黃健康
摘 ? 要:在解答一道習(xí)題的時候,一些教師認(rèn)為牛頓第二定律成立的慣性系有選擇性。本文通過探究和推導(dǎo),反駁了這種觀點。
關(guān)鍵詞:牛頓第二定律;慣性系;選擇性
中圖分類號:G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A ? ?文章編號:1003-6148(2015)1-0043-2
牛頓第二定律是實驗定律,作為其徑向分解式的向心力公式,它的適用條件也應(yīng)是宏觀、低速、慣性參考系(下文簡稱慣性系)。但是,在以下一道練習(xí)題上,一些教師在解答學(xué)生疑問的時候,認(rèn)為牛頓第二定律成立的慣性系具有選擇性。筆者覺得有必要進(jìn)行一番探討。
題目 ?如圖1所示,有一半球形小車質(zhì)量為M,球半徑為R,放在光滑的水平面上?,F(xiàn)有一光滑小球質(zhì)量為m,貼著光滑的球面從半徑邊緣自由滑下,求小球滑到最低點時對小車的壓力。
圖1 ?小球在光滑球面滑下
解答 ?設(shè)小球滑至最低點時,小車、小球相對地的速度大小分別為u、v。
系統(tǒng)水平方向動量守恒Mu-mv=0 (1)
系統(tǒng)機(jī)械能守恒mgR= ?Mu2+ ?mv2 ? (2)
小球最低點處向心力N-mg=m ?(3)
由(1)(2)(3)式可求得壓力
N'=N=mg [1+ ?]
面對上述解答過程,一些物理拔尖的學(xué)生會提出兩個問題:
①為什么向心力公式N-mg=m ?中的速度必須代入u+v?
②第(3)式是選小車為參考系列出的式子,為什么不選地面為參考系呢?
一些教師在解答第一個問題的時候,會告訴學(xué)生,向心力公式中的速度和轉(zhuǎn)動半徑具有相對性。而在解答第二個問題的時候,認(rèn)為牛頓第二定律成立的慣性系帶有選擇性。本題若選地面為慣性參考系,便無法求出壓力大小,且容易列出N-mg=m ?這樣錯誤的式子。
這樣的回答筆者認(rèn)為是錯誤的。本題之所以選擇小車為慣性參考系,是因為小球?qū)π≤噮⒖枷凳亲鲌A周運動,而對地面不是作圓周運動。下面我們不妨選擇地面為慣性系,了解小球相對地面運動情況,進(jìn)行探究和討論:
如圖2,過初始狀態(tài)下小車圓軌道的圓心O建立直角坐標(biāo)系xOy。由于小球下滾過程中,小車凹槽會向左平移。經(jīng)過t秒,小車凹槽左邊界點A、圓心點O和右邊界點B會分別運動到A′、O′、B′處。設(shè)小車、小球這段時間內(nèi)水平運動位移大小分別為S1、S2,此時小球運動至C(x,y)位置處。
圖2 ?以地面為參考系
由圖2中的幾何關(guān)系可知
x=S1+ ?(4)
S1+S2+ ?=R(5)
系統(tǒng)水平方向平均動量守恒,
M· ?=m· ?(6)
由(4)(5)(6)式可得:
+ ?=1(7)
上面所得的(7)式是一個形如 ?+ ?=1的橢圓方程,故小球?qū)嶋H對地運動的軌跡為橢圓軌跡的下半部分。
令x0= ?,a= ?,b=R,并考慮橢圓 ?+ ?=1的下半部分,有
y=- ? ?(8)
通過查閱高等數(shù)學(xué)教材,可知橢圓最低處軌道曲率半徑公式為r= ?。
對(8)式求一次導(dǎo)數(shù)和二次導(dǎo)數(shù),可知y'= ?,y''= ?。
當(dāng)小球滑到最低點處時,x=x0= ?,y=b=R,此時y'=0,y''= ?。故該點處軌道曲率半徑r=( ?)2R。
由(1)(2)兩式可求得v= ?。將求得的r、v代入向心力公式N-mg=m ?,可求得N'=N=mg[1+ ?]。
從上述推導(dǎo)可以看出,以地面為參考系和以小車為參考系,所求得的結(jié)果是完全相同的,牛頓第二定律成立的慣性系并不具有選擇性,區(qū)別僅在計算的繁和簡上。
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(欄目編輯 ?羅琬華)