蔣春容,張津楊,董曉霄,張小蓮
(1.南京工程學(xué)院,南京211167;2.東南大學(xué),南京210096)
超聲波電動機(jī)定子與動子之間的接觸摩擦耦合是電機(jī)能量輸出的關(guān)鍵,因此,建立定子與動子的接觸模型,對超聲波電動機(jī)的設(shè)計(jì)、優(yōu)化乃至控制都具有重要作用。目前,國內(nèi)外已有許多學(xué)者對超聲波電動機(jī)接觸模型進(jìn)行研究。劉錦波等[1]采用解析法建立了環(huán)形行波超聲波電動機(jī)摩擦傳動模型,在該模型中,忽略了定轉(zhuǎn)子接觸界面上的粘滑分布,簡化地認(rèn)為接觸界面上僅存在滑動分布情況。Storck等[2]采用解析法建立行波超聲波電動機(jī)定轉(zhuǎn)子粘彈性接觸模型,指出摩擦材料的切向彈性變形既是定轉(zhuǎn)子接觸粘滯區(qū)形成的原因,也是影響摩擦損耗和電機(jī)效率的重要因素。曲建俊等[3]同樣基于解析法建立了粘彈性接觸模型,對摩擦材料粘結(jié)在定子表面上的接觸模型進(jìn)行了有益探索??紤]到接觸的非線性,采用解析法建立超聲波電動機(jī)的接觸模型時,往往需要進(jìn)行一定的簡化,如忽略定子齒槽,將定子表面看成是連續(xù)的表面等。除了采用解析法,研究學(xué)者還提出了基于有限元法的超聲波電動機(jī)接觸模型。Maeno 等人[4-5]用有限元法研究了環(huán)形行波超聲波電動機(jī)定轉(zhuǎn)子的接觸模型,計(jì)算了定子和轉(zhuǎn)子接觸表面質(zhì)點(diǎn)的切向和法向的位移及速度,得到了電機(jī)的輸出特性,同時指出接觸區(qū)內(nèi)存在復(fù)雜的粘滑分布。周盛強(qiáng)等[6]用ANSYS 軟件的三維點(diǎn)點(diǎn)接觸單元,對旋轉(zhuǎn)行波超聲波電動機(jī)定轉(zhuǎn)子穩(wěn)態(tài)接觸問題建立了簡化的有限元模型,分析電機(jī)穩(wěn)定工作的某一時刻定轉(zhuǎn)子的接觸狀態(tài)。Shen等[7]建立了行波超聲波電動機(jī)簡化的二維有限元接觸模型,以分析接觸界面內(nèi)摩擦材料應(yīng)力分布及劣化情況。采用有限元法建立接觸模型時,可以考慮電機(jī)齒槽等復(fù)雜的結(jié)構(gòu),但需要較多的計(jì)算資源,當(dāng)電機(jī)結(jié)構(gòu)變化時,需要重新建立模型,因此比較費(fèi)時。Ro Jong-Suk 等[8]總結(jié)比較了多種不同的行波超聲波電動機(jī)接觸模型,將不同接觸模型的理論分析結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比,指出基于赫茲接觸理論的模型具有最高的精度。
本文基于赫茲接觸理論,建立一種無摩擦材料的中空環(huán)形行波超聲波電動機(jī)的接觸模型,分析定轉(zhuǎn)子間的法向接觸和切向力合成,進(jìn)而得到電機(jī)的性能并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。
所研究的中空環(huán)形行波超聲波電動機(jī)的結(jié)構(gòu)如圖1 所示,此電機(jī)為佳能照相機(jī)鏡頭自動調(diào)焦系統(tǒng)所使用的超聲波電動機(jī)[4]。電機(jī)的定轉(zhuǎn)子均為金屬彈性體圓環(huán),無內(nèi)部支撐結(jié)構(gòu),定轉(zhuǎn)子通過一個波浪形圓環(huán)結(jié)構(gòu)的彈簧緊壓在一起。定子一面粘接沿厚度方向極化的壓電陶瓷PZT,另一面開有齒槽,齒數(shù)為63。電機(jī)定子材料采用鋼,轉(zhuǎn)子材料為硬鋁合金。電機(jī)定轉(zhuǎn)子的截面如圖2 所示,在定子和轉(zhuǎn)子的接觸表面上,均不粘接摩擦材料,轉(zhuǎn)子通過較薄的法蘭凸緣盤結(jié)構(gòu)與定子齒接觸,保證了預(yù)壓力作用下轉(zhuǎn)子的柔性變形。
圖1 中空環(huán)形超聲波電動機(jī)的結(jié)構(gòu)
圖2 定轉(zhuǎn)子截面
由于中空超聲波電動機(jī)徑向接觸寬度比周向接觸長度小得多,因此將三維接觸問題簡化為二維接觸問題,并將定子表面看成是連續(xù)表面。定轉(zhuǎn)子接觸變形如圖3 所示,圖中,為靜止坐標(biāo)系,(x,z)為固定在定子行波波峰上的運(yùn)動坐標(biāo)系。在預(yù)壓力的作用下,轉(zhuǎn)子法蘭凸緣盤產(chǎn)生柔性變形,使定轉(zhuǎn)子在行波波峰附近接觸,一個波長內(nèi)定轉(zhuǎn)子的周向接觸長度為2L。
圖3 定轉(zhuǎn)子接觸變形
根據(jù)克?;舴虮“謇碚摚ㄗ又行詫拥膹澢胁?
式中:A,λ 和ω 分別為定子中性層彎曲振動的振幅、波長和角頻率。運(yùn)動坐標(biāo)系(x,z)和靜止坐標(biāo)系)之間有如下關(guān)系:
將式(2)代入式(1)可得在(x,z)坐標(biāo)系下的行波運(yùn)動:
定子表面質(zhì)點(diǎn)的切向速度vs(x):
式中:a 為定子中性面到定子齒面的距離。
假設(shè)轉(zhuǎn)子法蘭凸緣盤完全彈性,定子在行波波峰附近等效為一個等曲率半徑的圓柱體,其曲率半徑ρk滿足:
等效圓柱體的直徑D:
設(shè)定轉(zhuǎn)子間施加的法向預(yù)壓力為FN,則每個波長內(nèi)單位長度的平均法向力Funit:
式中:n 為定子行波的波峰數(shù),b 為定轉(zhuǎn)子徑向接觸寬度。根據(jù)赫茲接觸理論[9],一個波長內(nèi)定轉(zhuǎn)子間的周向接觸長度:
CE由下式計(jì)算得到:
式中:ν1和E1分別為定子的泊松比和彈性模量;ν2和分別為轉(zhuǎn)子的泊松比和等效彈性模量。考慮到轉(zhuǎn)子法蘭凸緣盤的柔性變形,轉(zhuǎn)子的等效彈性模量取為轉(zhuǎn)子實(shí)際彈性模量E2的10%。由式(8)可求得一個波長內(nèi)周向接觸半長度L 的大小。在接觸區(qū)域[-L,L]范圍內(nèi),赫茲接觸壓力分布滿足:
式中:P0為接觸壓力的幅值。穩(wěn)態(tài)時,由轉(zhuǎn)子法向受力平衡可得:
將式(10)代入式(11),求解可得P0:
定子上的行波運(yùn)動通過接觸摩擦傳遞給轉(zhuǎn)子,形成轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動。假設(shè)定轉(zhuǎn)子間的滑動摩擦系數(shù)為μd,在接觸區(qū)域內(nèi)法向接觸壓力作用下,合成的轉(zhuǎn)子上的切向推力FT:
式中:符號函數(shù)sgn(Δv)定義:
Δv 為接觸區(qū)內(nèi)定子表面質(zhì)點(diǎn)的切向速度vs(x)與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速vr的大小之差:
在接觸區(qū)域[0,L]范圍內(nèi),設(shè)x =x0處,Δv =0,則式(13)可化:
需要注意的是,在由Δv =0 求得x0時,若x0>L,則說明整個接觸區(qū)均為推力,式(16)計(jì)算時應(yīng)取x0=L。將式(10)代入式(16)求解可得:
式中:θ0=arcsin(x0/L)。轉(zhuǎn)子的輸出轉(zhuǎn)矩T:
式中,r 為定轉(zhuǎn)子等效接觸半徑。
中空環(huán)形行波超聲波電動機(jī)的參數(shù)如表1 所示。
表1 中空超聲波電動機(jī)的參數(shù)
定轉(zhuǎn)子周向接觸長度取決于預(yù)壓力的大小。當(dāng)定子振幅保持1 μm 不變時,不同的預(yù)壓力下,一個波長內(nèi)周向接觸半長度L 與預(yù)壓力FN的關(guān)系如圖4 所示。隨著預(yù)壓力增大,L 先迅速增加,而后增加速度趨緩。在相同振幅、不同的預(yù)壓力下,電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩T 與轉(zhuǎn)速n 之間的變化關(guān)系如圖5 所示。隨著預(yù)壓力增大,堵轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矩增大,空載轉(zhuǎn)速減小。
當(dāng)保持預(yù)壓力為15 N 不變,定子振幅變化時,電機(jī)的空載轉(zhuǎn)速n0和堵轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矩Tst隨振幅變化的趨勢,如圖6 所示。隨著振幅增大,空載轉(zhuǎn)速n0線性增大,堵轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矩先增大,而后維持在最大值不變。
圖4 L 與FN 的變化關(guān)系
圖5 不同預(yù)壓力下電機(jī)的T-n 特性曲線
圖6 電機(jī)空載轉(zhuǎn)速和堵轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矩與定子振幅的關(guān)系
電機(jī)正常工作時所施加的預(yù)壓力為15 N,定子振幅為1 μm,此時,定轉(zhuǎn)子間的法向接觸壓力分布如圖7 所示。接觸壓力分布為關(guān)于定子行波波峰對稱的半橢圓形狀。將計(jì)算得到正常工作狀態(tài)下電機(jī)的轉(zhuǎn)矩-轉(zhuǎn)速(T-n)特性與實(shí)驗(yàn)測試數(shù)據(jù)進(jìn)行比較,如圖8 所示,其中實(shí)驗(yàn)測試數(shù)據(jù)來自于文獻(xiàn)[5]。由圖8 可知,理論計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)測試值基本吻合,驗(yàn)證了所提出的赫茲接觸模型的有效性。
圖7 接觸區(qū)內(nèi)接觸壓力分布
圖8 T-n 特性曲線的計(jì)算值與測量值對比
1)隨著預(yù)壓力的增大,定轉(zhuǎn)子間的周向接觸長度先迅速增加,而后增加速度趨緩。
2)定子振幅相同的情況下,隨著預(yù)壓力的增大,堵轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矩增大,空載轉(zhuǎn)速減小。
3)保持預(yù)壓力不變,定子振幅增大時,電機(jī)空載轉(zhuǎn)速隨著振幅增大而線性增加,堵轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矩先增大,而后維持在最大值不變。
4)定轉(zhuǎn)子間的接觸壓力分布為關(guān)于定子行波波峰對稱的半橢圓形狀。
5)電機(jī)的轉(zhuǎn)矩-轉(zhuǎn)速特性計(jì)算值與測試值基本吻合,驗(yàn)證了所提出的模型的有效性。
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