冒小棟 張貞貞

摘 要：本文以1978年～2013年36個(gè)年度的江西省GDP為研究對(duì)象，主要借助于SAS等統(tǒng)計(jì)軟件，通過(guò)對(duì)原始數(shù)據(jù)的預(yù)處理，模型的識(shí)別、檢驗(yàn)和優(yōu)化，從而最終確定了ARIMA（3，1，0）模型，利用該模型對(duì)江西省的GDP進(jìn)行短期的誤差相對(duì)較小的預(yù)測(cè)和分析。

關(guān)鍵詞：時(shí)間序列；ARIMA；GDP；預(yù)測(cè)

引言

GDP是衡量一個(gè)國(guó)家綜合國(guó)力的重要指標(biāo)，具有相當(dāng)重要的研究?jī)r(jià)值和經(jīng)濟(jì)意義。本文基于數(shù)學(xué)建模的思想，用時(shí)間序列的分析方法，并借助統(tǒng)計(jì)軟件SAS對(duì)江西省近35年的GDP數(shù)據(jù)進(jìn)行了實(shí)證分析與預(yù)測(cè)，對(duì)江西省經(jīng)濟(jì)的研究，規(guī)律的探尋和方案的制定起到了一定的借鑒意義和現(xiàn)實(shí)價(jià)值。

1.時(shí)間序列分析法中的ARIMA模型

1.1ARIMA模型的簡(jiǎn)介

求和自回歸移動(dòng)平均模型，簡(jiǎn)記ARIMA模型（p，d，q），其結(jié)構(gòu)如下：

φ（B）dxt=Θ（B）εtE（εT）=0，Var（εt）=σ2ε，E（εtεs）=0，s≠tEεSεt=0，s

ARIMA模型的實(shí)質(zhì)是差分運(yùn)算與ARMA模型的組合，這說(shuō)明任何非平穩(wěn)序列如果能通過(guò)適當(dāng)?shù)碾A數(shù)的差分實(shí)現(xiàn)差分后平穩(wěn)，就可以對(duì)差分后的序列進(jìn)行ARMA模型的擬合。

2.江西省GDP數(shù)據(jù)的實(shí)證分析

數(shù)據(jù)來(lái)源于《江西省統(tǒng)計(jì)年鑒》，本文主要采集了1978年～2013年江西省的生產(chǎn)總值（按當(dāng)年價(jià)格計(jì)算的GDP），共36個(gè)數(shù)據(jù)，單位是百萬(wàn)元，根據(jù)該時(shí)間序列進(jìn)行建模預(yù)測(cè)，全程計(jì)算過(guò)程主要借助于軟件SAS9.1。

2.1數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性檢驗(yàn)

2.1.1時(shí)序圖與差分運(yùn)算

首先借助SAS軟件做出原始數(shù)據(jù)的時(shí)序圖，時(shí)序圖是一條相對(duì)規(guī)則的上升曲線，由此可以大致得出該組序列并非平穩(wěn)序列，我們可以初步判定數(shù)據(jù)的非平穩(wěn)性。對(duì)原始數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)（將取對(duì)數(shù)后的序列記為L(zhǎng)GDP），通過(guò)取對(duì)數(shù)可消除數(shù)據(jù)的異方差性，取對(duì)數(shù)后仍然無(wú)法滿足數(shù)據(jù)的平穩(wěn)，需進(jìn)一步對(duì)數(shù)據(jù)做差分來(lái)消除非平穩(wěn)性。一階差分時(shí)序圖顯示出序列的平穩(wěn)性，可以初步定性地判斷對(duì)數(shù)序列經(jīng)過(guò)一階差分后轉(zhuǎn)換成為一個(gè)平穩(wěn)序列，將該序列記為DLGDP。

2.1.2對(duì)序列做單位根的檢驗(yàn)

單位根的檢驗(yàn)方法有多種，本例中采用ADF檢驗(yàn)方法，結(jié)果如表1：

表1 江西省GDP數(shù)值的平穩(wěn)性檢驗(yàn)

ADF統(tǒng)計(jì)量顯著性水平檢驗(yàn)臨界值t統(tǒng)計(jì)量P值平穩(wěn)性

LGDP

1%-4262734896

5%-3552972849

10%-3209642375-338003438200715非平穩(wěn)

D（LGDP）

1%-3412614288

5%-3646342448

10%-2954021498-341261428800176平穩(wěn)

檢驗(yàn)結(jié)果顯示，LGDP序列單位根檢驗(yàn)后t統(tǒng)計(jì)量的值為-33800，大于1%和5%顯著性水平下的檢驗(yàn)臨界值，且P值為00715，大于005的顯著性水平，應(yīng)接受存在單位根的原假設(shè)，即對(duì)數(shù)序列LGDP非平穩(wěn)。一階差分對(duì)數(shù)序列DLGDP的參數(shù)估計(jì)量的t統(tǒng)計(jì)量值小于5%和10%顯著性水平下的臨界值，P值小于005，所以一階差分后的序列不存在單位根，即序列平穩(wěn)。

2.2對(duì)平穩(wěn)的一階差分序列進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)

在檢驗(yàn)的顯著水平005的條件下，延遲6階和12階的卡方檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的P值分別為00107，00474，均小于005，所以該差分序列可以看做非白噪聲序列，仍具有提取相關(guān)信息的價(jià)值，進(jìn)而可以進(jìn)行模型的擬合。

2.3擬合ARIMA（p，d，q）模型

模型中的d是指序列經(jīng)過(guò)差分變換后變?yōu)槠椒€(wěn)單整序列的階數(shù)，通過(guò)單位根的檢驗(yàn)可以確定，前文已對(duì)DLGDP做出了相關(guān)檢驗(yàn)，確定其為平穩(wěn)非白噪聲序列，通過(guò)了一階差分序列的單位根檢驗(yàn)，確定d=1。根據(jù)DLGDP序列的自相關(guān)圖呈現(xiàn)拖尾，偏自相關(guān)圖呈現(xiàn)結(jié)尾的情況，可以確定模型定價(jià)為AR（P）模型，自相關(guān)圖顯示，在延遲3階之后相關(guān)系數(shù)都在2倍標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)，可以初步確定p=3，偏自相關(guān)系數(shù)的結(jié)尾性確定q=0。另外，還可以根據(jù)SAS軟件輸出的信息，依據(jù)衡量統(tǒng)計(jì)模型擬合優(yōu)良性標(biāo)準(zhǔn)的AIC準(zhǔn)則，p=1時(shí)，AIC的絕對(duì)值最小是在p=3的時(shí)候，即可確定p=3，最終確定ARIMA（3，1，0）模型，也即AR（3）模型。實(shí)際上，可以用AR（3）模型擬合一階差分后的對(duì)數(shù)序列，用ARIMA（3，1，0）模型對(duì)原始序列進(jìn)行擬合。

2.4參數(shù)估計(jì)與模型的檢驗(yàn)

模型的檢驗(yàn)主要通過(guò)殘差的白噪聲檢驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證，如果模型通過(guò)了白噪聲檢驗(yàn)，說(shuō)明模型擬合的較為成功，否則，需要對(duì)模型重新進(jìn)行擬合和識(shí)別。

檢驗(yàn)結(jié)果是擬合統(tǒng)計(jì)量的P值都顯著大于顯著性水平005，可以認(rèn)為該殘差序列為白噪聲序列，已沒(méi)有可以提取的信息，且待估參數(shù)均是顯著的，說(shuō)明ARIMA（3，1，0）模型，即AR（3）模型擬合的較成功。

2.5ARIMA（3，1，0）模型對(duì)江西省GDP的預(yù)測(cè)

ARIMA模型的預(yù)測(cè)結(jié)果如表2，該模型預(yù)測(cè)出2014年～2017年的GDP，從預(yù)測(cè)值來(lái)看，江西省的GDP有不斷增長(zhǎng)的趨勢(shì)，說(shuō)明江西的經(jīng)濟(jì)發(fā)展勢(shì)頭比較好，經(jīng)濟(jì)的增長(zhǎng)應(yīng)該會(huì)帶動(dòng)GDP的增長(zhǎng)。

表2 GDP預(yù)測(cè)值

年份預(yù)測(cè)GDP值95%的置信區(qū)間下限95%的置信區(qū)間上限

2014146899947132747718161052177

2015152206263131696731172715794

2016156037553129404413182670693

2017158839964126339307191340620

3.結(jié)語(yǔ)

本文主要通過(guò)對(duì)江西省GDP時(shí)間序列模型的擬合，過(guò)程包括平穩(wěn)性的判別、白噪聲的判別、參數(shù)估計(jì)及模型的檢驗(yàn)，并利用擬合的模型對(duì)GDP的未來(lái)發(fā)展趨向做出預(yù)測(cè)，當(dāng)然擬合的模型不可能做到百分之百精確，擬合的數(shù)據(jù)不能與真實(shí)的數(shù)據(jù)完全吻合，也就不能完全反應(yīng)現(xiàn)實(shí)，但是模型相對(duì)精準(zhǔn)并且預(yù)測(cè)的結(jié)果在一定意義上還是能提供一些有用的信息，不過(guò)數(shù)據(jù)的補(bǔ)充，模型的修正會(huì)不斷完善擬合的模型，使之預(yù)測(cè)更加準(zhǔn)確。ARIMA模型既考慮了現(xiàn)象在時(shí)間序列上的依存性，又考慮了它的隨機(jī)波動(dòng)性，因此在短期預(yù)測(cè)上，它的優(yōu)勢(shì)就可以體現(xiàn)出來(lái)。因此，本文對(duì)GDP做短期預(yù)測(cè)選擇ARIMA模型是最佳的，它從從定量的角度反應(yīng)出經(jīng)濟(jì)的某些問(wèn)題，對(duì)將來(lái)的預(yù)測(cè)和解決方案的提出，風(fēng)險(xiǎn)的降低以及相應(yīng)損失的減少等都提供了借鑒的意義。（作者單位：華東交通大學(xué)）

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