左衛(wèi)兵， 時(shí)文芳

(華北水利水電大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 河南 鄭州 450046)

生長(zhǎng)曲線模型中參數(shù)估計(jì)誤差的上界

左衛(wèi)兵， 時(shí)文芳

(華北水利水電大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 河南 鄭州 450046)

生長(zhǎng)曲線模型; 估計(jì)誤差； RE條件; 兼容性條件; UDP條件; 協(xié)調(diào)參數(shù)

0 引言

參數(shù)估計(jì)是線性模型中重要的統(tǒng)計(jì)問(wèn)題,統(tǒng)計(jì)學(xué)家們提出了懲罰最小二乘方法.例如文獻(xiàn)[1]提出了hard thresholding懲罰函數(shù);文獻(xiàn)[2]在線性模型下提出了將lasso作為一種較好的懲罰最小二乘方法,lasso能夠同時(shí)實(shí)現(xiàn)變量選擇和參數(shù)統(tǒng)計(jì).基于這樣的優(yōu)點(diǎn),統(tǒng)計(jì)學(xué)家們致力于lasso神諭不等式的研究，相繼提出不同的條件,并且設(shè)計(jì)矩陣滿足相應(yīng)條件時(shí)得到相對(duì)應(yīng)的神諭不等式.文獻(xiàn)[3]提出了RE條件(restricted eigenvalue condition)；文獻(xiàn)[4]提出了兼容性條件(compatibility condition)；文獻(xiàn)[5]指出上述兩個(gè)條件是眾多條件中應(yīng)用很普遍且較弱的條件,且兼容性條件是最弱的條件;文獻(xiàn)[6]提出了UDP條件,并且設(shè)計(jì)當(dāng)矩陣是列滿秩矩陣時(shí),UDP條件比上述兩個(gè)條件更弱.

生長(zhǎng)曲線模型作為一種廣義的線性模型,在近半個(gè)世紀(jì)得到廣泛研究[7-9],但是關(guān)于生長(zhǎng)曲線模型中懲罰最小二乘方法研究卻很少.高采文等[10]將懲罰最小二乘方法運(yùn)用到生長(zhǎng)曲線模型上,得到了相應(yīng)的懲罰最小二乘估計(jì).本文利用Potthoff-Roy變換將生長(zhǎng)曲線模型轉(zhuǎn)化為線性模型,利用文獻(xiàn)[10]得到的lasso估計(jì),在設(shè)計(jì)陣分別滿足RE條件、兼容性條件和UDP條件時(shí),依次得到了生長(zhǎng)曲線模型中估計(jì)誤差的上界.

1 準(zhǔn)備工作

本文研究的模型為

(1)

其中：Yn×p是一個(gè)可觀測(cè)矩陣；X1n×m和X2q×p是已知設(shè)計(jì)矩陣,且r(X1)=m,r(X2)=q；Bm×q是一個(gè)未知參數(shù)矩陣；En×p是一個(gè)隨機(jī)誤差矩陣；E的行向量互不相關(guān),且行向量均值為0；協(xié)方差陣為∑.

對(duì)于模型(1),由于r(X2)=q,因此存在p×q的矩陣H使得X2H=Iq×q.令Z=YH,則模型變換為

(2)

下面記B=(B1,B2，…，Bq),Bi=(B1,i,B2,i,…,Bm,i)T，i=1,2,…,q，Z=(Z1,Z2，…，Zq)，H=(H1,H2，…，Hq).則模型(2)可以簡(jiǎn)化為一系列線性模型：

Zj=X1Bj+EHj,j=1,2,…，q.

(3)

文獻(xiàn)[9-11]給出了生長(zhǎng)曲線模型的懲罰最小二乘估計(jì)，

(4)

(5)

(6)

在線性模型中研究神諭不等式時(shí),設(shè)計(jì)矩陣需要滿足某些條件,應(yīng)用很普遍且較弱的條件有：

1) RE條件[4],即設(shè)計(jì)矩陣滿足

(7)

2) 兼容性條件[5],即設(shè)計(jì)矩陣滿足

(8)

3) UDP(S0,κ0,Δ)條件[7],即設(shè)計(jì)矩陣滿足

(9)

3 主要定理

證明 根據(jù)生長(zhǎng)曲線模型中l(wèi)asso定義,可得

根據(jù)設(shè)計(jì)矩陣X1滿足RE條件時(shí)有

同時(shí)根據(jù)設(shè)計(jì)矩陣X1滿足RE條件，也可得到

定理2 設(shè)計(jì)矩陣滿足兼容性條件時(shí),有

證明 在上面的推導(dǎo)過(guò)程中,得到

這里根據(jù)設(shè)計(jì)矩陣X1滿足可兼容條件,可以得到

所以

定理3 當(dāng)設(shè)計(jì)矩陣滿足UDP條件時(shí)有

證明 在上面的推導(dǎo)過(guò)程中得到

同時(shí)除以2λ,并化簡(jiǎn)可得，

4 結(jié)論

[1] Antoniadis A. Wavelets in statistics: A review [J]. Journal of the Italian Statistical Society, 1997, 6(2):97-130.

[2] Tibshirani R. Regression shrinkage and selection via the lasso [J]. Journal of the Royal Statistical Society, 1994, 58(1):267-288.

[3] Bickel P, Ritov Y, Tsybakov A. Simultaneous analysis of lasso and Dantzig selector [J]. Annals of Statistics, 2009, 37 (4): 1705-1732.

[4] Van de Geer Sara A. High-dimensional generalized linear models and the lasso [J]. Annals of Statistics, 2008, 36(2):614-645.

[5] Van de Geer S, Bühlmann P. On the conditions used to prove oracle results for the lasso [J]. Electronic Journal of Statistics, 2009, 3(2009):1360-1392.

[6] Castro Y D. A remark on the lasso and the Dantzig selector [J]. Statistics & Probability Letters, 2013, 83(1):304-314.

[7] Rotthoff R F, Roy S N. A generalized multivariate analysis of variance model useful especially for growth curve problems [J]. Biometrika, 1964, 51(3): 313-326.

[8] 劉愛(ài)義.生長(zhǎng)曲線模型的協(xié)變量選擇與參數(shù)估計(jì)[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1994,37(3):362-372.

[9] 陳學(xué)華,尤進(jìn)紅，孫孝前.一般生長(zhǎng)曲線模型中共同均值參數(shù)的線性估計(jì)的泛容許性[J].信陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1998,11(3):224-229.

[10]高采文,朱曉琳,曾林蕊.生長(zhǎng)曲線模型的懲罰最小二乘估計(jì)[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué),2014,31(2):102-105.

[11]朱曉琳.生長(zhǎng)曲線模型的懲罰最小二乘估計(jì)和變量選擇[D].上海：華東師范大學(xué),2013.

(責(zé)任編輯：方惠敏)

Upper Bound on the Estimation Error in a Growth Curve Model

ZUO Weibing, SHI Wenfang

(CollegeofMathematicsandInformationScience，NorthChinaUniversityofWaterResourcesandElectricPower，Zhengzhou450046，China)

growthcurvemodel;estimationerror;REcondition;compatibilitycondition;UDPcondition;tuningparameter

2015-07-08

河南省基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究項(xiàng)目，編號(hào)142300410401.

左衛(wèi)兵(1976—),男,河南內(nèi)黃人，副教授,主要從事數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究,E-mail:zuoweibing@ncwu.edu.cn；通訊作者：時(shí)文芳(1989—),女,河南新鄭人，碩士研究生,主要從事數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究,E-mail：hnxzswf@163.com.

左衛(wèi)兵，時(shí)文芳.生長(zhǎng)曲線模型中參數(shù)估計(jì)誤差的上界[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2015，47(4):33-37.

O212.1

A

1671-6841(2015)04-0033-05

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.04.006