丁一

摘要：在圖像處理中，物體表面的高斯曲率的重要性在于它可以表述三維物體表面信息。高斯曲率是一個(gè)重要的幾何概念，它應(yīng)用于模式識別、物體識別、以及物體的形狀復(fù)原等方面。特別是三維打印機(jī)將要普及的時(shí)候，三維物體信息掃描技術(shù)的精確性就顯得十分重要。

關(guān)鍵詞：高斯曲率 ?形狀復(fù)原 ?三維

1 立體光學(xué)法

在形狀復(fù)原過程中單張照片提供信息，立體光學(xué)法用一個(gè)相機(jī)取得多張不同光源的照片，這時(shí)候照相機(jī)是固定的，而光源是從不同的角度攝入的。一般來說立體光學(xué)法超過三個(gè)光源，從三個(gè)以上不同的方向光照目標(biāo)物體，每次是用一個(gè)光源。把三枚照片利用完美漫射模型解出物體表面的方向向量，向量的積分也就是物體的高度，即三維模型。這種方法并不適用于物體表面有鏡面反射的目標(biāo)。

2 利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)復(fù)原

立體光學(xué)法利用三個(gè)以上的光源，而且利用完美漫射模型這一限定條件決定目標(biāo)物體不能鏡面反射的成分。如果對于有鏡面反射的物體，利用一個(gè)和目標(biāo)物體相同反射率，相同反射條件和物理性質(zhì)的球體來作為參照物的話，更有利于獲得更精確的數(shù)值。

利用球作為參照物體復(fù)原的話，可以尋找目標(biāo)物體的某一點(diǎn)。假設(shè)這一點(diǎn)的數(shù)字圖像灰度值為E，那么對于在參照物體球的相同灰度值E的對應(yīng)點(diǎn)，可以建立一個(gè)參照表。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Neural Networks，簡寫為NN），它是一種模仿動(dòng)物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)行為特征，進(jìn)行分布式并行信息處理的算法數(shù)學(xué)模型。這種網(wǎng)絡(luò)依靠系統(tǒng)的復(fù)雜程度，通過調(diào)整內(nèi)部大量節(jié)點(diǎn)之間相互連接的關(guān)系，從而達(dá)到處理信息的目的。

3 高斯曲率

高斯曲率是曲面論中最重要的內(nèi)蘊(yùn)幾何量。設(shè)曲面在P點(diǎn)處的兩個(gè)主曲率為k1，k2，它們的乘積k=k1·k2稱為曲面于該點(diǎn)的總曲率或高斯曲率。

其中，點(diǎn)（x，y）的高斯曲率G可以定義為：

這里fx是z相對于x的偏導(dǎo)數(shù)，而fy是z相對于y的偏導(dǎo)數(shù)。而且我們根據(jù)高數(shù)的數(shù)學(xué)知識我們知道對于平滑的曲面來說fxy=fyx的。點(diǎn)（x，y）的平均曲率M可以被

定義為：

根據(jù)曲率k1和k2符號的不同，曲面可以分為六種可能性。分別如圖1-6所示。圖中，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)把數(shù)字圖像的灰度值E映射到每個(gè)參照的球上的點(diǎn)（x，y）上。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)的結(jié)果就是把給定的物體的每個(gè)點(diǎn)的灰度值E，分別映射到球上的對應(yīng)相同灰度值的點(diǎn)（x，y）。因?yàn)榍虻奶匦詻Q定了它擁有一個(gè)空間坐標(biāo)系所有可能性的向量特征，所以根據(jù)從目標(biāo)物體的灰度值E映射到球上的對應(yīng)點(diǎn)的相同灰度值E的地方，也就相當(dāng)于物體該點(diǎn)的向量和球上的該點(diǎn)的向量值相同。而且，物體目標(biāo)點(diǎn)附近4點(diǎn)分別映射到球上附近4點(diǎn)的時(shí)候，我們可以根據(jù)映射到的4個(gè)點(diǎn)的位置關(guān)系得到如圖1-6的6種曲面關(guān)系對應(yīng)。

■

圖1 ?k1>0， k2>0 ? 凸面

■

圖2 ?k1<0， k2<0 ? 凹面

■

圖3 ?k1=0， k2=0 ?平面

■

圖4 ?k1>0， k2<0 ?凸面

■

圖5 ?k1>0， k2=0 ?凸鞍馬面

■

圖6 ?k1=0， k2<0 ? 凹鞍馬面

假定目標(biāo)物體的曲面函數(shù)為z=f（x，y），那么對于任意一個(gè)點(diǎn)（x0，y0，z0）來說，根據(jù)泰勒公式把z=f（x，y）可以表示為

如果z=f（x，y）由該點(diǎn)（x0，y0，f（x0，y0））的法線向量n表示的話，可以用下面的公式表示n=■-fx-fy 1（4）

這里同樣fx是z相對于x的偏導(dǎo)數(shù)，而fy是z相對于y的偏導(dǎo)數(shù)。

對于半徑為r的球面某一點(diǎn)（xc，yc，（r2-xc2-yc2）1/2），然而，這時(shí)候改點(diǎn)的法線向量可以表示為

這里，目標(biāo)物體的點(diǎn)（x0，y0，f（x0，y0））和相對應(yīng)球上的點(diǎn)（xc，yc，（r2-xc2-yc2）1/2）可以通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)映射出來，前提是他們的法線向量n是一樣的話。

也就是說，球上對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示為

根據(jù)上面目標(biāo)物體的某點(diǎn)用泰勒公式表示的方程公

式（3），對應(yīng)目標(biāo)物體某店周圍4點(diǎn)分別是（P，Q，R，S）=（x0，

y0-Δy），（x0+Δx，y0），（x0，y0+Δy）和（x0-Δx，y0），周圍4點(diǎn)（P，Q，R，S）的偏導(dǎo)數(shù)分別是

這4個(gè)點(diǎn)（P，Q，R，S）包圍所的得到的曲面的面積S可以由以下向量a和b來表示，向量a和b分別是四邊形的兩條邊。

所以，面積S就可以表示成

在這里，可以看出根據(jù)上面的公式，某一點(diǎn)的高斯曲率可以由該點(diǎn)附近4點(diǎn)所包圍曲面的面積S來確定。也就是說該點(diǎn)的高斯曲率相對大小就是由附近4點(diǎn)包圍面積的值來表示。另外，如圖1-6所示的附近4點(diǎn)的六種可能性，可以確定曲面的類型以及曲率的符號。所以我們最終就確定了曲率的相對大小和符號，以及曲面類型等相關(guān)信息。

參考文獻(xiàn)：

[1]呂東輝，張棟，孫九愛.光度立體技術(shù)的物體三維表面重建算法模擬與評價(jià)[J].計(jì)算機(jī)工程與設(shè)計(jì)，2010（16）.

[2]鄭戟明，呂東輝，張棟，孫九愛.利用控制點(diǎn)提高光度立體技術(shù)重建精度研究[J].計(jì)算機(jī)工程與設(shè)計(jì)，2010（22）.

[3]孫宇陽.基于單幅圖像的三維重建技術(shù)綜述[J].北方工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2011（1）.