設［4］:

(1)路徑流量與OD 需求服從相同的概率分布;

(2)路徑流量的方差-均值比(variance-tomean rate，VMR)與對應OD 需求的方差-均值比相同.

令εQw和εFw，k分別表示Qw和Fw，k的方差，根據(jù)假定(1)和(2)可得:

式中:var(·)表示方差算子;

rVMR，w=εQw/qw表示OD 對w 需求量的方差-均值比.

令εVa表示Va的方差，根據(jù)式(3)和(7)，可得:

式中:cov(Fw，k，F(xiàn)w，j)為Fw，k與Fw，j的協(xié)方差;

ρw，k，j為Fw，k與Fw，j的相關(guān)系數(shù).

特別地，若假定路徑流量相互獨立，則εVa可簡化為

假定Qw服從參數(shù)為μQw和σQw的對數(shù)正態(tài)分布，則根據(jù)對數(shù)正態(tài)分布的性質(zhì)，Qw的分布參數(shù)可根據(jù)其均值和方差進行如下估計:

當需求服從對數(shù)正態(tài)分布時，根據(jù)前述假設，可知路徑流量也服從對數(shù)正態(tài)分布. 令μFw，k和σFw，k表示Fw，k的對數(shù)正態(tài)分布參數(shù)，可得:

由于路徑流量服從對數(shù)正態(tài)分布，而路段流量由路徑流量疊加而成. 因此，根據(jù)文獻［14］可知，對數(shù)正態(tài)隨機變量之和近似服從對數(shù)正態(tài)分布，因此路段流量同樣近似服從對數(shù)正態(tài)分布. 令μVa和σVa表示Va的對數(shù)正態(tài)分布參數(shù)，可得:

1.2 隨機供需條件下的出行時間

假定路段出行時間用如下BPR(bureau of public roads)函數(shù)描述:

式中:Ta為路段a 的出行時間(隨機變量);

t0，a為路段a 的自由流出行時間;

Ca為路段a 的通行能力，是隨機變量;

n0和n 為BPR 函數(shù)參數(shù).

造成需求波動和路段通行能力退化的原因一般不同，因此，與相似問題的研究［1］相同，假定Va與Ca相互獨立.令ta和εTa分別表示Ta的均值和方差，根據(jù)式(16)有:

從式(17)～(19)可知，要計算ta和εTa，需先計算E(Vna)、E(V2na)、E(1/Cna)及E(1/C2na). 由于Va服從對數(shù)正態(tài)分布，可得:

由于缺乏實測數(shù)據(jù)，與相似問題的研究［1，3］相同，假定Ca服從上界為設計通行能力cmax，a、下界為最低通行能力κacmax，a(κa表示能力退化系數(shù)，其值越小表示能力退化程度越高)的均勻分布.在此假定下，可得［1，3］:

根據(jù)式(17)～(23)，可得:

令Tw，k表示OD 對w 路徑k 的出行時間.根據(jù)路段-路徑關(guān)聯(lián)關(guān)系可得:

在已有研究［1-4］中，一般假定路段的出行時間相互獨立，然而在實際中，由于路網(wǎng)拓撲關(guān)系，路段之間往往相互影響，各路段出行時間是相互關(guān)聯(lián)的.

根據(jù)式(26)，Tw，k的均值tw，k和方差εTw，k可表示為

式中:cov(Ta，Tb)為Ta與Tb之間的協(xié)方差;

ρa，b表示Ta與Tb間的相關(guān)系數(shù).

為方便計算，假定Tw，k服從正態(tài)分布，即

Tw，k的概率密度函數(shù)可表示為

令ηw，k(ω)表示可靠度為ω 時的超預算期望出行時間，根據(jù)式(30)和文獻［4］可得:

式中:ξw，k(ω)為可靠度ω 下的出行時間預算［1，3］，

將式(32)代入式(31)可得:

2 基于CPT 的隨機用戶均衡模型

2.1 累積前景理論決策體系

累積前景理論決策體系包括價值函數(shù)、決策權(quán)重函數(shù)及前景值計算公式［7-12］. 根據(jù)累積前景理論，出行者選擇路徑的依據(jù)是路徑前景，而前景值的計算依賴于價值函數(shù)與決策權(quán)重函數(shù). 因此，要完成上述決策，首先要確定選擇路徑的參考點.

2.1.1 參考點選擇

參考點是衡量收益或損失的尺度，參考點不同，路徑前景以及網(wǎng)絡均衡流量的分布形態(tài)也不同.不失一般性，假定路網(wǎng)中存在4 類出行者.令出行者類型集合M ={1，2，3，4}. 其中，第1 類出行者對風險持偏好態(tài)度，以可靠度低于50%的出行時間預算作為擇路參考點;第2 類出行者對風險持中立態(tài)度，以期望出行時間作為擇路參考點;第3類出行者對風險持保守態(tài)度，但僅考慮出行的可靠性，不考慮出行的不可靠性，以可靠度高于50%的出行時間預算作為擇路參考點;第4 類出行者對風險持非常保守的態(tài)度，同時考慮出行的可靠性和不可靠性，以超預算期望出行時間作為擇路參考點.

基于上述分析，各類出行者的參考點可分別由以下各式確定:

式中:χ1，w、χ2，w、χ3，w、χ4，w分別為第1 ～4 類出行者選擇OD 對w 路徑時的參考點;

ω1、ω3、ω4分別為第1、3、4 類出行者的可靠度需求.

2.1.2 價值函數(shù)

價值函數(shù)描述根據(jù)路徑實際效用形成的主觀效用，衡量偏離參考點的價值，即收益或損失.根據(jù)累積前景理論，價值函數(shù)可表示為

式中:φm，w(Tw，k)為第m 類出行者選擇OD 對w 路徑k 時的價值函數(shù).

α 和β(0 ＜α，β≤1)均為風險敏感系數(shù)，值越大表示越敏感，其中，α 表示收益敏感系數(shù)，β 表示損失敏感系數(shù);

λ(λ≥1)為損失規(guī)避系數(shù)，λ 越大表示決策者對損失比對相同收益的敏感程度越強.

當Tw，k低于χm，w時，對出行者意味著收益，而當Tw，k＞χm，w時，對出行者而言意味著損失.

2.1.3 決策權(quán)重函數(shù)

決策權(quán)重函數(shù)描述了出行者根據(jù)路徑效用實際發(fā)生概率形成的主觀發(fā)生概率.一個典型的決策權(quán)重函數(shù)如下:

式中:p 和w(p)分別為實際概率和感知概率;

γ 為感知概率系數(shù)，參數(shù)γ 的取值范圍為0 ＜γ≤1，γ 越小表明決策者對小概率事件的重視程度越高.

2.1.4 前景值計算

若已知Tw，k的分布，可根據(jù)價值函數(shù)和決策權(quán)重函數(shù)計算選擇某條路徑出行時的前景，

式中:um，w，k為第m 類出行者選擇OD 對w 路徑k出行時的前景;

ψw，k(·)為Tw，k的累積分布函數(shù);

tsup，w，k和tinf，w，k分別為Tw，k取值的上下限.

2.2 基于CPT 的隨機用戶均衡模型

在實際路網(wǎng)中，出行者很難完全掌握出行時間的分布規(guī)律，從而可能導致對前景值的估計存在偏差.基于此，將出行者理解的路徑前景值視為隨機變量，由實際觀測值和隨機誤差項兩部分構(gòu)成，可表述如下［15］:

式中:Um，w，k為第m 類出行者對OD 對w 路徑k 的理解前景值(隨機變量);

ζw，k為出行者對OD 對w 路徑k 前景值的估計誤差.

若假定ζw，k為獨立同分布的Gumbel 變量，且均值為0，則第m 類出行者選擇OD 對w 路徑k 的概率［15］為

式中:θ 為估計誤差參數(shù)，其大小與出行者對前景值的估計誤差成反比.

假定出行者以估計路徑前景值作為選擇路徑的依據(jù).在擇路過程中，出行者試圖尋找估計前景值最大的路徑出行，當出行者無法通過單方面改變路徑而提高估計路徑前景時，稱網(wǎng)絡達到了基于累積前景理論的隨機用戶均衡(cumulative prospect theory-based stochastic user equilibrium，CPT-SUE)狀態(tài).

根據(jù)隨機用戶均衡原理，CPT-SUE 模型的均衡條件［15］可表示為:

式中:qm，w為OD 對w 第m 類出行者的需求量;

fm，w，k為OD 對w 路徑k 上第m 類出行者的流量.

式(43)表示的均衡條件可用下述等價的變分不等式模型描述.

式中:帶上標* 的量為變分不等式的解;

sm，w為第m 類出行者選擇OD 對w 路徑出行時的期望最大估計前景值［15］，

Ω 由下式確定，

令f 表示由{fm，w，k，m∈M，k∈Rw，w∈W}組成的列向量，v(f)表示由組成的列向量. 由于v(f)關(guān)于f 連續(xù)，且可行集Ω 為有界閉凸集，根據(jù)文獻［16］的推論2.2.6，式(44)和(46)表示的變分不等式至少存在一個解. 但因無法確保v(f)的單調(diào)性，因此，解的唯一性無法保證. 式(44)和(46)表示的變分不等式可使用相繼平均法［15］(method of successive average)求解，算法步驟從略.

3 算例分析

測試網(wǎng)絡為圖1 所示的Nguyen and Dupuis 網(wǎng)絡.該網(wǎng)絡由4 個OD 對、13 個節(jié)點、19 條路段以及25 條路徑組成. 路段上所標數(shù)字表示路段編號(自由流出行時間、設計通行能力).

在缺乏實測數(shù)據(jù)情況下，不失一般性和合理性，測試參數(shù)設置如下:

tinf，w，k取路徑自由流出行時間，即

tsup，w，k取可靠度為99.999%時的出行時間預算值.為便于比較，令ω1=40%，ω3=ω4=85%.

圖1 Nguyen and Dupuis 測試網(wǎng)絡Fig.1 Nguyen and Dupuis network

假定存在共用路段的路徑之間流量相關(guān)系數(shù)為0.25，否則為0;假定存在鄰接關(guān)系的路段之間的時間相關(guān)系數(shù)為0.25，否則為0.

將qm，w表示如下:

式中:?m為第m 類出行者需求占總需求的比例，令?1=?2=?3=?4=0.25，∑m∈M?m= 1;

qw為OD 對w 的總需求，令

q12=1 200 輛/h， q13=1 500 輛/h，

q42=1 000 輛/h， q43=800 輛/h.

限于篇幅，僅給出OD 對(1，3)上的結(jié)果. OD對(1，3)包含6 條路徑，路徑1 ～6 可分別用路段序列表示為:

2→17→7→10→16; 2→17→8→14→16;

1→5→7→10→16; 1→5→8→14→16;

1→6→13→19; 1→6→12→14→16.

表1 為測試網(wǎng)絡的配流結(jié)果.根據(jù)表1 數(shù)據(jù)容易驗證，對路網(wǎng)中每類出行者，其路徑流量滿足式(43)確定的均衡條件，表明配流結(jié)果正確有效.由于不同類型出行者選擇路徑的參考點不同，因此，對同一路徑具有不同的出行前景和不同的選擇概率.此外，從表2 中還可以發(fā)現(xiàn)，由于存在估計誤差，使用的路徑前景值并不相等.

圖2 比較了CPT-SUE 模型與傳統(tǒng)SUE 模型(假定出行者完全理性，分別以可靠度低于50%的出行時間預算、期望出行時間、可靠度高于50%的出行時間預算以及超預算期望出行時間作為選擇路徑的依據(jù))的配流結(jié)果，從圖2 可見，二者產(chǎn)生的均衡路徑流量存在較大差異. 實證研究表明，在隨機路網(wǎng)環(huán)境下出行者的擇路行為呈有限理性，存在參考點依賴，用CPT-SUE 模型配流更符合實際，表明基于完全理性擇路行為假設的用戶均衡模型產(chǎn)生的配流結(jié)果與實際情況存在較大偏差.

表1 OD 對(1，3)上的配流結(jié)果Tab.1 Traffic assignment results for OD pair (1，3)

表2 參數(shù)α、β、λ 和γ 對均衡路徑流量的影響Tab.2 Effects of parameters α，λ，β and γ on equilibrium route flows輛/h

圖2 CPT-SUE 與傳統(tǒng)SUE 的配流結(jié)果比較Fig.2 Comparisons of assignment results from the CPT-SUE model and the conventional SUE model

表2 給出了參數(shù)α、β、λ、γ 對配流結(jié)果的影響.從表2 數(shù)據(jù)可以看出，使用不同的參數(shù)值，將產(chǎn)生不同的均衡路徑流量分布;同時，還可觀察發(fā)現(xiàn)，參數(shù)取值變化對不同類型出行者的影響程度不同.

圖3 ～6 給出4 類出行者因參數(shù)α、β、λ、γ 不同引起的路徑前景值變化.

圖3 參數(shù)α 對路徑前景的影響Fig.3 Effects of parameter α on route prospects

從圖3 可見，隨著參數(shù)α 值的增大，所有類型出行者的路徑前景均呈增大趨勢，但第3、4 類出行者的變化比第1、2 類出行者更顯著. 原因是α 取值越大，價值函數(shù)在收益區(qū)域(出行時間低于參考點區(qū)域)的邊際敏感性遞減程度越小，當出行時間低于參考點時，出行者可能獲得更大收益;第1、2類出行者的參考點取值較小，使其獲得收益的概率相對較小，而第3、4 類出行者參考點取值較大，使其獲得收益的可能性相對較大.上述兩方面原因產(chǎn)生了圖3 所示結(jié)果.

從圖4 可以看出，隨著參數(shù)β 取值增大，所有類型出行者的路徑前景均呈減小趨勢，但第1、2 類出行者的變化比第3、4 類出行者更顯著.原因是β取值越大，價值函數(shù)在損失區(qū)域(出行時間高于參考點區(qū)域)的邊際敏感性遞減程度越小，當出行時間高于參考點時出行者可能遭受更大的損失;同時，第1、2 類出行者的參考點取值較小，使其遭受損失的概率相對較高，而第3、4 類出行者參考點取值較大，使其遭受損失的概率相對較小. 上述兩方面原因?qū)е聢D4 所示結(jié)果.

圖5 參數(shù)λ 對路徑前景的影響Fig.5 Effects of parameter λ on route prospects

圖6 參數(shù)γ 對路徑前景的影響Fig.6 Effects of parameter γ on route prospects

從圖5 可知，隨著參數(shù)λ 取值增大，所有類型出行者的路徑前景均呈減小趨勢，但第1、2 類出行者的變化比第3、4 類出行者更顯著.這是因為λ 取值越大表示出行者越重視損失，路徑前景中損失部分所占比重會加大;同時，第1、2 類出行者的參考點取值較小，使其遭受損失的概率相對較高，而第3、4 類出行者參考點取值較大，使其遭受損失的概率相對較小.上述兩方面原因?qū)е聢D5 所示結(jié)果.

從圖6 可知，隨著參數(shù)γ 取值增大，第1、2 類出行者的路徑前景呈減小趨勢，而第3、4 類出行者的路徑前景呈增大趨勢. 這是因為γ 取值越大，表示出行者越重視大概率事件而忽視小概率事件，會增大大概率事件的決策權(quán)重而減少小概率事件的決策權(quán)重.第1、2 類出行者的參考點取值較小，出行者遭受損失屬于大概率事件，而第3、4 類參考點取值較大，出行者獲得收益屬于大概率事件.因此，γ 取值越大，第1、2 類出行者損失部分的決策權(quán)重會增加，而第3、4 類出行者收益部分的決策權(quán)重會增大.上述兩方面原因?qū)е聢D6 所示結(jié)果.

由表2 和圖3 ～6 可知，隨著參數(shù)α、β、λ、γ 取值的變化，不同類型出行者的路徑前景與均衡路徑流量將發(fā)生不同變化，表明在交通分配中考慮出行者擇路行為的有限理性和風險取向的差異性非常必要.

必須指出的是，本文得出的參數(shù)α、β、λ、γ 對配流的影響規(guī)律是基于特定參數(shù)設置和網(wǎng)絡環(huán)境，并不一定具有普適性.

4 結(jié)束語

根據(jù)出行者擇路行為的有限理性和風險取向差異性，建立了CPT-SUE 模型.算例結(jié)果表明:

(1)CPT-SUE 模型和基于完全理性擇路行為假設的配流模型產(chǎn)生的均衡路徑流量存在明顯差異.實證研究表明，在隨機路網(wǎng)環(huán)境下出行者擇路行為呈有限理性，因此，使用CPT-SUE 模型配流更符合實際，基于完全理性擇路行為假設的配流模型產(chǎn)生的結(jié)果可能與實際情況存在較大偏差.

(2)累積前景理論參數(shù)設置對配流具有重要影響.隨著參數(shù)α 取值增大，所有類型出行者的路徑前景均呈增大趨勢，但第3、4 類出行者比第1、2類出行者的變化更顯著;隨著參數(shù)β 和λ 取值增大，所有類型出行者的路徑前景均呈減少趨勢，但第1、2 類出行者比第3、4 類出行者變化更顯著;隨著參數(shù)γ 取值增大，第1、2 類出行者的路徑前景呈減小趨勢，而第3、4 類出行者的路徑前景呈增大趨勢.研究表明，在交通分配中考慮出行者擇路行為的有限理性和風險取向差異性是非常必要的.

(3)需要指出的是，前景理論并非完全成熟的理論，不能完全取代期望效用理論或隨機效用理論.首先，應用前景理論研究交通配流問題需要考慮是否適合所處的交通環(huán)境，一般說來，當出行者面臨的出行環(huán)境具有較大不確定性時，運用前景理論進行配流比較合理. 其次，前景理論的參數(shù)取值和參考點選取均依賴調(diào)查或?qū)嶒灁?shù)據(jù)支撐，根據(jù)決策環(huán)境合理確定參數(shù)α、β、λ 和γ 的取值，是下一步深入研究的問題.

［1］ SIU B W Y，LO H K. Doubly uncertain transportation network: degradablecapacityandstochastic demand［J］. European Journal of Operational Research，2008，191(1):166-181.

［2］ 劉海旭，蒲云. 基于行程質(zhì)量的隨機用戶平衡分配模型［J］. 中國公路學報，2004，17(4):93-95，118.LIU Haixu，PU Yun. Stochastic user equilibrium assignment model based on travel trait［J］. China Journal of Highway and Transport，2004，17(4):93-95，118.

［3］ LO H K，LUO X W，SIU B W Y. Degradable transport network: travel time budget of travelers with heterogeneousriskaversion［J］.Transportation Research Part B，2006，40(9):792-806.

［4］ CHEN A，ZHOU Z. The α-reliable mean-excess traffic equilibrium model with stochastic travel times［J］.Transportation Research Part B，2010，44(4):493-513.

［5］ 呂彪，蒲云，劉海旭. 供需不確定條件下的預算-超額用戶平衡模型［J］. 中國公路學報，2012，25(2):113-120.Lü Biao，PU Yun，LIU Haixu. Budget-excess user equilibrium model under uncertain supply and uncertain demand［J］. China Journal of Highway and Transport，2012，25(2):113-120.

［6］ 呂彪，蒲云，劉海旭. 多用戶類型彈性需求隨機期望-超額用戶平衡模型［J］. 西南交通大學學報，2012，47(3):516-525.Lü Biao，PU Yun，LIU Haixu. Stochastic mean-excess user equilibrium model with multiple classes and elastic demand［J］. Journal of Southwest Jiaotong University，2012，47(3):516-525.

［7］ AVINERI E，PRASHKER J N. Sensitivity to travel time variability: travelers'learningperspective［J］.Transportation Research Part C，2005，13(2):157-183.

［8］ CONNORS R D，SUMALEE A. A network equilibrium model with travelers' perception of stochastic travel times［J］. Transportation Research Part B，2009，43(6):614-624.

［9］ 王偉，孫會君. 基于內(nèi)生參考點的交通網(wǎng)絡均衡模型［J］. 應用數(shù)學和力學，2013，34(2):190-198.WANG Wei，SUN Huijun. Traffic network equilibrium model based on endogenous reference point［J］.Applied Mathematics Mechanics，2013，34(2):190-198.

［10］ XU H L，LOU Y Y，YIN Y F，et al. A prospectbased user equilibrium model with endogenous reference points and its application in congestion pricing［J］. Transportation Research Part B，2011，45(2):311-328.

［11］ 張波，雋志才，林徐勛. 基于累積前景理論的隨機用戶均衡交通分配模型［J］. 西南交通大學學報，2011，46(5):868-874.ZHANG Bo，JUAN Zhicai，LIN Xuxun. Stochastic user equilibrium model based on cumulative prospect［J］. Journal of Southwest Jiaotong University，2011，46(5):868-874.

［12］ 王倩，周晶，徐薇. 基于累積前景理論考慮路網(wǎng)通行能力退化的用戶均衡模型［J］. 系統(tǒng)工程:理論與實踐，2013，33(6):1563-1569.WANG Qian， ZHOU Jing， XU Wei. A user equilibrium model based on the cumulative prospect theory for a degradable transport network［J］. Systems Engineering:Theory and Practice，2013，33 (6):1563-1569.

［13］ 史峰，羅端高. 降級路網(wǎng)的多類用戶均衡分配模型及求解算法［J］. 交通運輸系統(tǒng)工程與信息，2008，8(4):70-76.SHI Feng， LUO Duangao. Model and solution algorithm for multiclass user equilibrium assignment problem in a degradable road network［J］. Journal of Transportation Systems Engineering and Information Technology，2008，8(4):70-76.

［14］ FENTON L F. The sum of log-normal probability distributions in scatter transmission systems［J］. IEEE Transactions on Communications Systems， 1960，8(1):57-67.

［15］ 黃海軍. 城市交通網(wǎng)絡平衡分析:理論與實踐［M］.北京:人民交通出版社，1994:179-248.

［16］ FACCHINEI F，PANG J S. Finite-dimensional variational inequalities and complementarity problems［M］. New York:Springer，2003:145-154.