☉江蘇省懷仁中學(xué) 董榮森

☉江蘇省無錫市錫山區(qū)教育教研室 姚敬東

細(xì)化概念教學(xué)過程揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)*
——以“三角函數(shù)的周期性”教學(xué)設(shè)計(jì)為例

☉江蘇省懷仁中學(xué) 董榮森

☉江蘇省無錫市錫山區(qū)教育教研室 姚敬東

一、問題提出背景

記得2012年11月江蘇省第八屆高中數(shù)學(xué)特級教師高層論壇在蘇州十中舉行，筆者有幸跟隨本校的兩位數(shù)學(xué)特級教師（現(xiàn)已經(jīng)退休）參加了此次活動(dòng)，觀摩了一節(jié)題為“三角函數(shù)的周期性”的示范課.當(dāng)時(shí)筆者正參加無錫市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人評選，在上課環(huán)節(jié)中通過抽簽方式?jīng)Q定上課內(nèi)容，恰好抽到的也是這節(jié)內(nèi)容.如何上好這一節(jié)概念課？筆者作了一些思考與嘗試.我們知道，對“周期”概念學(xué)生已有直觀的感受和體驗(yàn)，因此對“周期性”概念的感性認(rèn)識應(yīng)該不存在問題.但對于抽象化的“三角函數(shù)的周期性”概念的理性認(rèn)識，可能存在著一定的困難，如何幫助學(xué)生更好地理解概念？由此引發(fā)了筆者的思考與嘗試.數(shù)學(xué)概念教學(xué)歷來在數(shù)學(xué)教學(xué)中處于核心地位，值得每一位高中數(shù)學(xué)教育工作者研究與思考.但從教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生在概念學(xué)習(xí)時(shí)沒有把握數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性或者對數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性理解不夠深刻從而導(dǎo)致學(xué)習(xí)困難.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》也明確指出：“形式化是數(shù)學(xué)的基本特征之一.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)習(xí)形式化的表達(dá)是一項(xiàng)基本要求，但是不能只限于形式化的表達(dá)，要強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)思維本質(zhì)的認(rèn)識，否則會(huì)將生動(dòng)活潑的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)淹沒在形式化的海洋里……，高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì).”這一理念要求教師在進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)要細(xì)化教學(xué)過程，充分運(yùn)用問題表征的多元性，合理地將描述性表征與直觀性圖像表征進(jìn)行互化，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì).

筆者試圖在多元表征理論的指導(dǎo)下，以“三角函數(shù)的周期性”這節(jié)課為例進(jìn)行設(shè)計(jì)和分析，就在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何“細(xì)化概念教學(xué)過程，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)”作了一些探討，以饗讀者.

二、內(nèi)容解讀與教學(xué)定位

“三角函數(shù)的周期性”是高中“三角函數(shù)”的一個(gè)重要性質(zhì)，是研究任意角三角函數(shù)其他性質(zhì)的基礎(chǔ)，也是函數(shù)性質(zhì)的重要補(bǔ)充．本節(jié)課主要內(nèi)容是周期函數(shù)的概念及正弦、余弦函數(shù)的周期性．通過對正弦函數(shù)圖像“周而復(fù)始”的變化規(guī)律及特征的感知，讓學(xué)生在建立比較牢固理解周期性的認(rèn)知基礎(chǔ)上，然后再引導(dǎo)學(xué)生了解用代數(shù)表達(dá)式刻畫圖像“周而復(fù)始”的變化規(guī)律，即從形與數(shù)的表征角度揭示周期函數(shù)概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)．

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性，與后面高中物理研究的“單擺運(yùn)動(dòng)”、“簡諧運(yùn)動(dòng)”、“機(jī)械波”等知識有著密切相關(guān)的聯(lián)系．在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域（物理學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)等）中具有重要的作用，所以，該內(nèi)容在教材中具有非常重要的意義，在理論知識和實(shí)際問題之間架起了一座橋梁．

通過本課的學(xué)習(xí)不僅能進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力、推理論證能力、分析問題和解決問題的能力，而且能使學(xué)生把這些認(rèn)識遷移到后續(xù)的知識學(xué)習(xí)中去，為以后研究三角函數(shù)的其他性質(zhì)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．所以本課既是以前所學(xué)知識的發(fā)展，又是后續(xù)有關(guān)知識研究的前驅(qū)，起著承前啟后的作用．

三、教學(xué)環(huán)節(jié)與設(shè)計(jì)意圖

【教學(xué)環(huán)節(jié)1】情境創(chuàng)設(shè)

問題1：2012年是農(nóng)歷龍年，則再過多少年又是龍年？再過12年呢？給我們的印象是什么？

生1：過12年，還是龍年；循環(huán)、周而復(fù)始.

問題2：你還記得物理中的單擺運(yùn)動(dòng)嗎？給我們的印象是什么？

生2：重復(fù)、每隔一定時(shí)間出現(xiàn)一次.

問題3：你能舉出我們生活中一些“周而復(fù)始”的例子嗎？

生3：每星期7天，每周5節(jié)數(shù)學(xué)課.

歸納總結(jié)1：海水潮漲潮落，春、夏、秋、冬四季更替，鐘表上的時(shí)、分、秒針不厭其煩地做著圓周運(yùn)動(dòng)，……這一些都給我們以“周而復(fù)始，重復(fù)出現(xiàn)”的感覺，我們把這些現(xiàn)象就叫“周期現(xiàn)象”.

設(shè)計(jì)意圖：新課引入，仁者見仁，智者見智，對于本節(jié)課來說，筆者見過很多通過創(chuàng)設(shè)問題情境引入，發(fā)現(xiàn)千遍一律，如：今天星期三，再過多少天又是星期三？（幼兒園孩子都知道）有的用白居易的詩“離離原上草，一歲一枯榮，野火燒不盡，春風(fēng)吹又生”.這種老一套的引入，筆者認(rèn)為有的層次實(shí)在太低，也沒有什么新意.于是筆者結(jié)合當(dāng)時(shí)2012年是龍年，對學(xué)生進(jìn)行一次愛國主義教育，龍是中華民族的象征，我們都是龍的傳人，今年是龍年，再過多少年又是龍年？充分發(fā)揮問題表征的多元性，有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情.

【教學(xué)環(huán)節(jié)2】學(xué)生活動(dòng)

前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)，三角函數(shù)是刻畫圓周運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，“周而復(fù)始”的基本特征必定蘊(yùn)含在三角函數(shù)的性質(zhì)之中.

不知大家是否還記得三角函數(shù)線？正弦線MP“站在x軸上（起點(diǎn)在x軸上）”，即sinx=MP；余弦線OM“躺在x軸上（起點(diǎn)是原點(diǎn)）”，即cosx=OM.如何來刻畫三角函數(shù)線“周而復(fù)始”的現(xiàn)象？（以正弦線為例，如圖1）（動(dòng)畫演示）

從形的角度：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P每旋轉(zhuǎn)一周，正弦線MP的即時(shí)位置和變化方向重復(fù)出現(xiàn)一次.同時(shí)還可以看到，當(dāng)點(diǎn)P的旋轉(zhuǎn)量不到一周時(shí)，正弦線的即時(shí)位置包括變化方向不會(huì)重現(xiàn).從數(shù)的角度：對任意x∈R，都有sin（x+2π）=sinx成立.

同理，兩角的余弦函數(shù)線的關(guān)系如何？三角函數(shù)值的關(guān)系如何？可以得出怎樣的結(jié)論？正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的這種性質(zhì)叫做三角函數(shù)的什么性質(zhì)？

歸納總結(jié)2：sin（x+2π）=sinx，cos（x+2π）=cosx，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)所具有的這種性質(zhì)稱為周期性.若記f（x）=sinx，則對于任意的x∈R，都有f（x+2π）=f（x）.

設(shè)計(jì)意圖：筆者引導(dǎo)學(xué)生先從熟悉直觀的“形”去觀察，緊接著又運(yùn)用抽象的“數(shù)”來加以刻畫三角函數(shù)正弦線“周而復(fù)始”現(xiàn)象.數(shù)學(xué)問題的呈現(xiàn)有很多方式，為了幫助學(xué)生真正理解概念中“對任意x∈R”，筆者充分發(fā)揮多媒體的作用與功能，運(yùn)用問題的多元表征對過程進(jìn)行細(xì)化，由具體（圖形語言）到抽象（數(shù)學(xué)語言），由感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，減輕了學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷，更有利于學(xué)生對三角函數(shù)“周期性”概念的認(rèn)知、理解與構(gòu)建.

【教學(xué)環(huán)節(jié)3】建構(gòu)數(shù)學(xué)

1.周期函數(shù)定義

請同學(xué)們回憶：如何用數(shù)學(xué)語言來刻畫函數(shù)的奇偶性？

如果函數(shù)f（x）對于定義域里的每一個(gè)值x，都有：

（1）f（－x）=f（x），那么f（x）叫做偶函數(shù)；

（2）f（－x）=－f（x），那么f（x）叫做奇函數(shù).

類比：如何用數(shù)學(xué)語言刻畫函數(shù)的周期性？

一般地，對于函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都滿足f（x+T）=f（x），那么函數(shù)f（x）叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期．

強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)：（1）非零常數(shù)T；（2）定義域內(nèi)的每一個(gè)x值；（3）都滿足f（x+T）=f（x）.

練習(xí)1：判斷下列說法是否正確.

（3）若函數(shù)f（x）的周期為T，則kT（k∈Z，k≠0）也是f（x）的周期.

設(shè)計(jì)意圖：通過類比函數(shù)奇偶性的定義，讓學(xué)生自己歸納得出周期函數(shù)的定義，同時(shí)教師強(qiáng)調(diào)“對定義域內(nèi)的每一個(gè)x值”，而不是某一個(gè)具體的值，引導(dǎo)學(xué)生從本質(zhì)上去主動(dòng)構(gòu)建周期函數(shù)的定義.通過練習(xí)1的設(shè)計(jì)，目的是引導(dǎo)學(xué)生對三角函數(shù)周期性概念的進(jìn)一步辨析與理解，澄清學(xué)生對周期性概念的一些模糊甚至錯(cuò)誤認(rèn)識，起到鞏固與深化的作用.

問題4：你能夠從數(shù)和形的角度去理解周期T嗎？

從數(shù)的角度看：T滿足f（x+T）=f（x），T是自變量的改變量；從形的角度看：它們的圖像應(yīng)該是“周而復(fù)始”、“循環(huán)重復(fù)”出現(xiàn)，T就是一個(gè)循環(huán)的長度．

問題5：2π是正余弦函數(shù)的周期，根據(jù)周期定義，還能找到類似的周期嗎？一個(gè)周期函數(shù)的周期有多少？這樣計(jì)算三角函數(shù)周期時(shí)，答案就不唯一了，怎么辦？

2．最小正周期定義

對于一個(gè)周期函數(shù)f（x），如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫做f（x）的最小正周期．

注意：為避免引起混淆，今后所說的周期，如果不加特別說明，一般都指最小正周期．

練習(xí)2：（1）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最小正周期為多少？（2π）

（2）正切函數(shù)f（x）=tanx的最小正周期呢？（π）

（3）函數(shù)f（x）=c是不是周期函數(shù)？（是）

（4）是不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期？（f（x）=c沒有最小正周期）

設(shè)計(jì)意圖：筆者有意識地引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)與形的角度去理解和構(gòu)建最小周期的定義，充分運(yùn)用問題表征的多元性，合理地將描述性表征與直觀性圖像表征進(jìn)行互化，揭示周期性概念的本質(zhì).從學(xué)習(xí)過程來說，數(shù)學(xué)理解實(shí)質(zhì)上就是外在表征內(nèi)化與內(nèi)在表征外化的相互作用的過程；從學(xué)習(xí)結(jié)果來說，數(shù)學(xué)理解其實(shí)就是多元外在表征轉(zhuǎn)化為多元內(nèi)在表征，成為數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的有機(jī)組成部分.

【教學(xué)環(huán)節(jié)4】數(shù)學(xué)應(yīng)用

例1求下列函數(shù)的周期：

解析：（1）因?yàn)閏os2x=cos（2x+2π）=cos2（x+π），即f（x+π）=f（x），所以自變量x只要并且至少要增加到x+π，函數(shù)f（x）=cos2x的值才能重復(fù)出現(xiàn)，所以函數(shù)f（x）=cos2x的周期是π．

歸納總結(jié)3：（1）函數(shù)y=Asin（ωx+φ）及函數(shù)y= Acos（ωx+φ）（其中A，ω，φ為常數(shù)，且A≠0，ω≠0）的周期T=；（2）函數(shù)y=（fx）的周期為T，則函數(shù)y=A（fωx+φ）（其中A，ω，φ為常數(shù)，且A≠0，ω≠0）的周期為

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)課堂教學(xué)不僅要傳授給學(xué)生知識與方法，而且更要把數(shù)學(xué)的思想、本質(zhì)規(guī)律及內(nèi)部聯(lián)系等“靈魂”性的東西揭示出來，內(nèi)化為學(xué)生的素質(zhì).筆者通過例題的分析與探究，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)一般性的規(guī)律和結(jié)論：（1）根據(jù)函數(shù)圖像求函數(shù)周期的方法及函數(shù)周期性的簡單運(yùn)用；（2）求函數(shù)y=Asin（ωx+φ）與函數(shù)y= Acos（ωx+φ）周期的一般性結(jié)論，收到了良好的效果.

四、思考與感悟

1.對教學(xué)內(nèi)容的理解

函數(shù)周期性概念的教學(xué)是本節(jié)課的重點(diǎn)．概念教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容，不能因其易而輕視，也不能因其難而回避.概念教學(xué)應(yīng)面向全體學(xué)生，但由于函數(shù)周期的概念比較抽象，所以學(xué)生對它的認(rèn)識、理解和構(gòu)建是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，不可能一下子就十分深刻．因此，筆者進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)，除了逐字逐句分析，通過例題分析與練習(xí)訓(xùn)練，讓學(xué)生暴露出問題，通過老師的引導(dǎo)，讓學(xué)生對概念的理解逐步深入與內(nèi)化.

2.細(xì)化教學(xué)過程，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)

高境界的數(shù)學(xué)教學(xué)必須揭示數(shù)學(xué)本質(zhì).數(shù)學(xué)本質(zhì)是一個(gè)數(shù)學(xué)哲學(xué)問題，學(xué)術(shù)界對它的理解有不同的視角.我們在課堂教學(xué)中強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)本質(zhì)，其內(nèi)涵一般包括：數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系；數(shù)學(xué)規(guī)律的形成過程；數(shù)學(xué)思想方法的提煉；數(shù)學(xué)理性精神的體驗(yàn)等方面.［1］北京大學(xué)張順燕教授曾精辟地指出：教學(xué)有三種境界，即授人以業(yè)、授人以法、授人以道.授人以業(yè)，就是韓愈說的“授業(yè)”，它強(qiáng)調(diào)了所授知識的準(zhǔn)確性問題；授人以法，就是教給學(xué)生學(xué)習(xí)方法，使他們學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，它強(qiáng)調(diào)了所授知識的深刻性問題；授人以道，是教學(xué)的最高境界，就是教學(xué)不但要使學(xué)生達(dá)到知識與方法的融會(huì)貫通，而且更要把數(shù)學(xué)的思想方法、本質(zhì)規(guī)律及內(nèi)部聯(lián)系等“靈魂”性的東西揭示出來，使他們形成能力，為他們的終身發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，它強(qiáng)調(diào)了所授知識的數(shù)學(xué)本質(zhì)問題.在教學(xué)過程中，筆者通過細(xì)化每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，并且每一個(gè)環(huán)節(jié)結(jié)束之后都引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)與歸納，提煉數(shù)學(xué)最本質(zhì)的東西.

總之，作為數(shù)學(xué)教師，以細(xì)化概念形成過程拉近數(shù)學(xué)與學(xué)生的距離，讓學(xué)生感受到它的火熱，享受數(shù)學(xué)中生動(dòng)的故事；以有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)為支撐，讓學(xué)生在活動(dòng)中進(jìn)行主動(dòng)建構(gòu)，欣賞和感受數(shù)學(xué)的無窮魅力.“揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，發(fā)展思維能力”是數(shù)學(xué)教學(xué)永恒的主題，這一主題應(yīng)該成為每一位數(shù)學(xué)教師心中的教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)中的座右銘！

1.陳柏良.課堂教學(xué)要呈現(xiàn)“數(shù)學(xué)本質(zhì)”［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2006（1-2）.

2.董榮森.精心設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)細(xì)化概念教學(xué)過程［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2015（2）.

3.中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)［M］.北京：人民教育出版社，2003.F

江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2013年度普教重點(diǎn)自籌課題——多元表征在數(shù)學(xué)問題解決中的應(yīng)用研究（B-b/ 2013/02/063）的階段性研究成果.