顧燕萍

全日制義務教育《數(shù)學課程標準》（2011版）在課程目標中指出：“通過義務教育階段的數(shù)學學習，學生能夠初步學會從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運用數(shù)學知識解決簡單的實際問題，增強應用意識，提高實踐能力?！苯陙?，各地中考命題圍繞這一目標進行了積極的探索，貼近社會實際、貼近學生生活，體現(xiàn)時代需求，反映市場經(jīng)濟等應用問題如雨后春筍般涌現(xiàn)出來。

解數(shù)學應用問題的關(guān)鍵是對問題原始形態(tài)的分析、聯(lián)想、抽象、將實際問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學問題，即構(gòu)建數(shù)學模型。利用數(shù)學建模解數(shù)學應用題對于多角度、多層次、多側(cè)面思考問題，培養(yǎng)學生發(fā)散思維能力是很有益的，是進行素質(zhì)教育的一條有效途徑。數(shù)學學習不僅要重視數(shù)學基礎知識、基本技能、思維能力、運算能力等方面的訓練，而且要重視在應用數(shù)學分析和解決實際問題的能力方面進行訓練和提高，要讓學生學會提出問題，能夠運用已有的知識進行交流，并將實際問題抽象為數(shù)學問題，建立數(shù)學模型，從而形成比較完整的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)。

一、構(gòu)建方程模型

這類問題一般要通過列方程式或方程組求解，首先要明白題意，找出已知量和未知量，并分析各量之間的關(guān)系，在此基礎上尋找相等的數(shù)量關(guān)系列出方程式或方程組。必須注意，在求得方程的解之后，要根據(jù)應用題的實際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理。一要檢驗所求出的解是否為所列方程的解;二要檢驗方程是否符合應用題的題意，最終寫出答案。

例1：有一個允許單向通過的窄道口，通常情況下，每分鐘可以通過9人.一天，王老師到達道口時，發(fā)現(xiàn)由于擁擠，每分鐘只能3人通過道口，此時，自己前面還有36人等待通過（假定先到的先過，王老師過道口的時間忽略不計），通過道口后，還需7分鐘到達學校.此時，若繞道而行，需要15分鐘到達學校，從節(jié)省時間考慮，王老師應選擇繞道去學校，還是選擇通過擁擠的道口去學校？若在王老師等人的維持下，幾分鐘后，秩序恢復正常（維持秩序期間，每分鐘仍有3人通過），結(jié)果王老師比擁擠的情況下提前了6分鐘通過道口，問維持秩序的時間是多少分鐘？

解：（1）因為36+7=19>15，所以王老師應選擇繞道而行去學校.

（2）設維持秩序的時間為t分鐘，則

36-（t+36-3t） =6， 解得t=3

二、構(gòu)建不等式模型

現(xiàn)實生活中普遍存在著一些量之間的不等關(guān)系，應注意相關(guān)信息的聯(lián)想、發(fā)現(xiàn)、探索及歸納總結(jié)，能有效的考查學生的閱讀能力、探索能力和建模能力，培養(yǎng)學生的數(shù)學思想和實際應用能力，一般當問題中出現(xiàn)“未超過”、“最多”、“至少”等關(guān)鍵詞，可考慮建立不等式的數(shù)學模型解之。

例2：《中華人民共和國個人所得稅法》規(guī)定，公民全月工資、薪金所得不超過800元的部分不必納稅，超過800元的部分為全月應納稅所得額，此項稅款按下表分段累進計算：

某人1月份應繳納稅款80元，求他當月工資是多少元？

如果某單位共有50人，某月繳納稅款3080元，且每人的當月的工資都在超過800元而不超過2000元之間，求當月工資不超過1300元的職工最多可能有多少？

解：（1）設他當月工資為x元則，500×5%+（x-1300）×10%=80，解得x=1850（元）

答：他當月工資為1850元.

（2）設當月工資不超過1300元的職工為y人，則當月工資超過1300元，但未超過2000元的職工為（50-y）人，根據(jù)題意得50×500×5%+（2000-1300）（50-y）×10%≥3080-70y≥1670， y≤23 6 ，

所以y的最大整數(shù)解是y=23

答：當月工資不超過1300元的職工最多為23人.

三、構(gòu)建函數(shù)模型

現(xiàn)實中普遍存在最優(yōu)化問題，常可歸結(jié)為函數(shù)最值問題，通過建立相應的目標函數(shù)，確定變量的限制條件，運用函數(shù)知識和方法去解決，這也是近年來中考命題的一個熱點，這要求我們在教學中要切實重視最值問題的探究。

例3：某校九年級（1）班共有學生50人，據(jù)統(tǒng)計原來每人每年用于購買飲料的平均支出是a元.經(jīng)測算和市場調(diào)查，若該班學生集體改飲某品牌的桶裝純凈水，則年總費用由兩部分組成，一部分是購買純凈水的費用，另一部分是其他費用780元，其中，純凈水的銷售價x（元/桶）與年購買總量y（桶）之間滿足如圖所示關(guān)系.

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式;

（2）若該班每年需要純凈水380桶，且a為120時，請你根據(jù)提供的信息分析一下：該班學生集體改飲桶裝純凈水與個人買飲料，哪一種花錢更少？

（3）當a至少為多少時， 該班學生集體改飲桶裝純凈水一定合算？

解：（1）設y=kx+b，∵x=4時，y=400;x=5時，y=320.

∴ ? ? ? ? ? ?解之，得

∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為 ? ? ? ? ? ? ? .

該班學生買飲料每年總費用為50×120=6000（元），

當y=380時，380=-80x+720， 得x=4.25，該班學生集體飲用桶裝純凈水的每年總費用為380×4.25+780=2395（元），顯然，從經(jīng)濟上看飲用桶裝純凈水花錢少.

（3）設該班每年購買純凈水的費用為W元，則

W=xy=x（-80x+720）=-80（x-4.5）2+1620

∴當 x=4.5時， Wmax=1620

要使飲用桶裝純凈水對學生一定合算，則50a≥Wmax+780，即50a≥1620+780解之，得a≥480.所以a至少為48元時班級飲用桶裝純凈水對學生一定合算。

四、構(gòu)建幾何圖形模型

現(xiàn)實生活中，航行、建橋、測量、人造衛(wèi)星等涉及一定圖形屬性的應用問題，常構(gòu)建幾何圖形，利用幾何圖形的性質(zhì)，用方程、不等式或三角函數(shù)知識來解答。

例4：青海玉樹地震發(fā)生后，一支專業(yè)搜救隊驅(qū)車前往災區(qū)救援.如圖，汽車在一條南北走向的公路上向北行駛，當在 處時，車載GPS（全球衛(wèi)星定位系統(tǒng)）顯示村莊在北偏西26°方向，汽車以35km/h的速度前行2h到達B處，GPS顯示村莊 在北偏西52。方向.

（1）求B處到村莊C的距離;

（2）求村莊C到該公路的距離.（結(jié)果精確到0.1km）

（參考數(shù)據(jù)： ? ? ? ? ? ? ， ? ? ? ? ? ?，

， ? ? ? ? ? ? ）

解：過C作 ? ? ? ?，交AB于D.

（1） ? ? ? ? ? ， ? ? ? ?，

， ? ? ? ? ?，

即B處到村莊C的距離為70km.

（2）在 ? ? ? ?中，

即村莊C到該公路的距離約為55.2km.

數(shù)學模型是數(shù)學知識與數(shù)學應用的橋梁，研究和學習數(shù)學模型，能幫助學生探索數(shù)學的應用，產(chǎn)生對數(shù)學學習的興趣，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和實踐能力，加強數(shù)學建模教學與學習對學生的智力開發(fā)具有深遠的意義。只要教師在教學中能根據(jù)當?shù)丶皩W生的實際，使數(shù)學知識與生活、生產(chǎn)實際聯(lián)系起來，就能增強學生應用數(shù)學模型解決實際問題的意識，從而提高學生的創(chuàng)新意識與實踐能力。

總之，解答數(shù)學應用問題，應將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，脫去其“應用”的神秘外衣，還其數(shù)學問題的真面目。根據(jù)實際問題的數(shù)學模型，用數(shù)學知識、思想、方法去解答，最后對數(shù)學結(jié)果進行解析，并作出準確的判斷后返回到實際問題中去。