張永剛

(1.安徽理工大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，安徽淮南232001;2.南京大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇南京210093)

有限元計(jì)算方法中時(shí)間步長(zhǎng)的Newmark處理

張永剛1，2

(1.安徽理工大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，安徽淮南232001;2.南京大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇南京210093)

本文采用有限元方法和Newmark方法相結(jié)合，對(duì)求解問(wèn)題的空間部分用有限元離散處理，對(duì)時(shí)間部分用Newmark方法進(jìn)行變換，從而對(duì)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算.分析了叉指換能器的電極上的電荷分布情況與外加電壓激勵(lì)的關(guān)系，并對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了分析.

有限元方法;Newmark方法;電荷分布①

0 引言

有限元法(Finite Element Method，簡(jiǎn)寫(xiě)為FEM)是求解微分方程的一種有效的數(shù)值計(jì)算方法，用有限元法方法進(jìn)行波動(dòng)數(shù)值模擬有非常廣泛的應(yīng)用.有限元法起源于固體力學(xué)的應(yīng)用需求，其應(yīng)用逐步擴(kuò)展到熱傳導(dǎo)、計(jì)算流體力學(xué)、電磁學(xué)等不同領(lǐng)域，成為很重要的數(shù)值計(jì)算方法.

由于有限元法對(duì)計(jì)算機(jī)資源消耗很大，一般在空間離散上采用了大小不同的矩形離散單元.而在時(shí)間處理上，本文把有限元和Newmark方法結(jié)合，對(duì)求解問(wèn)題的空間部分采用有限元離散處理，對(duì)時(shí)間部分用Newmark方法進(jìn)行變換，對(duì)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題進(jìn)行分析計(jì)算，并采用這種方法計(jì)算換能器電極上的電荷分布在一個(gè)周期中的變化情況.

1 理論模型

在壓電介質(zhì)中，由于存在壓電效應(yīng)，在伴隨彈性波傳播的同時(shí)，必然出現(xiàn)電磁波的傳播.這種聲波和電磁波的相互耦合使得在壓電介質(zhì)中傳播的聲表面波具有和非壓電體中不同的性質(zhì).對(duì)于壓電介質(zhì)中聲波的研究，和非壓電介質(zhì)一樣，仍然從聲波在介質(zhì)中傳播所遵循的彈性波方程著手，但是所不同的是，此時(shí)還必須同時(shí)求解電磁波方程.

聲場(chǎng)在壓電介質(zhì)中遵循兩個(gè)方程:質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的彈性波方程和麥克斯韋方程組.它們?cè)趬弘娊橘|(zhì)內(nèi)通過(guò)壓電本構(gòu)方程聯(lián)系在一起.在線性范圍內(nèi)，如果我們選擇應(yīng)變S和電場(chǎng)強(qiáng)度E為自變量，應(yīng)力T和電位移D為因變量，則有下面相應(yīng)的壓電本構(gòu)方程［1］［2］:

在上式中，S是應(yīng)變矩陣，表示聲學(xué)振動(dòng)物體形變.T表示應(yīng)力矩陣，是質(zhì)點(diǎn)間的彈性恢復(fù)力，E表示電場(chǎng)強(qiáng)度;D表示電位移;［c］是彈性剛度常數(shù)，是一個(gè)表征材料形變量度的參數(shù).［e］是壓電常數(shù);［ε］是介電常數(shù)矩陣.

對(duì)聲表面波器件如叉指換能器來(lái)說(shuō)，Maxwell方程可以簡(jiǎn)化為下面兩式.

上式中φ為電勢(shì).在后面的計(jì)算中，設(shè)聲表面波傳播方向是x軸方向，而設(shè)y軸垂直于壓電介質(zhì)表面，z軸平行于電極指條方向，如圖1所示.

圖1 叉指換能器示意圖

經(jīng)過(guò)一系列的有限元處理:限元方程的建立;設(shè)置計(jì)算邊界;有限元計(jì)算單元的劃分;單元插值形函數(shù)的生成;最后可以得到計(jì)算聲表面波傳播的有限元方程組［3-7］，這個(gè)壓電有限元方程為:

其中，F(xiàn)=Pe+pe;Q=+

然后進(jìn)行總剛度矩陣的組裝;界約束條件的處理;邊界單元瑞利阻尼引入，壓電有限元方程變成［5-8］:

Damp矩陣是每個(gè)單元的組裝而成.

在計(jì)算中加大α，β的值［8］可以讓阻尼單元達(dá)到吸聲的效果.根據(jù)不同單元的瑞利阻尼系數(shù)α，β的值，可以計(jì)算得到阻尼比γ的值.

對(duì)一個(gè)彈性動(dòng)力問(wèn)題，用有限元法把待求問(wèn)題在空間上進(jìn)行離散，得到一個(gè)離散方程后，對(duì)此類(lèi)動(dòng)力學(xué)方程在時(shí)間方面的常用解法有:利用Laplace或Fourier變換把一個(gè)關(guān)于時(shí)間t的彈性動(dòng)力學(xué)方程變換為一個(gè)變換參數(shù)為p或s的彈性動(dòng)力學(xué)方程.把有限元法和Laplace或Fourier變換相結(jié)合，把關(guān)于時(shí)間的常微分方程變換成了關(guān)于變換參數(shù)p或s的代數(shù)方程組，求解在變換空間的代數(shù)方程組.然后利用Laplace或Fourier反變換，就可以將該解變換到時(shí)間域中.另外一種方法是用差分法把時(shí)間域離散化或利用直接積分方法，比如Wilson-θ法，Newmark［2］法等.直接積分法是在求解方程組之前不對(duì)它進(jìn)行形式的變換，而是直接對(duì)它進(jìn)行逐步數(shù)值積分.

在計(jì)算中，每個(gè)周期的求解域0□T被等分為n個(gè)時(shí)間間隔Δt(Δt=T/n).在t□t+Δt的時(shí)間區(qū)域內(nèi)，Newmark積分方法依具的假設(shè)［2］如下式:

Newmark方法中t+Δt時(shí)刻的位移解答ut+Δt是通過(guò)滿足時(shí)間t+Δt的運(yùn)動(dòng)方程得到的，也就是由下面方程:

把上式(6)帶入方程有限元(5)中，進(jìn)行整理后可以得到下面的Newmark變換后的有限元方程:

2 電荷分布

由于所有電極都排布在壓電基體的表面，當(dāng)在電極上外加正弦波電壓時(shí)，根據(jù)文獻(xiàn)［2］所述的聲表面波換能器的原理，在Y-Z鋰酸鈮基體中生成的彈性波主要聲表面波，也就是說(shuō)本文所計(jì)算的換能器基本上是對(duì)聲表面波進(jìn)行換能.我們研究了在電極上外加正弦波電壓時(shí)Y-Z鋰酸鈮介質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)ξ1方向振動(dòng)的振幅，如圖2所示.從圖中可以看出，質(zhì)點(diǎn)ξ1方向振動(dòng)振幅和文獻(xiàn)［2］的文字描述及圖示是一致的.

圖2 壓電基體中質(zhì)點(diǎn)相對(duì)振幅

圖3 交替地加相反的單位常電壓

當(dāng)電極上外加正弦波電壓時(shí)，在電極上的總的電荷分布應(yīng)該包括兩個(gè)部分，一部分是靜態(tài)電荷分布，另一部分是外加激勵(lì)產(chǎn)生的彈性波造成的電荷分布(主要是聲表面波)，也就是動(dòng)態(tài)電荷部分.

在5個(gè)電極上加相反的常電壓激勵(lì)時(shí)(如圖3所示)，用有限元方法的計(jì)算結(jié)果如圖4所示.

我們計(jì)算電荷分布中的動(dòng)態(tài)部分，觀察由聲波造成的動(dòng)態(tài)電荷分布的變化，這里選擇了一個(gè)時(shí)間周期中的2個(gè)特定時(shí)刻來(lái)觀察有限元方法的計(jì)算結(jié)果.

圖4 動(dòng)態(tài)電荷分布

3 結(jié)論

本文給出了用有限元方法結(jié)合時(shí)間步長(zhǎng)的處理計(jì)算出的叉指換能器表面電極上的激勵(lì)情況.把頻域有限元計(jì)算方法與時(shí)間的Newmark方法相結(jié)合，計(jì)算了在外加時(shí)變電壓情況下的電荷分布情況，給出了特定頻率下電極上的電荷分布，并用Newmark方法設(shè)定時(shí)間步長(zhǎng)，計(jì)算此特定頻率下不同時(shí)刻電極上的動(dòng)態(tài)電荷分布，分析了不同時(shí)刻下的電荷分布間的差別.

［1］B.A.Auld.Acoustic Fields and Waves in Solids［M］.John Wiley，1973，5-230.

［2］水永安.聲表面波與聲表面波器件講義［M］.南京:南京大學(xué)，1998，27-56.

［3］S.H.Ju and Y.M.Wang.Time-Dependent Absorbing Boundary Conditions for Elastic Wave Propagation［J］.Int.J.Numer.Meth.2011，50:2159-2174.

［4］V.V.Petrovic and B.D.Popovic.Optimal FEM Solution of One-Dimensional EM Problems.International Journal of Numerical Modelling Electronic Networks，Devices and Fields［J］.Int.J.Numer.Model.2011，14(2):49-68.

［5］Gou Endoh，Ken-ya Hashimoto and Masatsune Yamaguchi.Surface acoustic wave propagation characterrisation by finite element method and spectral domain analysis［J］.Japanese Journal of Applied Physics.1995，34(1):2638-2641.

［6］Fernando L.Teixeira，Christopher D.Moss，Weng C.Chew and Jin A.Kong.Split-Field and Anisotropic-Medium PML-FDTD Implementations for Inhomogeneous Media［J］.IEEE Ttransactions on Microwave Theory and Technique.2002，50(1):30-35.

［7］Zhenhai Shao，Wei Hong，and Jianyi Zhou.Generalized Z-Domain Absorbing Boundary Conditions for the Analysis of E-lectromagnetic Problems with Finite-Difference Time-Domain Method［J］.IEEE Ttransactions on Microwave Theory and Technique.2003，51(1):82-90.

［8］C.S.Hartmann，and B.P.Abbott.Overviev of Design Challenges for Single Phase Unidirectional SAW Filters［J］.Ultrasonics Symposium.1989，46(2):79-89.

［9］王勖成.有限元法［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2003.

［責(zé)任編輯:閆昕］

The Calculation of Charge Distribution on Interdigital Transducers Using Finite Element Together with Newmark Method

ZHANG Yong-gang1，2
(1.School of Electrical and Information Engineering，Anhui University of Science and Technology，Huainan 232001，China;2.School of Electronic Science and Engineering，Nanjing University，Nanjing 210093，China)

the paper established Finite Element Method(FEM)equations for Interdigital Transducers from piezoelectric constitutive equation and acoustic field wave equation.the FEM divided the space area into small elements and transformed the equation in time part with Newmark method to solve the charge distribution on electrodes of the dynamics equation.On account of Finite Element Method need a large amount of computer resource，our analyse adopted different elements in size to reduce the calculation time.

finite element method;newmark method;charge distribution

TN912

A

1004-7077(2015)02-0024-04

2015-01-10

國(guó)家自然科學(xué)基金(項(xiàng)目編號(hào):61401003).

張永剛(1976-)，男，安徽六安人，安徽理工大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院講師，南京大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院2010級(jí)在讀博士研究生，主要從事電磁計(jì)算方法的研究.