陳新偉

題目 （2014年山東理21）已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，A為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線l交C于另一點(diǎn)B，交x軸的正半軸于點(diǎn)D，且有|FA|=|FD|.當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3時(shí)，△ADF為正三角形.

（1）求C的方程;

（2）若直線l1∥l，且l1和C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)E，

（ⅰ）證明直線AE過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo);

（ⅱ）△ABE的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

本題考查的內(nèi)容豐富、包羅萬(wàn)象，涉及拋物線定義、方程、幾何性質(zhì)、焦點(diǎn)弦的特性、直線與拋物線的位置關(guān)系、切線問(wèn)題等諸多基礎(chǔ)知識(shí).在圓錐曲線背景下考査定點(diǎn)、最值問(wèn)題一直以來(lái)都是高考熱點(diǎn).下面老師從多個(gè)角度思考分析探究這一問(wèn)題，揭示這一高考試題考査的內(nèi)容與目的.

一、問(wèn)題剖析

條件及設(shè)問(wèn)中涉及“五點(diǎn)、四線、兩等量”，“五點(diǎn)”：F、A、D、E、B，B、D、E三點(diǎn)的產(chǎn)生依賴(lài)于點(diǎn)A，而點(diǎn)D有在x軸的正半軸的位置限制，點(diǎn)E是直線與拋物線相切時(shí)的切點(diǎn)，點(diǎn)B是直線AD與拋物線的交點(diǎn);“四線”：l、l1分別與拋物線相交、相切，并且l1∥l，直線AE過(guò)（ⅰ）中定點(diǎn)且是△ABE的一邊，直線EB因E、B的確定而產(chǎn)生;“兩等量”即為等量方程|FA|=|FD|和（?。┲兄本€過(guò)的定點(diǎn).縱觀此題條件及設(shè)問(wèn)，我們發(fā)現(xiàn)“五點(diǎn)、四線、兩等量”的數(shù)學(xué)元素間的因果關(guān)系、變化聯(lián)系均為兩點(diǎn)A、F所致，針對(duì)本題而言，這就是“問(wèn)題的心臟”.

1.第（1）問(wèn)剖析

思考維度1 點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，可思考采用拋物線的定義，因?yàn)辄c(diǎn)D在x軸的正半軸，但點(diǎn)D與焦點(diǎn)F的左右位置不明確，所以要注意線段FD長(zhǎng)度的代數(shù)表達(dá)形式.

解法1：設(shè)D（x0，0），x0>0，由題意F（p2，0），當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3時(shí)，由|FA|=|FD|及拋物線定義得：3+p2=|x0-p2|，故x0=3+p或x0=-3（舍）;又因△ADF為正三角形，故F、D中點(diǎn)為3，即x0+p22=3，p=2，所以C的方程為y2=4x.

思考維度2 拋物線、正三角形均具有很好的平面幾何性質(zhì)，可根據(jù)題中涉及到的平面幾何元素構(gòu)造代數(shù)方程，但要警惕由點(diǎn)D位置造成的多解問(wèn)題，注意將代數(shù)問(wèn)題還原為幾何特征進(jìn)行驗(yàn)證.

解法2：設(shè)A（3，yA），由題意|kAF|=3，故|yA||3-p2|=3，所以y2A=3（3-p2）2，由于y2A=6p，故p2-20p+36=0，解得p=2或p=18.當(dāng)p=18時(shí)，F(xiàn)（9，0），顯然A在點(diǎn)x=p2左側(cè)且|FA|=12，由|FA|=|FD|且△ADF為正三角形得：D（-3，0），這與點(diǎn)D在x軸的正半軸矛盾，故y2=36x應(yīng)舍去.所以C的方程為y2=4x.

解法3：如圖，當(dāng)D在F點(diǎn)右側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)A向拋物線準(zhǔn)線x=-p2作垂線，垂足為M，由拋物線定義得|AM|=|FA|且AM∥FD，又因|FA|=|FD|=|AM|，所以AM∥FD且|AM|=|FD|，故四邊形ADFM為平行四邊形.因△ADF為正三角形，過(guò)F向AM作垂線，垂足為F′，則F′為A、M中點(diǎn)，即p2=12（3-p2），故p=2，所以C的方程為y2=4x.當(dāng)點(diǎn)D在焦點(diǎn)F左側(cè)時(shí)，由|FD|=|AM|=xA+p2>p2，顯然可知點(diǎn)D位于x軸負(fù)半軸，不合題意.故C的方程為y2=4x.

點(diǎn)D的位置決定了拋物線的多樣性，如果僅僅抓住構(gòu)建含p的方程，而忽視對(duì)點(diǎn)D限制條件的思考，就會(huì)導(dǎo)致多解，后續(xù)解答無(wú)從下手，這也是同學(xué)們失分較多的重要原因.由此可見(jiàn)，解析幾何的基本思想是利用坐標(biāo)法探究圖形具有的幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用能很自然地想到，但解題中要注意由“形”到“數(shù)”和“數(shù)”到“形”的充要性.這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)要“嚴(yán)謹(jǐn)”的學(xué)科特點(diǎn).

2.第（2）問(wèn)剖析

第（2）問(wèn)在第（1）問(wèn)的基礎(chǔ)上增加了拋物線的一條切線l1，利用l1∥l這一條件，使點(diǎn)E的位置得以確定，促使我們?nèi)ニ伎碱}中涉及到的“五點(diǎn)、四線”各元素之間的聯(lián)系.

（1） 第（2）問(wèn)子問(wèn)題（?。┢饰?/p>

由拋物線方程的求得，我們確定了五點(diǎn)中的F，其余四點(diǎn)的產(chǎn)生順序?yàn)锳→D→B→E，抓住問(wèn)題根源“點(diǎn)A”求出“點(diǎn)E”就成為解決（?。┑年P(guān)鍵.下面我們把（?。┓纸獬汕蟆包c(diǎn)E”的坐標(biāo)及證直線AE過(guò)定點(diǎn)兩個(gè)問(wèn)題來(lái)解決.

問(wèn)題1 求“點(diǎn)E”的坐標(biāo)

思考維度1 由l1∥l得直線l1斜率，因直線l1與拋物線相切，通過(guò)方程聯(lián)立求點(diǎn)E.

解法1：設(shè)A（x1，y1），E（x2，y2），由拋物線定義知|FA|=x1+1，因|FA|=|FD|得D（x1+2，0），故kAD=-y12，由l1∥l，則kl1=kAD=-y12，設(shè)直線l1：y=-y12x+m，y=-y12x+m

y2=4x，y1y2+8y-8m=0，故y2=-4y1，x2=y224=4y21=44x1=1x1，故E（1x1，-4y1）.

思考維度2 運(yùn)用過(guò)拋物線上一點(diǎn)的切線方程求切線斜率，由l1∥l求點(diǎn)E坐標(biāo).

解法2：設(shè)E（x2，y2），因l1與拋物線相切，易得直線l1：yy2=2（x+x2），所以kl1=2y2，由解法1知kAD=-y12，又因l1∥l，故2y2=-y12，所以y2=-4y1，從而E（1x1，-4y1）.

問(wèn)題2 證直線AE過(guò)定點(diǎn)

思考維度1 寫(xiě)出AE方程，將其方程化為點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=k（x-x0），從而得到定點(diǎn)（x0，y0）.

解法1：由問(wèn)題1知E（1x1，-4y1），又因A（x1，y1），當(dāng)x1≠1時(shí)，kAE=y1+4y1x1-1x1=4（y1+4y1）y21-（4y1）2=4y1y21-4，所以直線AE方程為：y-y1=4y1y21-4（x-x1），又因y21=4x1，故直線AE方程可化為：y=4y1y21-4x-4y1y21-4，即y-0=4y1y21-4（x-1），所以直線AE恒過(guò)定點(diǎn)（1，0）;當(dāng)x1=1時(shí)，顯然直線AE為x=1，也過(guò)點(diǎn)（1，0）.綜上直線AE恒過(guò)定點(diǎn)（1，0）.

思考維度2 利用斜率（或向量）相等證A、F、E三點(diǎn)共線，從而導(dǎo)出直線AE過(guò)定點(diǎn).

解法2：由解法1知當(dāng)x1≠1時(shí)，kAE=4y1y21-4，kAF=y1x1-1=y1y214-1=4y1y21-4，故kAE=kAF，

所以A、F、E三點(diǎn)共線，直線AE過(guò)點(diǎn)F（1，0）;當(dāng)x1=1時(shí)，顯然直線AE為x=1，也過(guò)點(diǎn)（1，0）.綜上直線AE恒過(guò)定點(diǎn)（1，0）.

思維維度3 設(shè)出直線AE方程，結(jié)合A、E兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系尋找直線方程參數(shù)間的關(guān)系.

解法3：設(shè)直線AE方程為x=my+b，則x=my+b

y2=4x，y2-4my-4b=0，故y1y2=-4b.由問(wèn)題1知E（1x1，-4y1），又因A（x1，y1），y1y2=-4=-4b，則b=1，故直線AE方程為x=my+1，所以直線AE恒過(guò)定點(diǎn)（1，0）.

（2） 第（2）問(wèn)子問(wèn)題（ⅱ）剖析

對(duì)于三角形的面積公式，我們非常熟悉，容易聯(lián)想到三角形底乘高的一半以及S=12absinC公式.但此題的難點(diǎn)在于如果直接應(yīng)用以上公式，三角形△ABE三邊長(zhǎng)度未定且所在直線均未知，造成計(jì)算量非常大.能不能靈活表達(dá)△ABE的面積呢？無(wú)論采用哪種辦法表示三角形的面積，我們均要知道“點(diǎn)B”的坐標(biāo)（（?。┲薪鉀Q了點(diǎn)E的坐標(biāo)），因?yàn)檫@是△ABE的一個(gè)基本元素.所以，我們確定此問(wèn)題的核心突破點(diǎn)應(yīng)該是“點(diǎn)B”的坐標(biāo)及△ABE的面積的表示方法.下面，我們把（ⅱ）分解為求“點(diǎn)B”的坐標(biāo)和△ABE的面積的表示及最小值兩個(gè)問(wèn)題.

問(wèn)題1 求點(diǎn)B的坐標(biāo)

思考維度1 點(diǎn)B是由直線l即AD與拋物線相交產(chǎn)生，由（ⅰ）可知kAD=-y12，故直線AB可設(shè)為y-y1=-y12（x-x1），考慮到點(diǎn)B在拋物線上，其橫、縱坐標(biāo)可以用一個(gè)字母表示，再結(jié)合方程的思想，把直線AB設(shè)為y=-y12x+b將會(huì)大大減少計(jì)算量.

解法1：設(shè)點(diǎn)B（x3，y3），直線AB：y=-y12x+b，故y=-y12x+b

y2=4x，y18y2+y-b=0，因此y1+y3=-8y1，即y3=-8y1-y1，x3=y234=4x1+x1+4，所以B（4x1+x1+4，-8y1-y1）.

思考維度2 由題意，我們知道A、D、B三點(diǎn)共線，點(diǎn)D的坐標(biāo)可用點(diǎn)A的橫縱坐標(biāo)表示，那么點(diǎn)B的坐標(biāo)呢？另外點(diǎn)B又在拋物線上，從理論上利用斜率相等（或向量共線）是可以表達(dá)出點(diǎn)B坐標(biāo)的.

解法2：由|FA|=|FD|知D（x1+2，0），因A、D、B三點(diǎn)共線，所以kAD=kAB，由（?。﹌AD=-y12，故kAB=y3-y1x3-x1=-y12，即y3-y1x3-x1=y3-y1y234-y214=4y3+y1=-y12，解得y3=-8y1-y1.所以B（4x1+x1+4，-8y1-y1）.

問(wèn)題2 △ABE的面積表示及最小值

思考維度1 仔細(xì)分析條件|FA|=|FD|，我們可以在圖形中找到一些相等的角，對(duì)于弦長(zhǎng)|AB|除了較為復(fù)雜的弦長(zhǎng)公式外，通過(guò)圖形觀察利用AB兩個(gè)端點(diǎn)的縱坐標(biāo)及∠ADF就可以表示，此時(shí)弦AB邊上的高也可由|AE|及與∠ADF相等的角∠FAD表示，這樣我們圍繞著角和點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)考慮問(wèn)題將會(huì)更直接、有效.

解法1：如圖，設(shè)∠ADF=θ，0°<θ<90°，由題意∠ADF=∠FAD=∠BDx=θ，

故|AB|=|y1-y3|sinθ=|8y1+2y1|sinθ，由拋物線定義得|AE|=x1+x2+2，由（?。┲獂1x2=1，故|AE|=x1+1x1+2，設(shè)點(diǎn)E到直線AB的距離為d，則d=|AE|sinθ=（x1+1x1+2）sinθ，故S△ABE=12|AB|·d=|4y1+y1|（x1+1x1+2）=（|4y1|+|y1|）（x1+1x1+2）≥16，當(dāng)且僅當(dāng)|4y1|=|y1|，x1=1x1同時(shí)成立時(shí)取得等號(hào)，即y21=4，x1=1.所以，當(dāng)AF與x軸垂直時(shí)，S△ABE的最小值為16.

思考維度2 解析幾何的基本思想就是利用坐標(biāo)法將幾何問(wèn)題用代數(shù)方法來(lái)解決，那么對(duì)于圖形中涉及到的點(diǎn)的坐標(biāo)亦能體現(xiàn)這些幾何元素的位置關(guān)系.

解法2：如圖，設(shè)點(diǎn)A、B中點(diǎn)為G，由A（x1，y1）、B（4x1+x1+4，-8y1-y1）知點(diǎn)G縱坐標(biāo)為-4y1，

因E（1x1，-4y1），

故EG∥x軸，設(shè)直線AE的傾斜角為β，因|FA|=|FD|，所以|EG|=|EA|，因此S△ABE=2S△AGE=|EG|·|EA|sinβ=|EA|2sinβ，因|EA|=|y1|+|4y1|sinβ，故S△ABE=（|y1|+|4y1|）2sinβ，

又因|y1|+|4y1|≥4，當(dāng)且僅當(dāng)AE⊥x軸時(shí)取得，sinβ≤1，當(dāng)且僅當(dāng)AE⊥x軸時(shí)等號(hào)取得，

故S△ABE≥（|y1|+|4y1|）2min（sinβ）max=16.所以，當(dāng)且僅當(dāng)AE⊥x軸時(shí)取得.S△ABE的最小值為16.

思考維度3 既然我們能得到A、E、B三點(diǎn)的坐標(biāo)，并且還能用A點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)來(lái)表示，那么我們就可以利用常規(guī)做法求弦長(zhǎng)、求距離來(lái)做，當(dāng)然這需要同學(xué)們有較強(qiáng)的計(jì)算能力和不畏困難的探索精神，這也充分體現(xiàn)了以能力為立意、考查同學(xué)們個(gè)性品質(zhì)、融德育于解題的命制意圖.

解法3：設(shè)直線AE的方程為x=my+1，將A（x1，y1）代入得m=x1-1y1，由問(wèn)題1知B（4x1+x1+4，-8y1-y1），所以點(diǎn)B到直線AE的距離

d=|4x1+x1+4+m（y1+8y1）-1|1+m2

=4（x1+1）x1=4（x1+1x1），

又因|AE|=x1+1x1+2，

故S△ABE=12|AE|d=2（x1+1x1+2）·（x1+1x1）≥16，所以，當(dāng)且僅當(dāng)x1=1時(shí)，S△ABE的最小值為16.

思考維度4 以AB為底邊，利用三角形底乘高的一半為三角形面積亦能解出此題，方法同解法3.

二、結(jié)論推廣

性質(zhì)1 已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，A為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線交C于另一點(diǎn)B，交x軸的正半軸于點(diǎn)D，且有|FA|=|FD|.若直線l∥AB，且與C相切于E，則直線AE過(guò)焦點(diǎn).

性質(zhì)2 已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，A為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線交C于另一點(diǎn)B，交x軸的正半軸于點(diǎn)D，且有|FA|=|FD|，延長(zhǎng)AF交拋物線C于點(diǎn)E，則S△ABE的最小值為4p2.

簡(jiǎn)證：設(shè)直線AE：y=tanβ（x-p2），則y=tanβ（x-p2）

y2=2px，x2-p（1+2tan2β）x+p24=0，故x1+x2=p（1+2tan2β），由拋物線定義得|AE|=x1+x2+p=p（2+2tan2β）=2psin2β.由（ⅱ）問(wèn)題2解法2知，S△ABE=2SAGB=|EG|·|EA|sinβ=|EA|2sinβ=4p2.sin3β≥4p2，當(dāng)且僅當(dāng)β=90°時(shí)等號(hào)取得.

性質(zhì)3 已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，A為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線l交C于另一點(diǎn)B，交x軸的正半軸于點(diǎn)D，且有|FA|=|FD|，若直線l1∥l，且與C相切于E，直線l1與拋物線C的準(zhǔn)線交于Q，則S△ABE=4S△AEQ.

注：需要特殊說(shuō)明的是，△AEQ其實(shí)是阿基米德三角形，這也是本題的命制背景，細(xì)研此題還有很多有趣的性質(zhì)，有興趣的同學(xué)們可以繼續(xù)探究，因篇幅有限，不再贅述.

三、結(jié)束語(yǔ)

2014年年山東省數(shù)學(xué)高考理科卷壓軸題以阿基米德三角形為背景，以拋物線為載體，考査圓錐曲線定點(diǎn)、最值、直線與圓錐曲線的關(guān)系等內(nèi)容的方方面面，同學(xué)們?cè)诮邮芸荚嚨耐瑫r(shí)，又能感悟到數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，體會(huì)到數(shù)學(xué)結(jié)論的和諧，這正是該壓軸題命題的高明之處.