蔡永昌，劉高揚(yáng)

（1.同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院，上海200092；2.同濟(jì)大學(xué)土木工程防災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200092）

式中：t為平面單元的厚度.可直接得到L12的剛度矩陣為

對(duì)于獨(dú)立覆蓋e1，e2，有了位移插值函數(shù)式（2）、式（3）后，利用最小勢(shì)能原理容易導(dǎo)出其剛度矩陣，這里就不具體推導(dǎo)了.Cai等［20］也采用了類似技術(shù)利用夾層單元來(lái)實(shí)現(xiàn)可變形塊體間的連接，并將其應(yīng)用于裂紋分析，本文則是基于流形覆蓋理論和間隙位移假定重點(diǎn)討論基于完全獨(dú)立覆蓋流形方法的高階特性、線性相關(guān)性及其獨(dú)立覆蓋的彈簧連接方式.

圖6a所示的獨(dú)立覆蓋間的連接單元可以等效為圖6b所示的具有真實(shí)物理意義的連接彈簧，利用高斯積分，式（12）可改寫為

基于獨(dú)立覆蓋的高階流形方法

蔡永昌1，2，劉高揚(yáng)1

（1.同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院，上海200092；2.同濟(jì)大學(xué)土木工程防災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200092）

提出了一種基于獨(dú)立覆蓋的高階流形方法（ICMM）.該方法基于完全獨(dú)立的物理覆蓋，在物理覆蓋上可以定義一至高階的覆蓋位移函數(shù)，在獨(dú)立的物理覆蓋間采用具有真實(shí)物理意義的彈簧（區(qū)別于DDA（Discontinuous Deformation Analysis）和DEM（Discrete Element Method）方法中為迭代需要而設(shè)置的虛擬彈簧），避免了一般流形方法需要復(fù)雜的覆蓋生成等前處理算法的困難，消除了高階流形方法特有的線性相關(guān)性帶來(lái)的總體剛度矩陣奇異性的問(wèn)題，可以方便地應(yīng)用于連續(xù)體分析、從連續(xù)到非連續(xù)破壞以及完全非連續(xù)問(wèn)題的統(tǒng)一分析.算例分析初步驗(yàn)證了本文方法的正確性和有效性.

流形方法；高階；獨(dú)立覆蓋；線性相關(guān)性

基于有限覆蓋系統(tǒng)的流形方法NMM（Numerical Manifold Method）可以方便統(tǒng)一地處理連續(xù)和非連續(xù)問(wèn)題的分析，它采用獨(dú)立且分開(kāi)的數(shù)學(xué)網(wǎng)格和物理網(wǎng)格，將包含某一結(jié)點(diǎn)的所有數(shù)學(xué)單元的集合定義為該結(jié)點(diǎn)的數(shù)學(xué)覆蓋（或影響域），材料邊界、裂紋等物理線進(jìn)一步剖分?jǐn)?shù)學(xué)覆蓋為具有不同變形自由度的物理覆蓋，從而可以在保持?jǐn)?shù)學(xué)網(wǎng)格不變的前提下，方便地實(shí)現(xiàn)節(jié)理、裂隙等擴(kuò)展破壞過(guò)程的動(dòng)態(tài)模擬，且可以在保持結(jié)點(diǎn)數(shù)目不變的條件下，在物理覆蓋上直接采用高階的或者解析形式的覆蓋函數(shù)，方便實(shí)現(xiàn)應(yīng)力高梯度區(qū)域的p型自適應(yīng)分析.

由于流形方法在連續(xù) 非連續(xù)統(tǒng)一分析方面的理論優(yōu)勢(shì)，近年來(lái)在巖體力學(xué)及相關(guān)分析領(lǐng)域內(nèi)得到了極大的重視和發(fā)展，例如Ma等［1］、李樹(shù)忱等［2］對(duì)流形方法的理論進(jìn)展及其應(yīng)用進(jìn)行了綜述，Cai等［3］結(jié)合物理線的符號(hào)函數(shù)表達(dá)方式發(fā)展了簡(jiǎn)單高效的流形方法覆蓋系統(tǒng)生成算法，陳剛等［4］探討了基于有向遍歷理論的流形元覆蓋系統(tǒng)，朱愛(ài)軍等［5］、武杰等［6］、蔡永昌等［7］也從不同角度出發(fā)對(duì)流形方法的覆蓋系統(tǒng)進(jìn)行了研究，李海楓等［8］進(jìn)一步研究了三維情形下的流形單元生成，姜清輝等［9］對(duì)三維數(shù)值流形方法的點(diǎn) 面接觸模型進(jìn)行了研究，郭朝旭等［10］、Zheng等［11］對(duì)高階數(shù)值流形方法中存在的線性相關(guān)問(wèn)題及其解決方法進(jìn)行了探討和研究.在XFEM（Extended Finite Element Method），GFEM（Generalized Finite Element Method），PU（Partition of Unity）等方法中也普遍存在類似的線性相關(guān)性問(wèn)題［12-17］.

從這些典型的代表性成果可以看出，流形方法的流形覆蓋系統(tǒng)生成算法以及采用高階覆蓋位移函數(shù)時(shí)的線性相關(guān)性帶來(lái)的總剛度矩陣奇異性等問(wèn)題是最近十多年來(lái)流形方法最迫切要解決的問(wèn)題和研究焦點(diǎn)所在.但限于現(xiàn)有的數(shù)學(xué)和力學(xué)理論，直接解決這些困難使其可以方便地應(yīng)用于復(fù)雜多節(jié)理、多裂紋的實(shí)際工程問(wèn)題的分析求解在短期內(nèi)仍難預(yù)期有較明顯的發(fā)展.蘇海東等［18-19］提出的部分覆蓋流形方法對(duì)上述困難的解決提供了一種新的思路與方向，采用“部分重疊覆蓋”替代通常的“完全重疊覆蓋”，避免了流形方法在高階時(shí)的線性相關(guān)性問(wèn)題，可以方便地加密覆蓋，方便地在局部應(yīng)用解析解等，為流形方法的發(fā)展提供了新的思路和方向.但是部分覆蓋流形方法在獨(dú)立覆蓋間采用條帶連接，給前處理、后處理及算法實(shí)現(xiàn)等帶來(lái)了一些麻煩，實(shí)際應(yīng)用于復(fù)雜工程分析時(shí)仍有一些不便之處.

為了解決部分覆蓋流形方法存在的問(wèn)題，本文提出了一種基于完全獨(dú)立覆蓋的高階流形方法（ICMM），在該方法中，高階位移函數(shù)定義在完全獨(dú)立的物理覆蓋上，在獨(dú)立覆蓋之間假設(shè)幾何厚度可以忽略的連接彈簧（區(qū)別于DDA（Discontinuous Deformation Analysis），DEM（Discrete Element Method）純粹為迭代需要而設(shè)置的虛擬彈簧）.這種方法解決了高階流形方法的線性相關(guān)性問(wèn)題和需要復(fù)雜算法生成物理覆蓋系統(tǒng)的困難，具有部分覆蓋流形方法的其他優(yōu)點(diǎn)，但避免了部分覆蓋流形方法需要生成條帶連接帶來(lái)的相關(guān)麻煩.

1 基于完全獨(dú)立覆蓋的流形方法

如圖1所示的具有2條裂紋的物體Ω，采用流形方法進(jìn)行分析時(shí)，可首先定義如圖2所示的三角形（或任意形狀）有限元網(wǎng)格.以圖2中的3 5 7數(shù)學(xué)單元為例，在NMM（Numerical Manifold Method）中，結(jié)點(diǎn)的數(shù)學(xué)覆蓋（或影響域）定義為圍繞該結(jié)點(diǎn)的所有數(shù)學(xué)單元集合，如圖3所示的數(shù)學(xué)覆蓋3，5，7（數(shù)學(xué)覆蓋3，5，7的公共區(qū)域?yàn)閿?shù)學(xué)單元3 5 7，稱這樣的數(shù)學(xué)覆蓋定義方法為“完全重疊的覆蓋”）.裂紋、材料邊界等的物理線進(jìn)一步剖分?jǐn)?shù)學(xué)覆蓋為獨(dú)立變形的物理覆蓋區(qū)域，如圖4中的數(shù)學(xué)覆蓋3被裂紋線剖分成了物理覆蓋31，32，33.

圖1 含2條裂紋的分析物體Fig.1 An arbitrary domain with 2cracks

圖2 有限元網(wǎng)格（數(shù)學(xué)網(wǎng)格）Fig.2 Finite element mesh（Mathematical mesh）

圖3 數(shù)學(xué)覆蓋定義Fig.3 Definition of mathematical covers

有了物理覆蓋的定義后，NMM就可以在這些物理覆蓋上采用各種形式的多項(xiàng)式來(lái)定義覆蓋位移函數(shù)，例如在裂尖所在的物理覆蓋32上采用來(lái)自解析解的局部覆蓋位移函數(shù)如下：

式中：u-

32（x-，y-）為局部覆蓋32的位移函數(shù)；x-，y-為全局坐標(biāo)；a32＝［d31，d32，d33，…］T，d31，d32，d33，…為物理覆蓋32的覆蓋自由度；F32＝，其中r，θ為裂尖局部極坐標(biāo)值.

利用單位分解法和這些獨(dú)立定義的物理覆蓋函數(shù)即可定義出分析區(qū)域上的任意點(diǎn)（x-，y-）處的總體位移函數(shù).可以發(fā)現(xiàn)，NMM可以在保持?jǐn)?shù)學(xué)網(wǎng)格不變的條件下，方便實(shí)現(xiàn)連續(xù)和不連續(xù)統(tǒng)一分析，但是從NMM的實(shí)施過(guò)程可以看出物理覆蓋的剖分需要復(fù)雜、耗時(shí)的幾何算法和點(diǎn) 區(qū)域判斷算法，對(duì)其進(jìn)行三維分析的難度更高，同時(shí)高階位移函數(shù)的線性相關(guān)性也是一個(gè)難以避免的問(wèn)題.

為了解決流形方法存在的這些困難，本文提出了如下的思路與方法.仍以圖2中的單元3 5 7和3 7 6為例，如圖5所示.

圖4 物理覆蓋定義Fig.4 Definition of physical covers

圖5 獨(dú)立覆蓋Fig.5 Independent cover

區(qū)別于前面的完全重疊的流形覆蓋，本文將單元e1（即3 5 7）和單元e2（即3 7 6）定義為完全獨(dú)立的覆蓋，其覆蓋函數(shù)取為

式中

可根據(jù)需要取為一階至多階的簡(jiǎn)單多項(xiàng)式或其他級(jí)數(shù)形式，其中x-c＝x--x-0，y-c＝y(tǒng)--y-0，x-0，y-0為相應(yīng)多邊形單元的中心點(diǎn)坐標(biāo)；分別為x-，y-方向的位移函數(shù)；a＝［a1a2… a3］為覆蓋自由度.

假設(shè)覆蓋e1和覆蓋e2之間存在一寬度為b的間隙L12，如果b值取得很小，例如b＝l／10 000（l為3 7邊長(zhǎng)）時(shí)，間隙L12里任意點(diǎn)p（x，y）在局部坐標(biāo)下的位移u（x，y），v（x，y）可插值表示為

式中：up1，vp1為圖6a中覆蓋e1在p1點(diǎn)處局部坐標(biāo)（x，y）下的位移，可由式（2）坐標(biāo)轉(zhuǎn)換得到；up2，vp2為圖6a中覆蓋e2在p2點(diǎn)處局部坐標(biāo)（x，y）下的位移，可由式（3）進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換得到，圖6b中g(shù)1，g2，gi為高斯點(diǎn)位置.

圖6 獨(dú)立覆蓋之間的彈簧連接Fig.6 Springs between adjacent independent covers

在b很小的情況下，間隙L12里任一點(diǎn)p的應(yīng)變可近似由式（5）、式（6）求得.

式中：εx，εy為x，y方向正應(yīng)變；εn，γs分別為間隙L12的法向應(yīng)變和切向應(yīng)變；γxy為切應(yīng)變.

利用式（2）、式（3）、式（7）可進(jìn)一步表示為

式中：ε為應(yīng)變向量；下標(biāo)s，n分別表示切線方向和法線方向；B為應(yīng)變矩陣，為自由度向量，為覆蓋e1，e2交界邊3 7的局部坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣.

對(duì)于彈性分析，根據(jù)廣義胡克定律，p點(diǎn)處的應(yīng)力可表示為

式中：τs，σn分別為間隙L12的切向應(yīng)力和法向應(yīng)力；S為應(yīng)力矩陣，S＝D·B，D為彈性矩陣，對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題，有

式中：G＝E／［2（1＋ν）］，E為彈性模量，ν為泊松比.于是，間隙L12的勢(shì)能可表示為

式中：t為平面單元的厚度.可直接得到L12的剛度矩陣為

對(duì)于獨(dú)立覆蓋e1，e2，有了位移插值函數(shù)式（2）、式（3）后，利用最小勢(shì)能原理容易導(dǎo)出其剛度矩陣，這里就不具體推導(dǎo)了.Cai等［20］也采用了類似技術(shù)利用夾層單元來(lái)實(shí)現(xiàn)可變形塊體間的連接，并將其應(yīng)用于裂紋分析，本文則是基于流形覆蓋理論和間隙位移假定重點(diǎn)討論基于完全獨(dú)立覆蓋流形方法的高階特性、線性相關(guān)性及其獨(dú)立覆蓋的彈簧連接方式.

圖6a所示的獨(dú)立覆蓋間的連接單元可以等效為圖6b所示的具有真實(shí)物理意義的連接彈簧，利用高斯積分，式（12）可改寫為

式中：n為總的高斯點(diǎn)數(shù)；（Ks）gi，（Kn）gi分別為第i個(gè)高斯點(diǎn)處的等效彈簧切向和法向剛度，（Ks）gi＝高斯點(diǎn)gi的實(shí)際坐標(biāo)值也可由高斯積分的積分點(diǎn)坐標(biāo)求出；Hi為第i個(gè)高斯點(diǎn)的權(quán)函數(shù)；Δugi，Δvgi分別為第i個(gè)高斯點(diǎn)處彈簧的相對(duì)切向和法向變形，Δugi＝（ugi）e2-（ugi）e1，Δvgi＝（vgi）e2-（vgi）e1，（ugi）e1，（vgi）e1分別為高斯點(diǎn)gi在覆蓋e1處的x，y方向位移值，可由式（2）坐標(biāo)轉(zhuǎn)換求得，同理可以求得（ugi）e2，（vgi）e2.

式（14）中的（Ks）gi，（Kn）gi即為推導(dǎo)得出的如圖6b所示的真實(shí)彈簧的等效切向和法向剛度.

上述推導(dǎo)過(guò)程將獨(dú)立覆蓋間的連接彈簧等效為真實(shí)的彈簧，極大區(qū)別于DEM，DDA等方法中為迭代需要而設(shè)置的不具物理意義的虛擬彈簧，可以方便模擬分析連續(xù)體，當(dāng)彈簧受拉、受剪破壞后，直接移除彈簧，即可輕易實(shí)現(xiàn)非連續(xù)分析.

當(dāng)斷層、裂紋穿越獨(dú)立覆蓋內(nèi)部時(shí)，傳統(tǒng)流形方法需要采用比較復(fù)雜的覆蓋生成算法來(lái)分別生成物理線切割后的物理覆蓋、流形單元，而在本文方法中，不再需要復(fù)雜、耗時(shí)的點(diǎn) 區(qū)域判斷等算法來(lái)分別處理物理覆蓋和流形單元，例如圖7的獨(dú)立覆蓋3 5 7被2條裂紋線穿越（裂紋線在獨(dú)立覆蓋內(nèi)部未貫穿時(shí)也按同樣方法處理），僅需將覆蓋3 5 7簡(jiǎn)單再分為C1，C2，C3三個(gè)獨(dú)立覆蓋（其中分割后的獨(dú)立覆蓋C1和C2為三角形、獨(dú)立覆蓋C3為任意四邊形，注意當(dāng)獨(dú)立覆蓋為大于三邊的多邊形時(shí)需在該覆蓋上采用二階以上的覆蓋函數(shù)），獨(dú)立覆蓋間采用式（14）的彈簧進(jìn)行連接，所有的插值和積分運(yùn)算在分割后的獨(dú)立覆蓋上即可輕易完成.同時(shí)，本文方法也可靈活地在應(yīng)力高梯度區(qū)域采用高階覆蓋函數(shù)提高精度，而不會(huì)有線性相關(guān)性的問(wèn)題.

圖7 裂紋切割的獨(dú)立覆蓋Fig.7 Independent cover cut by cracks

需要指出的是，圖6中的覆蓋e1，e2交界處分開(kāi)一段距離只是為了顯示和表達(dá)的需要，在實(shí)際實(shí)施本文方法時(shí)，如果獨(dú)立覆蓋e1，e2沒(méi)有斷裂分開(kāi)或發(fā)生非連續(xù)變形，則它們之間的交界處在幾何上共用3，7結(jié)點(diǎn).

2 施加位移邊界條件

設(shè)圖1的獨(dú)立覆蓋1-2-3的邊界1-2上作用有圖8a所示的沿邊界1-2的法向給定位移v10，v20.

按照獨(dú)立覆蓋之間交界處的同樣思路，假定在覆蓋1-2-3的邊界1-2處存在一寬度為b的微小間隙L（圖8b），則間隙L里任意一點(diǎn)p（x，y）處的位移可近似插值為

式中

式中：l為邊1-2的長(zhǎng)度；λ為邊界1-2的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣.

圖8 位移邊界條件Fig.8 Displacement boundary conditions

有了式（15）后，按照式（14）同樣的步驟可以推導(dǎo)得出圖8c所示的邊界處的等效彈簧剛度.如果在邊界上作用有切向的給定位移或者僅作用有給定點(diǎn)的位移，其推導(dǎo)過(guò)程與方法類似.

3 算例

3.1 線性相關(guān)性檢驗(yàn)

如前所述，采用高階覆蓋位移函數(shù)的流形方法（或PU，XFEM等）面臨的一個(gè)主要困難是線性相關(guān)帶來(lái)的總剛矩陣奇異問(wèn)題.采用圖9所示的算例來(lái)檢驗(yàn)ICMM的線性相關(guān)性，表1和表2給出了分別采用線性覆蓋函數(shù)和二次覆蓋函數(shù)時(shí)施加限制剛體位移的最少邊界條件后的總自由度數(shù)和總體剛度矩陣的零特征值數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于各種情形，總體剛度矩陣均未出現(xiàn)零特征值，表明ICMM完全消除了原有高階流形或單位分解法固有的線性相關(guān)問(wèn)題.

圖9 線性相關(guān)性算例Fig.9 Test examples for checking of linear dependence

表1 線性覆蓋函數(shù)時(shí)的總剛矩陣Tab.1 Global stiffness matrix with linear functions

表2 二次覆蓋函數(shù)時(shí)的總剛矩陣Tab.2 Global stiffness matrix with quadratic functions

3.2 懸臂梁

如圖10所示的懸臂梁，長(zhǎng)L＝8m，寬W＝1m，彈性模量E＝1×103Pa，泊松比ν＝0.25，在梁的末端受均布荷載F＝1N作用，按平面應(yīng)力問(wèn)題分析，懸臂梁末端A點(diǎn)豎向位移的解析解［21-22］為2.069m.

圖10 懸臂梁Fig.10 Cantilever beam

分別采用50，138，487三種離散結(jié)點(diǎn)的網(wǎng)格以及線性和二次覆蓋函數(shù)進(jìn)行了分析.從表3可以看出，當(dāng)采用線性覆蓋函數(shù)時(shí)，ICMM的計(jì)算結(jié)果與對(duì)應(yīng)的三角形有限單元法結(jié)果一致，隨著結(jié)點(diǎn)數(shù)的增加，計(jì)算結(jié)果逐漸趨于解析解答；當(dāng)采用二次覆蓋函數(shù)時(shí)，對(duì)于各種不同數(shù)目的離散結(jié)點(diǎn)，ICMM均能得到與解析解吻合較好的計(jì)算結(jié)果，這也說(shuō)明了ICMM可以在保持結(jié)點(diǎn)數(shù)目不變的情況下僅提升覆蓋函數(shù)的階次即可輕易實(shí)現(xiàn)p型自適應(yīng)分析.當(dāng)然ICMM也能像其他數(shù)值方法一樣依靠加密網(wǎng)格來(lái)實(shí)現(xiàn)h型自適應(yīng)分析.

表3 A點(diǎn)的豎向位移Tab.3 Vertical displacement of point A

3.3 Cook梁

如圖11所示的Cook梁，在梁的右端作用有F＝1／16的均布剪力，按照平面應(yīng)力問(wèn)題求解，A點(diǎn)豎向位移的參考解［23］為23.96.設(shè)梁的彈性模量E＝1.0，泊松比ν＝1／3.分別采用80，206兩種離散結(jié)點(diǎn)的網(wǎng)格以及線性和二次覆蓋函數(shù)進(jìn)行了分析.表4給出的各種情況下Cook梁右端點(diǎn)A處的豎向位移VA計(jì)算結(jié)果，同樣表明了ICMM良好的p型和h型自適應(yīng)分析能力.

圖11 Cook梁模型Fig.11 Cook’s skew beam

表4 Cook梁A點(diǎn)的豎直位移Tab.4 Vertical displacement of point Afor Cook beam

4 結(jié)語(yǔ)

不同于常規(guī)數(shù)值流形方法和部分覆蓋數(shù)值流形方法，本文方法采用完全獨(dú)立的物理覆蓋，在獨(dú)立覆蓋上定義一至高階的覆蓋函數(shù)，在物理獨(dú)立覆蓋間采用具有物理意義的真實(shí)彈簧進(jìn)行連接，從而避免了常規(guī)流形方法需要復(fù)雜覆蓋算法和部分覆蓋流形方法需要構(gòu)造條帶連接的困難，大大降低了流形方法的前處理難度，同時(shí)也完全消除了高階流形方法特有的線性相關(guān)性問(wèn)題，可以方便進(jìn)行連續(xù)體分析以及從連續(xù)到非連續(xù)破壞的統(tǒng)一分析.

以三角形獨(dú)立覆蓋為例推導(dǎo)了ICMM的實(shí)現(xiàn)過(guò)程，并用彈性連續(xù)分析算例對(duì)其正確性和可靠性進(jìn)行了驗(yàn)證.該方法可以采用任意形狀的多邊形覆蓋或者無(wú)網(wǎng)格覆蓋，且可以很容易地推廣應(yīng)用到巖土結(jié)構(gòu)漸進(jìn)性破壞和三維靜、動(dòng)力分析等領(lǐng)域，這也將是下一步的工作和研究方向.

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High-order Manifold Method with Independent Covers

CAI Yongchang1，2，LIU Gaoyang1
（1.College of Civil Engineering，Tongji University，Shanghai 200092，China；2.State Key Laboratory of Disaster Reduction in Civil Engineering，Tongji University，Shanghai 200092，China）

An independent cover based manifold method（ICMM）is presented.In the ICMM，various high-order cover functions can be naturally employed at the independent covers，and the springs with real physical significance are defined between the adjacent independent covers，which are different from the virtual springs in DDA（Discontinuous Deformation Analysis）and DEM（Discrete Element Method）.The requirement for the complex algorithm for cover generation in conventional NMM（Numerical Manifold Method），and the rank deficiency due to the linear dependence of the global degrees of freedom in high-order NMM are well treated in the present ICMM.The continuous deformation analysis，the discontinuous deformation analysis，and the switch from continuous analysis to discontinuous analysis can be unified in a same framework in the ICMM.Several test examples indicate the correctness and the validity of the proposed method.

manifold method；high-order；independent cover；linear dependence

TU443

A

0253-374X（2015）12-1794-07

10.11908／j.issn.0253-374x.2015.12.005

2014 09 04

國(guó)家自然科學(xué)基金（11472194）；國(guó)家“九七三”重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃（2011CB013800）；教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃（NCET-12-0415）

蔡永昌（1972—），男，教授，工學(xué)博士，主要研究方向?yàn)閹r土計(jì)算方法.E-mail：yc_cai@163.net