馬躍超, 胡秀玲

(燕山大學 理學院 河北 秦皇島 066004)

基于觀測器的非線性廣義馬爾科夫跳變時滯系統(tǒng)的魯棒H∞控制

馬躍超, 胡秀玲

(燕山大學 理學院 河北 秦皇島 066004)

研究了非線性廣義Markov跳變時滯系統(tǒng)的H∞控制問題.得到了增廣系統(tǒng)全局指數(shù)穩(wěn)定且具有H∞性能指標的基于觀測器的反饋控制器存在的充分條件.通過求解線性矩陣不等式得到了控制器和觀測器的增益矩陣.最后用數(shù)值算例驗證了所提出設計方法的有效性.

H∞控制； 指數(shù)穩(wěn)定； 觀測器； 馬爾科夫跳變； 線性矩陣不等式

0 引言

廣義系統(tǒng)可以描述許多實際系統(tǒng)，如電力系統(tǒng)，經(jīng)濟系統(tǒng)，機器人系統(tǒng)等[1-3].近年來，廣義系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與控制綜合問題已被廣泛研究[4-6]，由于其要求所得閉環(huán)系統(tǒng)不僅穩(wěn)定，且正則無脈沖，比普通系統(tǒng)的研究更加復雜.

Markov跳變系統(tǒng)是一類特殊的混雜系統(tǒng)，信號可以隨時間變化在不同的模式間進行切換，文獻[7-10]中呈現(xiàn)了該系統(tǒng)的一些研究成果，文獻[11]討論了不確定離散Markov跳變系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題，文獻[12]研究了Markov跳變系統(tǒng)的無源性問題，文獻[13]研究了隨機時滯神經(jīng)網(wǎng)絡的穩(wěn)定性問題.

系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性問題也很重要，它能夠確定系統(tǒng)狀態(tài)的收斂速度達到平衡點.文獻[14]研究了不確定奇異時滯系統(tǒng)的時滯相關魯棒指數(shù)穩(wěn)定性問題，文獻[15]研究了一類離散非線性廣義Markov跳變系統(tǒng)的均方指數(shù)穩(wěn)定性問題.

本文研究了帶有Markov跳變參數(shù)和非線性項的廣義時滯系統(tǒng)的H∞控制問題，主要目的是設計一個基于觀測器的狀態(tài)反饋控制器以保證所得閉環(huán)系統(tǒng)全局指數(shù)穩(wěn)定且滿足H∞性能指標.

1 系統(tǒng)的描述與準備

考慮如下廣義隨機非線性系統(tǒng)

(1)

其中:x(t)∈Rn是系統(tǒng)的狀態(tài)向量;u(t)∈Rm是控制輸入;y(t)∈Rp是測量輸出;z(t)∈Rq為控制輸出;ω(t)∈Rt為系統(tǒng)擾動輸入;d是時滯且d≥0;E是奇異矩陣,且rank(E)=r≤n;ηt是一個在有限集合Λ={1,2,…,r}中隨時間取值的Markov隨機過程，轉(zhuǎn)移概率矩陣為Π=(πij)r×r，描述如下:

(2)

(3)

其中,ki>0是Lipschitz常數(shù).

建立如下觀測器和狀態(tài)反饋控制器,

(4)

其中：H(i)，K1(i)，K2(i)是觀測器和狀態(tài)反饋控制器的增益矩陣，得到閉環(huán)系統(tǒng),

(5)

其中：

定義3 廣義Markov跳變系統(tǒng)(5)是魯棒H∞穩(wěn)定的，對于常數(shù)γ且在零初始條件下Z(t)滿足

2 主要結果

(6)

(7)

(8)

其中:

證明 首先證明系統(tǒng)(5)是正則無脈沖的，

(9)

(10)

由于rank(E)=r≤n，可選擇非奇異矩陣M，N使

(11)

根據(jù)(11)式，可令

因此，對于上述常數(shù)λ>0,有

構造如下形式的Lyapunov函數(shù)，

故

故有

其中:

由Ω<0可知JV<0,可得

其中:

因此可知，在ω(t)=0時，系統(tǒng)(5)是全局指數(shù)穩(wěn)定的.

(12)

(13)

其中:

其他變量同定理1.

證明 類似于定理1的推導，能得到

JV+ZT(t)Z(t)≤γ2ωT(t)ω(t),

故有,

可以看出滿足定義3，證明完成.

定理3 對于給定的d，當ω(t)=0時，系統(tǒng)(5)是全局指數(shù)穩(wěn)定的，如果存在常數(shù)α1，α2，β1，β2和矩陣X(i)，Y(i)，Z(i)，一組對稱正定矩陣{S(i),i∈Λ}和對稱正定矩陣R，S，W，有如下線性矩陣不等式成立:

(14)

(15)

(16)

(17)

其中:

證明 首先驗證條件(14)和(16)等價于條件(7).

定理4 對任意給定的d，γ>0，廣義Markov跳變系統(tǒng)(5)是全局指數(shù)穩(wěn)定的且具有H∞性能指標γ，如果存在常數(shù)α1，α2，β1，β2和矩陣X(i)，Y(i)，Z(i)，一組對稱正定矩陣{S(i),i∈Λ}和對稱正定矩陣R，S，W，有如下線性矩陣不等式成立:

(18)

(19)

(20)

(21)

其中:

Π6=W-α1I，Π7=W-α2I，Π8=-W-β1I，Π9=-W-β2I，

(22)

備注4 定理3和定理4的可行解約束條件可轉(zhuǎn)化為如下含參數(shù)μ的線性不等式的優(yōu)化問題

X(i),Y(i),Z(i),Si,R,S,W,α1,α2,β1,β2,μ,Φi, s.t.(16),(17),(22),

(23)

minγ2,X(i),Y(i),Z(i),Si,R,S,W,α1,α2,β1,β2,μ,Φi， s.t. (20),(21),(22) .

(24)

3 數(shù)值算例

例1 考慮參數(shù)如下的系統(tǒng)：

Mode 1

Mode 2

例2 考慮參數(shù)如下的系統(tǒng):

其他矩陣變量同例1，令d=2，0

例3 考慮參數(shù)如下的系統(tǒng)(1)

Model 1

Mode 2

4 結論

本文解決了非線性廣義Markov跳變時滯系統(tǒng)的H∞控制問題,得到了增廣系統(tǒng)全局指數(shù)穩(wěn)定且具有H∞性能指標的基于觀測器的反饋控制器存在的充分條件.通過求解線性矩陣不等式得到了控制器和觀測器的增益矩陣，最后，用數(shù)值算例驗證了所提出方法的有效性.

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(責任編輯：方惠敏)

Observer-based RobustH∞Control for Nonlinear Singular Markovian Jump System with Time Delay

MA Yuechao, HU Xiuling

(CollegeofScience,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004,China)

The problem of observer-basedH∞control for nonlinear singular Markov jump system with time delay was studied. Firstly, a sufficient condition for the existence of the observer-based controller which can ensure the augmented system globally exponentially stable and satisfy a prescribedH∞performance level was given. Then, the gain matrices of the controller and observer were achieved by solving some linear matrix inequalities. Finally, numerical examples were given to demonstrate the effectiveness of the proposed design approach.

H∞control; exponential stabilization; observer; Markovian jump; linear matrix inequalities (LMIs)

2015-07-07

國家自然科學基金資助項目,編號61273004；河北省自然科學基金資助項目,編號F2014203085.

馬躍超(1963—)，男，遼寧鳳城人，教授，博士，主要從事廣義系統(tǒng)、魯棒控制、復雜系統(tǒng)等研究；通訊作者：胡秀玲(1990—)，女，山西呂梁人，碩士研究生，主要從事隨機系統(tǒng)、魯棒控制的研究， E-mail:1398881688@qq.com.

馬躍超,胡秀玲.基于觀測器的非線性廣義馬爾科夫跳變時滯系統(tǒng)的魯棒H∞控制[J].鄭州大學學報：理學版，2015,47(4)：24-32.

O231

A

1671-6841(2015)04-0024-09

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.04.005