朱悅

“知識(shí)的掌握也許只能受益一時(shí)，而思想的形成、方法的掌握卻將受益終身”，這句話耐人尋味，這就要求我們在學(xué)習(xí)過程中更好地把數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、方法的掌握、思想的形成融為一體.而在這之中累積數(shù)學(xué)思想方法、提升思維品質(zhì)顯得尤為關(guān)鍵.

一、 分類討論

分類討論思想是對事物分情況加以討論，實(shí)質(zhì)是將整體問題化為部分問題來解決，化成部分問題后，相當(dāng)于增加了題設(shè)條件.

例1 （1） 等腰三角形的一個(gè)角是30°，求它的另外兩個(gè)角的度數(shù).

（2） 等腰三角形的兩邊為4厘米和7厘米，求它的周長.

【分析】（1） 已知條件中的一角可以分為頂角或是底角兩種情況；（2） 條件中的兩邊一定有一邊是腰，一邊是底，那到底哪邊是腰，題目中沒有說明，所以都有可能，分成兩種情況討論.

解：（1） 當(dāng)30°是頂角時(shí)，另兩角分別為75°、75°；當(dāng)30°是底角時(shí)，另兩角分別為30°、120°.

（2） 當(dāng)腰是4厘米時(shí)，則底是7厘米，三邊分別為4、4、7，此時(shí)能形成三角形，周長為15厘米；當(dāng)?shù)资?厘米時(shí)，則腰是7厘米，三邊分別為4、7、7，此時(shí)能形成三角形，周長為18厘米.

【點(diǎn)評】因?yàn)榈妊切蔚娜齻€(gè)角有頂角、底角之分，三條邊有底邊、腰之分，所以在求解等腰三角形邊角問題時(shí)常需分類討論.

二、 方程思想方法

許多幾何問題從表面上看與方程沒有多少直接聯(lián)系，但是如果認(rèn)真分析問題的數(shù)量關(guān)系，通過建立方程，就可以得到問題的解.

例2 如圖1，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD，求∠A的度數(shù).

【分析】在這個(gè)題目中，一個(gè)角的度數(shù)都不知道，那怎樣才能把邊的已知條件轉(zhuǎn)化為角呢？通過等邊對等角，就可以知道很多角有相等關(guān)系，得到了角的關(guān)系后，利用三角形內(nèi)角和180°的隱含條件構(gòu)造方程，從而求出答案.

解：∵BD=AD，∴∠A=∠ABD.

∴∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A.

∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=2∠A.

∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2∠A.

∵∠ABC+∠C+∠A=180°，

∴2∠A+2∠A+∠A=180°.

∴5∠A=180°，即∠A=36°.

【點(diǎn)評】本題利用邊角之間的轉(zhuǎn)化、外角、內(nèi)角和把圖中的角聯(lián)系起來，在三角形中，要解決角度有關(guān)的問題時(shí)，我們常常構(gòu)造方程.

三、 整體思想

在解與三角形有關(guān)的題目時(shí)，有些問題直接求解，比較繁瑣，甚至無法解決，而從全局著眼，整體思考，會(huì)使問題化繁為簡，化難為易，迅速獲解.

例3 如圖2，在△ABC中，∠BAC=110°，DE、FG分別垂直平分AB、AC，垂足分別為E、G，求∠DAF的度數(shù).

【分析】若能求出∠BAD、∠CAF的度數(shù)，則∠DAF的度數(shù)立即可求得；由已知條件，無法直接得到它們的度數(shù)，但可以求得∠B+∠C=70°，再利用垂直平分線、等邊對等角可得∠BAD+∠CAF的度數(shù)，這樣∠DAF的度數(shù)就可求出.

解：∵∠BAC+∠B+∠C=180°，

且∠BAC=110°，∴∠B+∠C=70°.

∵DE、FG分別垂直平分AB、AC，

∴AD=BD，AF=CF.

∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAF，

∴∠BAD+∠CAF=∠B+∠C=70°.

∵∠BAD+∠CAF+∠DAF=110°，

∴∠DAF=110°-（∠BAD+∠CAF）=40°.

【點(diǎn)評】當(dāng)題目中無法求出每個(gè)角的度數(shù)時(shí)，我們往往采用“整體”來轉(zhuǎn)化要解決的問題，在運(yùn)用整體思想解決問題時(shí)要注意等價(jià)性.

四、 軸對稱變換思想

軸對稱變換是我們認(rèn)識(shí)的一種基本變換，通過軸對稱變換改變圖形的位置，卻不改變圖形的形狀和大小，從軸對稱變換的角度去思考問題，有助于我們對幾何圖形的動(dòng)態(tài)分析，從而更好地理解圖形的全等，進(jìn)而理解線段、角之間的關(guān)系.

例4 （1） 如圖①，在直線MN上作一點(diǎn)P，使它到直線MN同側(cè)的兩點(diǎn)A、B的距離之和最短.

（2） 圖②，∠AOB=30°，P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=10，M、N分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，求△PMN周長的最小值.

【分析】軸對稱變換在路徑最短問題上經(jīng)常運(yùn)用，要解決題（1），作點(diǎn)A關(guān)于MN的對稱點(diǎn)A′，連接A′B交MN于點(diǎn)P，則PA+PB=A′B的值最??；題（2）中利用兩次軸對稱變換，作出P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)P′，P關(guān)于OB的對稱點(diǎn)P″，將PM+PN+MN轉(zhuǎn)化為P′M+P″N+MN，即三條線段在一直線上時(shí)最短；再利用軸對稱的特性，得等邊△P′OP″，從而求解.

解：（1）

即點(diǎn)P就是所求作的點(diǎn).

（2）

∴△PMN周長=PM+PN+MN

=P′M+P″N+MN

=P′P″=PO=10.

【點(diǎn)評】利用軸對稱變換解決數(shù)學(xué)問題中的路徑最短問題，是通過軸對稱變換將不在同一直線上的不同線段，巧妙構(gòu)造到同一直線上，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”求解.

（作者單位：江蘇省常熟市第一中學(xué)）