張宏建，黃志剛，李夢林

（北京工商大學 材料與機械工程學院，北京 100048）

0 引言

功能梯度材料（FGM）是一種由兩種或兩種以上性質完全不同的材料組成的新型復合材料，其各組分材料所占的體積分量隨空間位置的改變呈連續(xù)變化，其宏觀物性系數(shù)也表現(xiàn)出隨空間位置連續(xù)變化的性質。根據(jù)結構使用要求，基于計算機輔助設計和優(yōu)化，應用先進材料制作工藝將兩種或兩種以上性質完全不同的材料組合在一起，以達到不同材料優(yōu)點充分體現(xiàn)的目的。合成的結構在內部材料性質和組分具有連續(xù)梯度變化的性質，在外力或溫度變化作用下，結構的性質和功能也會呈梯度變化[1，2]。

由于功能梯度材料（簡稱FGM）在航空、航天以及核反應堆等超高溫工作環(huán)境中的應用日益廣泛，分析該材料組成物體的熱傳導問題十分重要[3，4]。許楊健[5，6]等用有限元法和有限差分法研究了FGM 板在第一類和第三類熱邊界作用下的常物性和變物性瞬態(tài)熱傳導問題。Jin Zhihe[7]等研究了有限冷卻/加熱率下FGM 板熱傳導問題的漸近解。本文應用有限單元法求解該問題，主要研究了三側恒溫下組分對常物性2D-FGM 板瞬態(tài)加熱溫度場的影響。

1 分析模型與描述

研究常物性二維FGM 平板在不同邊界溫度函數(shù)作用下的溫度場分布。其熱傳導微分方程可通過熱力學第一定律來建立，即結構中一微元體由于溫度變化產生的熱量等于外熱源傳入微元體的熱量和內熱源產生的熱量之和?？杀硎緸椋?/p>

式中：dQch—儲存到微元體中的熱量；dQsh—內部熱源提供的熱量；dQT—微元體升溫所需的熱量。

模型圖如圖1 所示。單位時間傳入微元體熱量dQch=單位時間微元體熱源生成熱量dQsh=qvdxdy；式中：qv—熱源強度；單位時間微元體溫度改變所需熱量式中，ρ—微元體密度（kg/m3）；cρ—微元體的定壓比熱（J/（kg·K））。微元體熱傳導微分方程可表示如下：

圖1 熱傳導微分方程推導模型Fig.1 The applied model of twodimensional heat conduction equation

將式（2）左右兩側同時對研究區(qū)域積分，結構熱傳導微分方程如下：

式中：kx，ky—熱導率。

2 算例與分析

2.1 模型選取

以圖2 所示，由Al 1100，Ti-6Al-4V 和ZrO2三種材料組成的二維金屬/金屬/陶瓷FGM 平板為主要研究模型，研究第一類換熱邊界條件下模型的瞬態(tài)溫度場分布以及組分對板的影響。本文結合FGM 實際應用環(huán)境和邊界條件對研究模型作如下假設：

（1）二維功能梯度板上邊界為陶瓷ZrO2材料，下邊界左面是金屬Al 1100 材料，右面是金屬Ti-6Al-4V 材料，其物性系數(shù)是坐標x，y 的連續(xù)函數(shù)。

（2）該板的加熱邊界條件為：初始溫度為已知值T0，突然在四周邊界施加第一類換熱邊界條件為Ta，Tb，Tc以及Td。

圖2 第一類換熱邊界條件下的2D-FGM 板Fig.2 The first kind of heat transfer boundary conditions of 2D-FGM plates

（3）該板周邊絕熱，內部無內熱源。

該分析模型寬度為l，厚度為b。模型與坐標系選取如圖2 所示。

2.2 有限元解析解

將平面離散成N 個三角形單元，單元面積為S，三個節(jié)點按逆時針轉向以i，j，k 表示。時間過程劃分為n個間隔△tn，n=2，3，…，N。全部節(jié)點在瞬時tn-1的溫度值為Tn-1。在△tn內，在對流換熱邊界條件下，常物性FGM 板瞬態(tài)溫度場熱傳導問題的有限元基本方程[8]為：

2.3 正確性檢驗

設平面矩形區(qū)域寬為l=40mm，厚為b=10mm。矩形區(qū)域四周均作用第一類邊界條件0K，初始溫度為300K。根據(jù)有限元基本方程，使用Fortran 計算機高級語言編寫了平面網(wǎng)格自動劃分程序和常物性FGM 平面熱傳導有限元計算程序，將矩形區(qū)域劃分為1701 個節(jié)點，3200 個單元。并應用數(shù)學分析方法得到簡化后的解析結果，與有限元程序結果進行對比，檢驗研究結果的正確性。

表中FEM 表示有限元解，MAM 表示數(shù)學分析解，并選取了平面區(qū)域水平中線上7 個點的溫度值。計算t=1.0s，3.0s，5.0s 時該研究模型特殊非均勻材料平面溫度場。

表1 溫度場正確性檢驗Tab.1Testifyingtemperaturedistributionaccuracy

從以上誤差分析可知，在每一時刻兩種熱傳導解的最大誤差都遠小于5%，這是可以滿足工程要求的。

3 結果與討論

上邊界加熱溫度Tb為900K，左右下邊界溫度值Tc、Td和Ta取300K 時，初始溫度為300K，t=1.0s 時刻形狀分布系數(shù)mx對板影響的溫度場結果如圖3 所示。

（1）2D-FGM 板平面幾何結構及其外在溫度載荷關于軸對稱，在不同組分形狀分布系數(shù)下，系數(shù)由小到大，瞬態(tài)溫度場分布圖3（a）～（c），由關于軸a=0.5 對稱變?yōu)榉菍ΨQ再到對稱。

圖3 mx對板影響圖Fig.3 mxeffects on board

（2）隨著組分形狀分布系數(shù)的遞增，圖示溫度分布線條稀疏程度越來越稀。

（3）隨著系數(shù)的增加，2D-FGM 板內部的高溫區(qū)不斷向兩側和下側逐步擴展。

4 結論

使用Fortran 計算機高級語言對常物性FGM 平面熱傳導問題的有限元算法進行了程序編寫，并應用解析方法對該計算程序進行了正確性檢驗。

組分形狀分布系數(shù)mx對2D-FGM 熱傳導性能的影響巨大，加熱時mx從0.05 增加到10.0 導致結構內部最低等溫線值提高了62%。該參數(shù)能迅速提升2D-FGM 的熱傳導能力：在加熱情況下，隨著mx增大，t=1.0s 時刻的區(qū)域最內部等溫線值會不斷攀升。

[1]鄭子樵，粱叔全．功能梯度材料的研究與展望[J]．功能材料，1992，1.

[2]季孟波，洪燕，何安國，等．功能梯度材料及其復合電鍍制備現(xiàn)狀與進展[J]．電鍍與精飾，2005，5.

[3]韓杰才，徐麗，王保林，等．梯度功能材料的研究進展及展望[J].固體火箭技術，2004，3.

[4]仲政，吳林志，陳偉球．功能梯度材料與結構的若干力學問題研究進展[J].力學進展，2010，5.

[5]許楊健，涂代惠.對流換熱邊界下變物性梯度功能材料板瞬態(tài)溫度場有限元分析[J].復合材料學報，2003，2.

[6]許楊健，趙志崗.梯度功能材料板瞬態(tài)溫度場有限元分析[J].功能材料，1999，1.

[7]JIN Z H. Heat conduction in a functionally graded plate subjected to finite cooling/heating rates:an asymptotic solution [J].Materials，2011，12.

[8]王洪綱．熱彈性力學概論[M]．北京：清華大學出版社，1989．