盧昌海

1974年春天，匈牙利布達(dá)佩斯應(yīng)用藝術(shù)學(xué)院的建筑學(xué)教授魯比克萌生了一個(gè)有趣的念頭，那就是設(shè)計(jì)一個(gè)教學(xué)工具來(lái)幫助學(xué)生直觀地理解空間幾何中的各種轉(zhuǎn)動(dòng)。經(jīng)過(guò)思考，他決定制作一個(gè)由一些小方塊組成的，各個(gè)面能隨意轉(zhuǎn)動(dòng)的3×3×3的立方體。魯比克為這一制作向匈牙利專利局申請(qǐng)了專利。這就是我們熟悉的魔方，也叫魯比克方塊。

6年后，魯比克的魔方經(jīng)過(guò)一位匈牙利商人兼業(yè)余數(shù)學(xué)家的牽頭，打進(jìn)了西歐及美國(guó)市場(chǎng)，并以驚人的速度成為風(fēng)靡全球的新潮玩具。

魔方之暢銷，最大的魔力就在于其數(shù)目驚人的顏色組合。一個(gè)魔方出廠時(shí)每個(gè)面各有一種顏色，總共有6種顏色，但這些顏色被打亂后，所能形成的組合數(shù)卻多達(dá)4325億億個(gè)。如果我們將這些組合中的每一種都做成一個(gè)魔方，這些魔方排在一起，可以從地球一直排到250光年外的遙遠(yuǎn)星空——也就是說(shuō)，如果我們?cè)谶@樣一排魔方的一端點(diǎn)上一盞燈，那么燈光要在250年后才能照到另一端！如果哪位勤勉的玩家想要嘗試所有的組合，哪怕他不吃、不喝、不睡，每秒鐘轉(zhuǎn)出十種不同的組合，也要花1500億年的時(shí)間才能如愿。與這樣的組合數(shù)相比，廣告商們常用的“成千上萬(wàn)”、“數(shù)以億計(jì)”、“數(shù)以十億計(jì)”等虛張聲勢(shì)、忽悠顧客的形容詞反倒變成了難得的謙虛。

魔方的玩家多了，比賽自然是少不了的。自1981年起，魔方愛(ài)好者們開始舉辦世界性的魔方大賽，從而開始締造自己的世界紀(jì)錄。截至2013年，復(fù)原魔方的最快紀(jì)錄已經(jīng)達(dá)到了令人吃驚的5.55秒。當(dāng)然，單次復(fù)原的紀(jì)錄存在一定的偶然性。為了減少這種偶然性，自2003年起，魔方大賽的冠軍改由多次復(fù)原的平均成績(jī)來(lái)決定，截至2013年，這一平均成績(jī)的世界紀(jì)錄為6.54秒。這些紀(jì)錄的出現(xiàn)，表明魔方雖有天文數(shù)字般的顏色組合，但只要掌握竅門，將任何一種給定的顏色組合復(fù)原所需的轉(zhuǎn)動(dòng)次數(shù)卻很可能并不多。

那么，最少需要多少次轉(zhuǎn)動(dòng)，才能確保無(wú)論什么樣的顏色組合都能被復(fù)原呢？這個(gè)問(wèn)題引起了很多人尤其是數(shù)學(xué)家們的興趣。這個(gè)復(fù)原任意組合所需的最少轉(zhuǎn)動(dòng)次數(shù)被數(shù)學(xué)家們戲稱為“上帝之?dāng)?shù)”，而魔方這個(gè)玩具世界的寵兒則由于 “上帝之?dāng)?shù)”而一舉侵入了學(xué)術(shù)界。

要研究“上帝之?dāng)?shù)”，當(dāng)然首先要研究魔方的復(fù)原方法。在玩魔方的過(guò)程中，將任何一種給定的顏色組合復(fù)原都是很容易的，不過(guò)魔方玩家們所用的復(fù)原方法是便于人腦掌握的方法，卻不是轉(zhuǎn)動(dòng)次數(shù)最少的，因此無(wú)助于尋找“上帝之?dāng)?shù)”。尋找轉(zhuǎn)動(dòng)次數(shù)最少的方法是一個(gè)有一定難度的數(shù)學(xué)問(wèn)題。早在20世紀(jì)90年代中期，人們就有了較實(shí)用的算法，可以用平均15分鐘左右的時(shí)間找出復(fù)原一種給定的顏色組合的最少轉(zhuǎn)動(dòng)次數(shù)。從理論上講，如果有人能對(duì)每一種顏色組合都找出這樣的最少轉(zhuǎn)動(dòng)次數(shù)，那么這些轉(zhuǎn)動(dòng)次數(shù)中最大的一個(gè)無(wú)疑就是“上帝之?dāng)?shù)”了。但可惜的是，“4325億億”這個(gè)巨大數(shù)字成了人們窺視“上帝之?dāng)?shù)”的攔路虎。如果采用上面提到的算法，哪怕用一億臺(tái)計(jì)算機(jī)同時(shí)進(jìn)行，也要用超過(guò)1000萬(wàn)年的時(shí)間才能完成。

看來(lái)蠻干是行不通的。數(shù)學(xué)家們于是求助于他們的老本行——數(shù)學(xué)。魔方的顏色組合雖然千變?nèi)f化，其實(shí)都是由一系列基本操作——轉(zhuǎn)動(dòng)——產(chǎn)生的。對(duì)于那些操作，數(shù)學(xué)家們的“武器庫(kù)”中有一種非常有效的工具來(lái)對(duì)付它，這工具叫作群論，在它的幫助下，巧妙的思路出現(xiàn)了。

1992年，德國(guó)數(shù)學(xué)家科先巴提出了一種尋找魔方復(fù)原方法的新思路。他發(fā)現(xiàn)，在魔方的基本轉(zhuǎn)動(dòng)方式中，有一部分可以自成系列，通過(guò)這部分轉(zhuǎn)動(dòng)可以形成將近200億種顏色組合。利用這200億種顏色組合，科先巴將魔方的復(fù)原問(wèn)題分解成兩個(gè)步驟：第一步是將任意一種顏色組合轉(zhuǎn)變?yōu)槟?00億種顏色組合之一，第二步則是將那200億種顏色組合復(fù)原。如果我們把魔方的復(fù)原比作是讓一條汪洋大海中的小船駛往一個(gè)固定目的地，那么科先巴提出的那200億種顏色組合就好比是一片特殊水域——一片比那個(gè)固定目的地大了200億倍的特殊水域。他提出的兩個(gè)步驟就好比是讓小船首先駛往那片特殊水域，然后再?gòu)哪抢锺偼莻€(gè)固定目的地。在汪洋大海中尋找一片巨大的特殊水域，顯然要比直接尋找那個(gè)小小的目的地容易得多，這就是科先巴新思路的巧妙之處。

3年之后，有人利用科先巴的新思路給出了第一個(gè)估算結(jié)果。此人名叫里德，是美國(guó)佛羅里達(dá)大學(xué)的數(shù)學(xué)家。1995年，里德通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，最多經(jīng)過(guò)12次轉(zhuǎn)動(dòng)，就可以將魔方的任意一種顏色組合轉(zhuǎn)變?yōu)榭葡劝托滤悸分心?00億種顏色組合之一;而最多經(jīng)過(guò)18次轉(zhuǎn)動(dòng)，就可以將那200億種顏色組合中的任意一種復(fù)原。這表明，最多經(jīng)過(guò)12+18=30次轉(zhuǎn)動(dòng)，就可以將魔方的任意一種顏色組合復(fù)原。

在得到上述結(jié)果后，里德很快對(duì)自己的估算作了改進(jìn)，將結(jié)果從30減少為29，這表明“上帝之?dāng)?shù)”不會(huì)超過(guò)29。此后隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)家們對(duì)里德的結(jié)果又作出了進(jìn)一步改進(jìn)。2006年，奧地利開普勒大學(xué)符號(hào)計(jì)算研究所的博士生拉杜將結(jié)果推進(jìn)到了27。2007年，美國(guó)東北大學(xué)的計(jì)算機(jī)科學(xué)家孔克拉和庫(kù)伯曼又將結(jié)果推進(jìn)到了26。

這些計(jì)算表明，“上帝之?dāng)?shù)”不會(huì)超過(guò)26。但是，所有這些計(jì)算的最大優(yōu)點(diǎn)——利用科先巴新思路中那片特殊水域——同時(shí)也成了它最致命的弱點(diǎn)，因?yàn)樗鼈兘o出的復(fù)原方法都必須經(jīng)過(guò)那片特殊水域?？墒聦?shí)上，很多顏色組合的最佳復(fù)原方法根本就不經(jīng)過(guò)那片特殊水域。因此，用科先巴新思路得到的復(fù)原方法未必是最佳的，由此對(duì)“上帝之?dāng)?shù)”所做的估計(jì)也極有可能是高估。

可是，如果不引進(jìn)科先巴新思路中的特殊水域，計(jì)算量又實(shí)在太大，怎么辦呢？數(shù)學(xué)家們決定采取折中手段，即擴(kuò)大那片特殊水域的面積。因?yàn)樘厥馑蛟酱?，最佳?fù)原路徑恰好經(jīng)過(guò)它的可能性也就越大（當(dāng)然，計(jì)算量也會(huì)有相應(yīng)的增加）。2008年，研究“上帝之?dāng)?shù)”長(zhǎng)達(dá)15年之久的計(jì)算機(jī)高手羅基奇運(yùn)用了相當(dāng)于將科先巴新思路中的特殊水域擴(kuò)大幾千倍的巧妙方法，在短短幾個(gè)月的時(shí)間內(nèi)對(duì)“上帝之?dāng)?shù)”連續(xù)發(fā)動(dòng)了四次猛烈攻擊，將它的估值從25一直壓縮到了22。

由此我們進(jìn)一步知道，“上帝之?dāng)?shù)”一定不會(huì)超過(guò)22。但是，羅基奇雖然將科先巴新思路中的特殊水域擴(kuò)展得很大，終究仍有一些顏色組合的最佳復(fù)原方法是無(wú)需經(jīng)過(guò)那片特殊水域的，因此，“上帝之?dāng)?shù)”很可能比22更小。那么，它究竟是多少呢？種種跡象表明，它極有可能是20。這是因?yàn)?，人們?cè)谶^(guò)去這么多年的所有努力，其中包括羅基奇直接計(jì)算過(guò)的大約4000萬(wàn)億種顏色組合中，都從未遇到過(guò)任何必須用20次以上轉(zhuǎn)動(dòng)才能復(fù)原的顏色組合，這表明“上帝之?dāng)?shù)”很可能不大于20;同時(shí)，人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了幾萬(wàn)種顏色組合，它們必須要用20次轉(zhuǎn)動(dòng)才能復(fù)原，這表明“上帝之?dāng)?shù)”不可能小于20。將這兩方面綜合起來(lái)，數(shù)學(xué)家們普遍相信，“上帝之?dāng)?shù)”的真正數(shù)值就是20。

2010年8月，這個(gè)游戲與數(shù)學(xué)交織而成的神秘的“上帝之?dāng)?shù)”終于水落石出：研究“上帝之?dāng)?shù)”的元老科先巴、新秀羅基奇，以及另兩位合作者——戴維森和德斯里奇——宣布了對(duì)“上帝之?dāng)?shù)”是20的證明。

因此，現(xiàn)在我們可以用數(shù)學(xué)特有的確定性來(lái)宣布“上帝之?dāng)?shù)”的數(shù)值了，那就是：20。 □endprint