范欣玙 錢曉祺

今天的數(shù)學(xué)課老師與我們一起進行了從“將軍飲馬問題”到許瓦茲三角形的實驗探究，下課鈴聲響時，我們還是意猶未盡.我不禁感嘆：數(shù)學(xué)真是奧妙無窮！

老師先用PPT播放唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題.我們把這兩句詩用數(shù)學(xué)語言表述如下，并畫出相應(yīng)圖形如圖1：

將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發(fā)，走到河旁邊的C點飲馬，后再到B點宿營.請問：怎樣走才能使總的路程最短？

【解決方案】只要從B出發(fā)向河岸引垂線，在垂線的延長線上，取B關(guān)于河岸的對稱點B′，連接B′A，與河岸線相交于C，則C點就是飲馬的地方.將軍只要從A點出發(fā)，沿直線走到C，飲馬之后，再由C沿直線走到B，所走的路程就是最短的.即AC+BC=AC+B′C=B′A.此題的本質(zhì)是利用軸對稱的有關(guān)知識把線段進行轉(zhuǎn)化，利用“兩點之間線段最短”來解決問題.

這使我聯(lián)想到前天做過的一個思考題：如圖2，P為馬廄，牧馬人某一天從馬廄牽出馬，先到草地邊OA的某處牧馬，再到河邊OB某處飲馬，然后回到馬廄.請幫他確定這一天的最短路線.這道題的解題思路其實跟上面問題的本質(zhì)是一樣的（只是本題需用兩次軸對稱），就是利用軸對稱這一數(shù)學(xué)原理.只要分別作P關(guān)于兩邊的軸對稱點P′、P″并連接P′P″，交兩邊于M、N，此時PM+MN+PN最短.這時得到了一個數(shù)學(xué)模型：P為定點，在銳角∠AOB內(nèi)作一個周長最短的△PMN的作法如圖3.

這時老師提出問題2：當(dāng)點P為銳角∠ABC內(nèi)一動點時，PM+MN+NP與哪些量有關(guān)呢？即其大小由哪些量決定？我的猜想是：可能與點P到角兩邊的距離、點P到角頂點的距離、∠AOB的大小有關(guān).于是，我們設(shè)計了幾張表格，設(shè)PB=r，以B為圓心，BP長為半徑作圓，分別交BA、BC于D、E，如圖4.

在老師的幫助下，我們利用幾何畫板對一些相關(guān)數(shù)量進行了測量，如表1～3.

表1 r不變，∠ABC不變，

點P在弧DPE上運動

表2 r變化，∠ABC不變

表3 r不變，∠ABC變化

在實驗探究中，我們記錄并整理數(shù)據(jù)，再進行合理的推測和猜想，我們得到了如下結(jié)論：

（1） 當(dāng)r為定值，∠ABC為銳角時，隨著角度的增加，PM+MN+NP變大.

（2） 當(dāng)銳角∠ABC為定值時，隨著r的增加，PM+MN+NP變大.

老師肯定了上述結(jié)論的正確性.接著老師又提出了問題3：在已知銳角三角形ABC中求作一個內(nèi)接三角形（即頂點分別在△ABC三邊上的三角形），使所作的三角形的周長最短.

我嘗試畫出圖形（如圖5），我把頂點D、E、F看成動點，發(fā)現(xiàn)一時無從下手.老師提示：如果我們把所作三角形的三個頂點都看成是動點不好推理，我們是否可以考慮把其中某個點看成定點來尋找思路.老師的話讓我豁然開朗：我先只把圖中的E、F看作是動點，那么立刻轉(zhuǎn)化成問題2，把D看作是定點. 分別作點D關(guān)于AB、AC的對稱點D1、D2，連接D1D2，分別交AB、AC于點F、E，如此一來，E、F就定了.問題的下一步就是要讓點D動起來，看點D運動到哪，和通過軸對稱變換得到其他兩點所圍成的△DEF周長最短，于是問題得解.

接下來我再次反思，又有不小收獲：由于∠A是定值，那么△DEF的周長就與r（也就是AD）有關(guān)，要AD最短，就變成了“點到直線垂線段最短”的模型，那么我們就從點A出發(fā)，作AD垂直BC于D.進一步研究發(fā)現(xiàn)，若以∠B為考察對象，則當(dāng)E為AC邊上的高與AC的交點，點F、D分別是點E關(guān)于BA、BC的對稱點的連線與BA、BC的交點，此時△DEF的周長最小.若以∠A、∠C為考察對象，也能得出同樣的結(jié)果. 即當(dāng)內(nèi)接三角形是△ABC的三條高的垂足所成的垂足三角形時，周長最短.

在看到我們的探究成果后，老師嘖嘖贊嘆：你們剛才探究的這個問題就是著名的“許瓦茲三角形”問題，你們真是太棒了！在數(shù)學(xué)的世界里有許多奧秘等待我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)、探索、猜想、證明，而數(shù)學(xué)實驗就是一把打開數(shù)學(xué)殿堂大門的金鑰匙. 在這樣的數(shù)學(xué)實驗探究中，我們受益匪淺.

教師點評：這是借助數(shù)學(xué)軟件展開數(shù)學(xué)實驗、結(jié)合所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決實際問題的一節(jié)實踐探究課. 兩位學(xué)生以課上的動腦思考、動手探究、口頭交流等數(shù)學(xué)活動為主線，細致而獨到地闡釋了自己的思考和收獲.正是在這樣的探索與反思中，學(xué)生收獲了解決問題的方法，使得自己的知識網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)得愈加完善.對數(shù)學(xué)的熱愛更進了一步.

（指導(dǎo)教師：陶建石）