(海軍航空工程學(xué)院電子信息工程系,山東煙臺(tái)264001)

0 引言

現(xiàn)代高科技局部戰(zhàn)爭(zhēng)的經(jīng)驗(yàn)表明,制空權(quán)和信息快速獲取能力已成為決定戰(zhàn)爭(zhēng)勝負(fù)最為關(guān)鍵的兩個(gè)因素,兩者密不可分。在這種背景下,多站尤其是運(yùn)動(dòng)多站無(wú)源定位跟蹤系統(tǒng)[1-2]因?yàn)榫哂行畔⑷诤夏芰Α㈦[蔽性好、機(jī)動(dòng)性強(qiáng)、探測(cè)距離遠(yuǎn)等優(yōu)點(diǎn),已成為獲取戰(zhàn)場(chǎng)信息的重要手段,獲取戰(zhàn)場(chǎng)中機(jī)動(dòng)目標(biāo)的狀態(tài)信息是一個(gè)難點(diǎn)。

目前對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤多采用交互式多模型結(jié)構(gòu),研究的重點(diǎn)在于模型集的選擇和與模型集對(duì)應(yīng)的濾波算法性能的改進(jìn)[3-6]。本文對(duì)后者進(jìn)行研究。

目前,非線性濾波算法主要有三類:一是基于局部線性化的擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)類算法[7]。當(dāng)系統(tǒng)方程非線性程度較高時(shí)EKF類算法線性化誤差大,跟蹤性能不穩(wěn)定。二是基于確定性采樣點(diǎn)的sigma點(diǎn)卡爾曼濾波算法,包括不敏卡爾曼濾波(UKF)[8-9]算法、容積卡爾曼濾波(CKF)算法[10]等。這類算法采用一組帶有權(quán)值的確定性采樣點(diǎn)來(lái)近似統(tǒng)計(jì)量的均值和方差信息,可視為EKF算法的改進(jìn),目前應(yīng)用比較廣泛,盡管跟蹤精度有所提高,不過(guò)仍未解決EKF類算法的缺點(diǎn)。三是基于隨機(jī)采樣點(diǎn)的粒子濾波類算法[11]。盡管理論上粒子濾波類算法能很好地近似后驗(yàn)概率密度函數(shù),但這需要無(wú)窮多隨機(jī)采樣點(diǎn),實(shí)際應(yīng)用中只能選擇有限的采樣點(diǎn)且存在粒子退化現(xiàn)象,導(dǎo)致粒子濾波算法計(jì)算量大且跟蹤性能不理想。

為了更好地利用sigma點(diǎn)卡爾曼濾波算法的確定采樣點(diǎn),文獻(xiàn)[12]提出了一種新的變換即邊緣化變換(MT)來(lái)計(jì)算隨機(jī)變量的前兩階矩信息(均值和方差)。邊緣化變換采用與UKF算法或者CKF算法相同的sigma點(diǎn),不過(guò)將非線性函數(shù)建模為隨機(jī)過(guò)程并進(jìn)一步將其描述為一系列Hermite多項(xiàng)式的線性組合,從而可以得到均值和方差的解析閉式解,保證了協(xié)方差矩陣的半正定性。MT假設(shè)Hermite多項(xiàng)式的系數(shù)具有分級(jí)先驗(yàn)分布,這些系數(shù)的后驗(yàn)概率分布可以通過(guò)變換后的sigma點(diǎn)求出,對(duì)系數(shù)進(jìn)行積分可以消除其影響從而解析計(jì)算出變換后的均值和方差信息。

本文將MT應(yīng)用于狀態(tài)更新過(guò)程,提出了基于MKF的新的運(yùn)動(dòng)多站無(wú)源跟蹤算法,將其與IMM結(jié)合來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的高精度跟蹤,并對(duì)其性能進(jìn)行了仿真分析。

1 機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤模型

考慮具有如下Markov跳變線性系統(tǒng)的機(jī)動(dòng)目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題。

式中,X k和Z k分別表示k時(shí)刻目標(biāo)的狀態(tài)及運(yùn)動(dòng)觀測(cè)站獲得的觀測(cè)量(本文采用的觀測(cè)量為角度),表示k-1時(shí)刻目標(biāo)按第i個(gè)模型運(yùn)動(dòng)時(shí)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,h k為與目標(biāo)狀態(tài)及觀測(cè)站狀態(tài)有關(guān)的非線性函數(shù),過(guò)程噪聲與測(cè)量噪聲w k～N(0,R)相互獨(dú)立。假設(shè)目標(biāo)在N個(gè)模型之間依Markov鏈進(jìn)行轉(zhuǎn)移,轉(zhuǎn)換概率已知且k-1時(shí)刻模型轉(zhuǎn)移到k時(shí)刻模型j(記為

2 IMM-MKF算法

2.1 MKF算法

假設(shè)已知N個(gè)模型的初始狀態(tài)估計(jì)都為E[X0],初始協(xié)方差矩陣估計(jì)P0=E[(X0-對(duì)k∈{1,…,∞},因?yàn)闋顟B(tài)方程為線性,在最小均方根誤差(MMSE)準(zhǔn)則下卡爾曼濾波(KF)是最優(yōu)濾波器,因此對(duì)第i個(gè)模型而言狀態(tài)預(yù)測(cè)過(guò)程通過(guò)KF來(lái)實(shí)現(xiàn),即

量測(cè)方程為非線性,本文采用M T來(lái)實(shí)現(xiàn)狀態(tài)更新,具體步驟為:

1)選擇先驗(yàn)分布矩陣Σ,該矩陣是p×p的對(duì)角矩陣(p≤5),對(duì)角元素至少兩個(gè)非零。先驗(yàn)矩陣為對(duì)角矩陣是因?yàn)榧僭O(shè)θj的各個(gè)元素服從高斯分布且相互獨(dú)立。p≤5是因?yàn)镸 T最多能夠準(zhǔn)確積分直到5階的多項(xiàng)式。

2)產(chǎn)生2n+1個(gè)sigma點(diǎn)χ=[X0,X1,…,X2n],即

式中,w和C為Hermite基函數(shù)的均值和協(xié)方差矩陣,C為對(duì)角矩陣,其對(duì)角元素如式(7)所示,H(χ)為在各sigma點(diǎn)處計(jì)算的Hermite多項(xiàng)式,Pθ|z為加權(quán)矩陣θ的后驗(yàn)分布。式(6)～式(9)在遞推過(guò)程中為常量,可以提前計(jì)算,從而大大減小算法計(jì)算量。

4)求解變換后的sigma點(diǎn)即根據(jù)χ計(jì)算的觀測(cè)量點(diǎn)集

5)計(jì)算k時(shí)刻觀測(cè)量的一步預(yù)測(cè)值^Z k|k-1

6)估計(jì)θi,j先驗(yàn)分布中的比例因子αj,用眾數(shù)作為其估計(jì)值,即

7)計(jì)算觀測(cè)量一步預(yù)測(cè)值的協(xié)方差矩陣

權(quán)增益及狀態(tài)更新過(guò)程與KF相同

通過(guò)上面推導(dǎo)可知,與EKF算法、UKF算法及CKF算法相比,MKF算法也保持了KF算法的結(jié)構(gòu),不同的是在對(duì)均值及協(xié)方差矩陣的估計(jì)上。

2.2 IMM-MKF算法流程

令k-1時(shí)刻第i個(gè)模型的模型概率為狀態(tài)估計(jì)為狀態(tài)估計(jì)協(xié)方差矩陣為,則從k時(shí)刻起IM M-MKF算法的計(jì)算流程為:

2)對(duì)k-1時(shí)刻狀態(tài)及其協(xié)方差估計(jì)的混合。k-1時(shí)刻與第j個(gè)模型匹配的MKF算法的混合初始估計(jì)為

3)濾波。k時(shí)刻得到觀測(cè)量z k后,將和作為此時(shí)與第j個(gè)模型匹配的MKF算法的輸入,進(jìn)行濾波得到k時(shí)刻狀態(tài)估計(jì)及其協(xié)方差估計(jì)計(jì)算模型似然概率

式中,c為歸一化常數(shù),且

5)狀態(tài)及協(xié)方差融合估計(jì)。按模型概率對(duì)N個(gè)模型輸出的狀態(tài)估計(jì)進(jìn)行加權(quán)可得k時(shí)刻對(duì)目標(biāo)的狀態(tài)估計(jì)為

需要注意的是,步驟5)只是輸出最終結(jié)果,不參與IMM算法的遞推過(guò)程。

3 算法仿真

以三機(jī)只測(cè)角跟蹤為例對(duì)IMM-MKF算法的性能進(jìn)行仿真分析。3架飛機(jī)作勻速直線運(yùn)動(dòng)且初始狀態(tài)分別為(-15 km,0 km,0 m/s,300 m/s)、(0 km,0 km,0 m/s,300 m/s)和(15 km,0 km,0 m/s,300 m/s)。目標(biāo)機(jī)動(dòng),初始狀態(tài)為(60 km,80 km,-200 m/s,-100 m/s),前90 s作帶有加速度擾動(dòng)的勻速直線運(yùn)動(dòng),加速度擾動(dòng)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差91～120 s作轉(zhuǎn)彎率為-0.1 rad/s的勻轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng),加速度擾動(dòng)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差121～200 s重作帶有加速度擾動(dòng)的勻速直線運(yùn)動(dòng)。三機(jī)測(cè)角標(biāo)準(zhǔn)差相同,都為0.5°;觀測(cè)時(shí)間間隔Ts=1s,連續(xù)觀測(cè)200s;兩個(gè)模型的初始模型概率相等,即μ1=μ2=0.5,模型概率轉(zhuǎn)移矩陣各算法初始化都假設(shè)目標(biāo)相對(duì)第一個(gè)觀測(cè)站的徑向距離在0～400 km內(nèi)服從均勻分布,目標(biāo)沿x軸和y軸的速度分量在-500～500 m/s內(nèi)服從均勻分布,結(jié)合第一個(gè)觀測(cè)站初始時(shí)刻角度測(cè)量值及均勻分布的統(tǒng)計(jì)特性可得目標(biāo)的初始狀態(tài)估計(jì)。對(duì)各算法200次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)可得位置RMSE及模型概率估計(jì)(以模型2為例)如圖1和圖2所示。

從圖1和圖2可以看出,將IMM結(jié)構(gòu)和MKF算法結(jié)合的思想是有效的。圖1中盡管各種算法跟蹤性能趨于一致,但I(xiàn)MM-MKF算法收斂速度快,在跟蹤初期就具有很高的跟蹤精度,從而能為指揮員提供快速、高精度的目標(biāo)指示結(jié)果。從圖1還可以看出IMM-MKF算法在跟蹤初期就很平穩(wěn),說(shuō)明MKF算法對(duì)模型交互的穩(wěn)定性。此外,從圖2可以看出IMM-MKF算法能夠更準(zhǔn)確地估計(jì)出模型的概率。

需要說(shuō)明的是,盡管推導(dǎo)過(guò)程復(fù)雜,MKF算法的最終形式很簡(jiǎn)潔,很多矩陣可以事先計(jì)算并存儲(chǔ),計(jì)算量較小,便于工程實(shí)現(xiàn)。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文將邊緣化變換(MT)引入狀態(tài)更新過(guò)程,提出了新的跟蹤算法即MKF算法,并將其與交互式多模型結(jié)合,提出了用于跟蹤機(jī)動(dòng)目標(biāo)的IMMMKF算法。仿真結(jié)果表明,上述改進(jìn)思想是有效的,在本文的仿真場(chǎng)景中取得了比已有典型IMM算法更好的跟蹤性能,為解決機(jī)動(dòng)目標(biāo)的穩(wěn)健跟蹤提供了新的解決思路。

圖1 不同機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤算法性能比較圖

圖2 模型估計(jì)概率示意圖

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