張麗娜， 劉桂慶， 林冠男

（1.合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009；2.南昌工學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，江西 南昌 330108）

利潤－CVaR準(zhǔn)則下供應(yīng)鏈中的聯(lián)合廣告投入與訂貨策略研究

張麗娜1， 劉桂慶1， 林冠男2

（1.合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009；2.南昌工學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，江西 南昌 330108）

文章研究了二級供應(yīng)鏈中風(fēng)險厭惡型零售商面對隨機(jī)市場需求時的最優(yōu)廣告投入及訂貨策略。在以期望利潤和CVaR的加權(quán)平均為目標(biāo)函數(shù)下，分析了零售商的訂貨策略及廣告投入，在此基礎(chǔ)上研究了上游供應(yīng)商的廣告投入費(fèi)用，并闡述了解決該問題的方法，分析了當(dāng)僅存在零售商廣告或供應(yīng)商廣告的2種情形下，風(fēng)險因子對廣告投入及訂貨量的影響。研究結(jié)果可以為風(fēng)險厭惡的零售商和供應(yīng)商制定聯(lián)合廣告投入策略和訂貨策略提供參考。

利潤－CVaR準(zhǔn)則；CVaR模型；聯(lián)合廣告投入；訂貨策略

0 引 言

近年來，隨著科技進(jìn)步以及市場的迅猛發(fā)展，越來越多的新產(chǎn)品涌入市場，廠家往往通過廣告宣傳來讓顧客充分了解其經(jīng)營的商品品牌、售后服務(wù)、購物環(huán)境等，從而提高潛在顧客購買其經(jīng)銷商品的欲望，進(jìn)而達(dá)到增加需求的目的［1］。文獻(xiàn)［1］建立了廣告投入策略與訂貨策略聯(lián)合確定的隨機(jī)模型，給出了最佳的訂貨量及廣告投入量；文獻(xiàn)［2］研究了在隨機(jī)需求與銷售價格和廣告費(fèi)用有關(guān)的前提下，如何尋求最優(yōu)廣告費(fèi)用、銷售價格及訂貨量；文獻(xiàn)［3－5］研究了兩級供應(yīng)鏈中關(guān)于當(dāng)?shù)貜V告、品牌廣告投入及最優(yōu)的訂貨量聯(lián)合決策問題。

然而，以上的研究均假設(shè)供應(yīng)鏈參與人均為風(fēng)險中性者，決策目標(biāo)是使得期望利潤最大化。這對利潤變化不敏感的決策者來說是比較合適的。但當(dāng)決策者是風(fēng)險厭惡時，期望值準(zhǔn)則便不再合適。近年來，一些研究者采用了金融風(fēng)險中的條件風(fēng)險值CVaR（conditional value at risk）模型來探討供應(yīng)鏈中產(chǎn)品采購與供應(yīng)風(fēng)險決策問題，文獻(xiàn)［6－7］研究了帶有缺貨懲罰模型中的CVaR研究及在緊急訂貨下的價格決策模型，文獻(xiàn)［8］研究了帶有折扣策略的CVaR模型。以上的模型均沒有研究CVaR準(zhǔn)則下廣告的投入對最優(yōu)訂貨量的影響。文獻(xiàn)［9］研究了在CVaR準(zhǔn)則下風(fēng)險厭惡的零售商的最優(yōu)廣告投入和訂貨策略，并分析了風(fēng)險厭惡因子對廣告投入及訂貨量的影響，但只是探討了零售商的廣告投入，忽略了在此準(zhǔn)則下零售商的訂貨量對供應(yīng)商品牌廣告投入的影響，另一方面在求解過程中只關(guān)注利潤低于某個給定水平的情況，忽略了利潤高于該水平的情況。因此許多學(xué)者提出以期望利潤與CVaR的加權(quán)平均作為準(zhǔn)則，一方面反映了決策者追求高利潤的愿望，另一方面又反應(yīng)了其對潛在風(fēng)險的控制［10］。文獻(xiàn)［10－11］以期望利潤和 CVaR 的加權(quán)平均作為準(zhǔn)則，根據(jù)這個準(zhǔn)則零售商確定最優(yōu)的訂貨量，這樣的研究既考慮了風(fēng)險又兼顧了期望利潤。

本文可以看成是對文獻(xiàn)［9］的補(bǔ)充，首先利用文獻(xiàn)［3］中的期望需求函數(shù)，研究風(fēng)險厭惡的零售商對聯(lián)合廣告投入及訂貨量的影響，并考慮期望利潤與CVaR加權(quán)平均作為準(zhǔn)則下的零售商最優(yōu)廣告投入及訂貨量，同時，供應(yīng)商根據(jù)零售商的訂貨量及廣告投入來確定自己最佳的廣告投入。

1 模型描述

1.1 記號與假定

設(shè)供應(yīng)商生產(chǎn)成本為c；零售商的批發(fā)價格為w；零售商的零售價格為p；零售商處理剩余產(chǎn)品的殘值為v；不考慮供應(yīng)商和零售商的庫存成本、缺貨成本。供應(yīng)商投入的廣告稱為品牌廣告，零售商投入的廣告稱為地方促銷廣告。一般廣告投入的費(fèi)用越多需求越高，但由于潛在顧客的有限性，需求會隨著廣告的投入逐漸趨于某個上界，因此這里假定產(chǎn)品的期望需求是品牌廣告費(fèi)用m和地方促銷廣告費(fèi)用r的增加凹函數(shù)，設(shè)其為D（m，r）＝D0－βm－ur－s。其中，D0為產(chǎn)品的需求上界；β為正常數(shù)；u、s分別為品牌廣告和地方促銷廣告對需求的影響度，u∈（0，＋∞），s∈（0，＋∞），u值越大，品牌廣告對銷售額的影響越大，s值越大，地方性促銷廣告對銷售額的影響越大。期望需求滿足的條件可參考文獻(xiàn)［3］。

為反應(yīng)銷售期內(nèi)需求的不確定性，該產(chǎn)品在整個銷售期的實(shí)際需求量x被假定是D（m，r）與均值為1的正隨機(jī)變量ε的乘積，即X＝D（m，r，ε）＝D（m，r）ε，隨機(jī)變量ε的密度函數(shù)和累計分布函數(shù)分別為f（t）和F（t）；在給定的廣告費(fèi)用為m、r時，隨機(jī)需求X的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為g（m，r，x）和G（m，r，x）。因此，顯然有如下關(guān)系成立：

1.2 風(fēng)險中性下的聯(lián)合廣告投入與訂貨策略

設(shè)零售商的訂貨量為Q，由前面的假設(shè)可得供應(yīng)商的利潤函數(shù)πsQ，m，r，ε）和零售商的利潤函數(shù)πr（Q，m，r，ε）分別為：

定理1 在零售商風(fēng)險中立條件下，品牌廣告投入、地方促銷廣告投入及訂貨量分別為：

證明 具體證明過程可參見文獻(xiàn)［3］。

1.3 η－CVaR下的聯(lián)合廣告投入與訂貨策略

CVaR是指在給定的條件和置信水平下，利潤低于某個給定VaR的利潤水平的平均值，即

其中，η∈（0，1］，被稱為風(fēng)險厭惡因子，η越小表示零售商風(fēng)險厭惡程度越大，當(dāng)η＝1時，零售商為風(fēng)險中性。

于是，在η－CVaR風(fēng)險度量準(zhǔn)則下，風(fēng)險厭惡的零售商需要在銷售期開始時確定廣告投入和訂貨量的最優(yōu)取值r＊和Q＊，使得CVaRη［π（Q，r）］最大化，即

定理2 風(fēng)險厭惡的零售商在η－CVaR風(fēng)險度量準(zhǔn)則下，品牌廣告投入、當(dāng)?shù)卮黉N廣告投入及最優(yōu)訂貨量分別為：從定理2中的結(jié)論可以看到，當(dāng)η→1即零售商為風(fēng)險中性時，結(jié)論與定理1中的結(jié)論相同。

且由（5）式可知r＊（m）是關(guān)于m的減函數(shù)，也就是說供應(yīng)商品牌廣告投入增加，零售商的地方促銷廣告投入將減少，供應(yīng)商對品牌廣告投入的增加將消弱零售商對地方促銷廣告投入的積極性。

1.4 利潤－CVaR下的聯(lián)合廣告投入和訂貨策略

由上述CVaR的定義可看到，CVaR只關(guān)注利潤低于某個給定水平的利潤平均值，而忽略了利潤高于該水平的情況。如果η過小，CVaR描述了決策者風(fēng)險厭惡，但忽略了大部分的分配利潤；如果η過大，CVaR雖然包含了大部分的分配利潤，但忽略了決策者的風(fēng)險厭惡態(tài)度［7，10］。為了克服這一缺陷，以期望利潤與CVaR的加權(quán)平均作為目標(biāo)函數(shù)，這樣的函數(shù)能反映零售商追求高利潤的愿望，也能反映對其潛在風(fēng)險的控制。目標(biāo)函數(shù)描述如下：

其中，λ表示決策者追求期望利潤的程度，λ越大說明決策者越關(guān)注期望利潤。當(dāng)λ＝0時，目標(biāo)函數(shù)表示決策者只關(guān)注條件風(fēng)險值CVaR下的利潤；當(dāng)0＜λ＜1時，決策者關(guān)注期望利潤和CVaR下的利潤；當(dāng)λ＝1時，決策者關(guān)注期望利潤，而忽略本身存在的風(fēng)險。

對于風(fēng)險厭惡的零售商采取利潤-CVaR準(zhǔn)則，也就是最大化，即

定理3 風(fēng)險厭惡的零售商在“利潤－CVaR”準(zhǔn)則下，品牌廣告投入、當(dāng)?shù)卮黉N廣告投入及最優(yōu)訂貨量分別為：

推論1 （1）當(dāng)λ＝1時，最優(yōu)訂貨量Q、零售商當(dāng)?shù)卮黉N廣告投入r、供應(yīng)商品牌廣告投入m均與在風(fēng)險中性時的結(jié)果一致，也就是說模型退化到風(fēng)險中性時的情形。

（2）當(dāng)λ＝0時，最優(yōu)訂貨量Q、零售商當(dāng)?shù)卮黉N廣告投入r、供應(yīng)商品牌廣告投入m均與在η－CVaR條件下的結(jié)果一致，也就是說模型完全成為最優(yōu)化CVaR問題。

2 算例分析

表1 不同η值對應(yīng)的λ、m、r、Q結(jié)果

從表1可以看出，對于固定的η，λ越大，促銷廣告投入r及訂貨量Q就越大，同時也促使品牌廣告投入m增大。當(dāng)λ＝1時，m、r、Q的結(jié)果是一樣的，也就是說零售商在面對風(fēng)險時更偏向使期望利潤最大，或者零售商更偏好于風(fēng)險中性。從表1中還可以看到，當(dāng)λ＝0.8時，品牌廣告m隨著η增大先減小后增大。

3 結(jié)束語

本文考慮了風(fēng)險厭惡的零售商在面對隨機(jī)市場需求時的最優(yōu)訂貨量及廣告投入，以及由此對上游供應(yīng)商廣告投入的影響，研究以零售商的期望利潤和CVaR的加權(quán)平均為目標(biāo)函數(shù)，實(shí)驗結(jié)果表明，零售商對期望利潤的權(quán)重越大，其最優(yōu)的訂貨量也就越多，對應(yīng)的廣告投入r、m也就越多。本文提出的關(guān)于廣告投入的利潤－CVaR還可以在很多方面進(jìn)行擴(kuò)展，如考慮零售商有缺貨懲罰時的CVaR情形、供應(yīng)商也是風(fēng)險厭惡的情形等。

［1］周永務(wù)，楊善林.Newsboy型商品最優(yōu)廣告費(fèi)用與訂貨策略的聯(lián)合確定［J］.系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2002，22（11）：59－63.

［2］汪峻萍，周永務(wù)，楊劍波.需求依賴廣告費(fèi)用和銷售價格的Newsboy型產(chǎn)品庫存模型［J］.控制與決策，2010，25（1）：89－98.

［3］曹細(xì)玉，寧宣熙，覃艷華.易逝品供應(yīng)鏈中的聯(lián)合廣告投入、訂貨策略與協(xié)調(diào)問題研究［J］.系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2006，26（3）：102－107.

［4］Yue Jinfeng，Austin J，Huang Zhimin，et al.Pricing and advertisement in a manufacturer－retailer supply chain［J］.European Journal of Operational Research，2013，231：492－502.

［5］Chen T H.Coordinating the ordering and advertising policies for a single－period commodity in a two－level supply chain［J］.Computers ＆Industrial Engineering，2011，61：1268－1274.

［6］許明輝，于 剛，張漢勤.帶有缺貨懲罰的報童模型中的CVaR研究［J］.系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2006，26（10）：1－8.

［7］Xu Minghui.A price－setting newsvendor model under CVaR decision criterion with emergency procurement［J］.Journal of Systems Science and Systems Engineering，2010，19（1）：85－104.

［8］Caliskan－Demirag Q，Chen Youhua，Li Jianbin.Customer and retailer rebates under risk aversion［J］.Int J Production Economics，2011，133：736－750.

［9］李績才，周永務(wù)，鐘遠(yuǎn)光.基于CVaR準(zhǔn)則的Newsboy型商品最優(yōu)廣告費(fèi)用與訂貨策略［J］.系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2012，32（4）：776－783.

［10］柳 鍵，羅春林.利潤－CVaR準(zhǔn)則下的二級供應(yīng)鏈定價與訂貨策略研究［J］.控制與決策，2010，25（1）：130－136.

［11］Xu Minghui，Li Jianbin.Optimal decisions when balancing expected profit and conditional value－at－risk in newsvendor models［J］.Journal of Systems Science ＆ Complexity，2010，23（6）：1054－1070.

Study of joint advertising investment and order policy in a supply chain under profit－CVaR criterion

ZHANG Li－na1， LIU Gui－qing1， LIN Guan－nan2
（1.School of Mathematics，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China；2.Department of Basic Courses，Nanchang Institute of Science and Technology，Nanchang 330108，China）

This paper considers the optimal advertising investment and order policy under a two－level supply chain model，in which the retailer is risk－averse and faces a random demand depending on advertising expenditure.Considering the weighted average of the expected profit and conditional value at risk（CVaR）as target function，the advertising investment and order policy of the retailer are analyzed as well as the advertising investment of the supplier.An approach to solve this problem is developed，and the influence of risk factor on the advertising investment and order quantity when there is only the retailer advertisement or supplier advertisement is studied.The results obtained are helpful for both retailers and suppliers who are risk－averse to make joint advertising investment policy and order policy.

profit－conditional value at risk（CVaR）criterion；CVaR model；joint advertising investment；order policy

F224.9

A

1003－5060（2015）02－0258－06

10.3969／j.issn.1003－5060.2015.02.025

2014－02－27；

2014－05－29

國家自然科學(xué)基金資助項目（71101002；71101040）；高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項科研基金資助項目（20120111120013）和合肥工業(yè)大學(xué)科學(xué)研究發(fā)展基金資助項目（2011HGBZ1301；213HGXJ0234）

張麗娜（1990－），女，安徽太和人，合肥工業(yè)大學(xué)碩士生；

劉桂慶（1978－），女，安徽和縣人，博士，合肥工業(yè)大學(xué)副教授，碩士生導(dǎo)師.

（責(zé)任編輯 張 镅）