向昱丞，柳 波

（1.中國兵器工業(yè)第五八研究所 特種電子技術(shù)部，四川 綿陽 621000；2.綿陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，四川 綿陽 621000）

0 引言

自主式移動機(jī)器人正日益應(yīng)用到工業(yè)、科研項(xiàng)目和其他許多人類不可能直接介入的領(lǐng)域。移動機(jī)器人的控制問題與多年來廣泛的實(shí)際應(yīng)用密切相關(guān)。近年來已經(jīng)有大量的關(guān)于移動機(jī)器人控制的研究工作在開展。

軌跡控制的任務(wù)主要是盡量減少移動機(jī)器人實(shí)際位置，對參考軌跡所指定位置的偏離。簡化的非線性模型作為一種控制方法，僅僅描述了機(jī)器人當(dāng)前運(yùn)動參數(shù)與參考軌跡預(yù)定參數(shù)的運(yùn)動學(xué)關(guān)系，一般的研究方法主要有兩種：一是基于參考軌跡的線性化控制設(shè)計(jì)，通常使用極點(diǎn)配置調(diào)整控制器參數(shù)；二是基于反饋線性或非線性控制設(shè)計(jì)方法。

盡管這些方法具有一定效果，但針對軌跡控制系統(tǒng)的研究，最優(yōu)控制法的效果更好。一些研究中也提出采用設(shè)定參數(shù)控制法解決一些優(yōu)化問題，其跟蹤質(zhì)量取決于設(shè)定的參數(shù)，要想得到好的控制效果，其設(shè)定的參數(shù)必須是優(yōu)化的。其結(jié)果是導(dǎo)致得出的控制律由選取的參數(shù)所決定。

本文主要研究了基于最優(yōu)控制的移動機(jī)器人軌跡運(yùn)動系統(tǒng)的合成。該問題的解決以最優(yōu)控制和奇異攝動法為基礎(chǔ)。文中對所研究的問題進(jìn)行了降階處理，并對控制器進(jìn)行了簡化，最終給出了其控制律的實(shí)現(xiàn)。

1 軌跡控制

1.1 移動機(jī)器人的數(shù)學(xué)模型

圖1 顯示了移動機(jī)器人在平面中的運(yùn)動，式（1）為其運(yùn)動學(xué)模型：

圖1 平面上移動機(jī)器人的運(yùn)動Fig.1 Motion of mobile robot on the plane

式中：X，Y 為移動機(jī)器人在平面中的當(dāng)前坐標(biāo)；V1，V2，V 分別為左右履帶及機(jī)器人的線速度；ω—機(jī)器人的角速度；φ—向量與軸的夾角。

假設(shè)兩個(gè)電機(jī)完全相同，移動機(jī)器人在水平面運(yùn)動的動力學(xué)方程如下[1，2]：

其中m，J 分別為機(jī)器人的質(zhì)量和慣性力矩；n—齒輪比；r—驅(qū)動輪半徑；cm—電機(jī)的轉(zhuǎn)矩常數(shù)；I1，I2—電機(jī)的電樞繞組中的電流；U1，U2—電機(jī)的電樞電壓；Rm，L 分別為電機(jī)中電樞繞組的電阻和電感；ce—電機(jī)電動勢常數(shù)。

1.2 移動機(jī)器人的運(yùn)動軌跡控制

假設(shè)給定的軌跡如下：pref（t）=（Xref（t），Yref（t），φref（t））。圖2 是對移動機(jī)器人軌跡追蹤誤差[3～7]的描述：

對式（3）求微分，我們可以得到參考軌跡下移動機(jī)器人追蹤誤差的非線性模型。方程組線性化后得：

其中u1=Vref－V，u2=ωref－ω。現(xiàn)在的問題是尋求輸入信號u1，u2根據(jù)最優(yōu)控制理論，它們可以通過積分二次型性能指標(biāo)函數(shù)的最小值獲得：

圖2 移動機(jī)器人軌跡運(yùn)動控制Fig.2 Trajectory motion control ofmobile robot

已知控制輸入u1，u2，機(jī)器人的期望速度計(jì)算：Vreq=Vrefu1，ωreq=ωref－u2。接下來需要將機(jī)器人的線速度和角速度穩(wěn)定在期望值Vreq和ωreq附近，這可以轉(zhuǎn)化為最優(yōu)控制問題，如系統(tǒng)運(yùn)動軌跡的二次型性能指標(biāo)函數(shù)：

2 軌跡控制問題的解

2.1 位置控制環(huán)的合成

基于系統(tǒng)（4）、（5）的最優(yōu)解的位置控制環(huán)的設(shè)計(jì)，可以寫成以下形式：

約束條件為：

為簡化起見，忽略時(shí)間依懶性，式（7）、（8）在能控矩陣對（A（t），B）（適用于所有Vref和ωref不為零的情況）下的解[8]為：這里的PK為Riccati 矩陣差分方程的一個(gè)對稱正定解，滿足：0。則移動機(jī)器人線速度和角速度的期望值為：Vreq=Vrefg11e1－g12e2－g13e3；ωreq=ωref－g21e1－g22e2－g23e3。

2.2 速度控制環(huán)的合成

速度控制環(huán)合成的任務(wù)，我們表述為以下形式：

約束條件為：

如果系統(tǒng)（10）是可控可觀測的，則系統(tǒng)（9）、（10）的最優(yōu)控制問題有唯一的解[9]：

其中P 為Riccati 矩陣代數(shù)方程的一個(gè)解，滿足：0=-ATP-PAT+PBTR-1BP-Q。該解的主要缺點(diǎn)是：一方面對Riccati 矩陣方程進(jìn)行實(shí)時(shí)求解是很困難的；另一方面要求測量用于評估控制效果的狀態(tài)向量的所有組件，這對控制策略（11）的使用帶來更大的限制。因?yàn)橥ǔC(jī)器人裝備有電機(jī)角速度傳感器，但不是電流傳感器。假設(shè)我們測得移動機(jī)器人電機(jī)的角速度ωr1和ωr2，由式（1）容易得到：

可用以下輸出方程對狀態(tài)空間方程（10）加以補(bǔ)充：

由于無窮小量ε 和赫爾維茨矩陣A22，式（11）和（15）的解漸進(jìn)相等[8]。

由系統(tǒng)式（13）有：xs=C1-1y。代入式（11）和（16）得：

式（15）～（17）是移動機(jī)器人速度控制次優(yōu)問題的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，對衰減問題的解決是必不可少的。在快慢子系統(tǒng)穩(wěn)定的情況下，區(qū)間（0，ε*）內(nèi)原始閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。臨界值ε*是原始閉環(huán)系統(tǒng)魯棒性的一個(gè)重要指標(biāo)，ε*值越大，系統(tǒng)魯棒性就越好。

3 軌跡運(yùn)動控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)

將控制問題分解成位置控制和速度控制兩個(gè)子問題，形成了如圖3 所示的軌跡控制的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。系統(tǒng)主要包括兩個(gè)部分：參考模塊和執(zhí)行模塊。參考模塊位于PC 端，它由軌跡發(fā)生器、位置控制環(huán)和誤差計(jì)算單元組成。執(zhí)行單元置于移動機(jī)器人主板上，包括速度控制環(huán)和位置估計(jì)單元。

3.1 移動機(jī)器人軌跡發(fā)生器

用平面內(nèi)任意點(diǎn)M表示移動機(jī)器人，其將沿著參考坐標(biāo)Xref，Yref形成的參考軌跡行進(jìn)。M 點(diǎn)的速度可以用以下連續(xù)時(shí)間函數(shù)進(jìn)行估計(jì)：

圖3 移動機(jī)器人控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Mobile robot control system structure diagram

由于移動機(jī)器人是一個(gè)非完整約束系統(tǒng)，因此存在一個(gè)如下形式的非完整約束[11]：-VXsinφ+VYcosφ=0。此約束不允許任意設(shè)置機(jī)器人的角坐標(biāo)φ，其必然是以下微分方程的一個(gè)解[11]

其中bMcosγ 和bMsinγ 為與機(jī)器人相關(guān)的坐標(biāo)系統(tǒng)中M 點(diǎn)的常數(shù)坐標(biāo)。對式（18）進(jìn)行積分，可以得到φref的變化規(guī)律。

3.2 移動機(jī)器人的位置估計(jì)

通過測量電機(jī)的角速度ωr1和ωr2，可以對移動機(jī)器人的當(dāng)前位置進(jìn)行估計(jì)。根據(jù)式（12），可以得到其線速度和角速度：。根據(jù)式（1），由歐拉近似方程可得移動機(jī)器人的當(dāng)前位置：

其中，Ts為采樣周期，下標(biāo)p 匹配最后一個(gè)采樣點(diǎn)的對應(yīng)值。

4 控制系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)測試

4.1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及參數(shù)

圖4 為所設(shè)計(jì)的履帶式移動機(jī)器人。機(jī)器人參數(shù)：履帶長l=0.245m，驅(qū)動輪半徑r=0.03m，質(zhì)量m=0.83kg，中心到履帶的距離為d=0.19m。

電機(jī)參數(shù)：額定電壓UH=7.2V，電樞電阻Rm=100Ω，電樞電感L =0.0123H，齒輪比n=86.8。用兩個(gè)正交編碼器測量電機(jī)轉(zhuǎn)速。

4.2 實(shí)驗(yàn)過程及結(jié)果

圖4 履帶式移動機(jī)器人Fig.4 Tracked mobile robot

作一個(gè)圓作為測試軌跡。初始時(shí)刻，移動機(jī)器人處于點(diǎn)（0，0），軌跡從點(diǎn)（0，0.25）開始移動。諧波信號Xref（t）和Yref（t）頻率的設(shè)置為可使得參考軌跡pref（t）形成40 秒一圈。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示系統(tǒng)具有較好性能。機(jī)器人進(jìn)入?yún)⒖架壽E持續(xù)8 秒，偏差為｜eX｜≤0.22m，｜eY｜≤0.008m，｜eφ｜≤0.05rad，相對軌跡追蹤誤差不超過9%。

5 結(jié)論

本文研究了履帶式移動機(jī)器人軌跡運(yùn)動最優(yōu)控制問題。系統(tǒng)包括了兩個(gè)模塊（參考模塊與執(zhí)行模塊）和兩個(gè)回路（位置控制環(huán)與速度控制環(huán)）。通過對描述追蹤誤差的線性二次型優(yōu)化問題的求解，實(shí)現(xiàn)了軌跡控制回路的合成。其數(shù)學(xué)模型為移動機(jī)器人參考軌跡的跟蹤誤差動態(tài)系統(tǒng)的切線線性化，一般情況下，其控制律是一種時(shí)變系數(shù)的跟蹤誤差反饋。機(jī)器人線速度和角速度的時(shí)變性決定了系統(tǒng)的非穩(wěn)定性質(zhì)。如果線速度和角速度速度恒定不變，系統(tǒng)將變得穩(wěn)定。

移動機(jī)器人的速度（線速度和角速度）控制環(huán)的設(shè)計(jì)也是同樣基于了對線性二次型優(yōu)化問題的解決。為了簡化此問題，從計(jì)算和最優(yōu)控制律實(shí)施的角度出發(fā)，使用奇異攝動法得到其漸近逼近。

通過研制的履帶式機(jī)器人對軌跡運(yùn)動控制系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該控制系統(tǒng)對控制目標(biāo)具有較好的控制效果。

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