楊 強(qiáng)，杜平安，周 元，游 冬，王 勇

(1. 電子科技大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院 成都 611731; 2. 中國電子科技集團(tuán)第24研究所 重慶 南岸區(qū) 400060;3. 西南電子技術(shù)研究所 成都 610036)

PCB板是電子設(shè)備的核心部件，由印制板(基板)和安裝在板上的各類元器件構(gòu)成。由于元器件數(shù)量多、形狀復(fù)雜、大小不一，在利用有限元法進(jìn)行PCB板的動態(tài)特性分析時，會導(dǎo)致分網(wǎng)過程復(fù)雜，網(wǎng)格和節(jié)點(diǎn)數(shù)量巨大。特別是在進(jìn)行設(shè)備整機(jī)(系統(tǒng)級)動態(tài)特性分析時，要詳細(xì)考慮各類元器件進(jìn)行詳細(xì)建模幾乎不可能。因此需要對PCB板進(jìn)行等效建模，即忽略(或部分忽略)板上元器件，以使分網(wǎng)過程能夠進(jìn)行，且模型規(guī)模得到控制[1-4]。

國內(nèi)外學(xué)者圍繞PCB板的等效建模做了大量的研究。文獻(xiàn)[5]提出利用區(qū)域等效來建立PCB板的有限元模型，但當(dāng)板上元器件數(shù)目眾多且分布不均時，劃分區(qū)域太多，導(dǎo)致分網(wǎng)過程復(fù)雜。文獻(xiàn)[6]研究了PCB板的5種等效建模方法，其中4種方法都不同程度忽略了元器件質(zhì)量與剛度的影響；文獻(xiàn)[7]將PCB板上小元器件質(zhì)量均布在基板上，大元器件簡化為集中質(zhì)量點(diǎn)；文獻(xiàn)[8]提出了PCB板在動態(tài)分析時，其等效模型等效剛度的一種計(jì)算方法，但未給出具體的適用范圍。

鑒于目前各類等效方法的局限，本文根據(jù)工程應(yīng)用需求，提出一種基于等效楊氏模量的等效建模方法。該方法以等效前后PCB板的固有頻率相等為原則，將實(shí)際PCB板等效為均質(zhì)、等厚的光板。利用單位楊氏模量模型，推導(dǎo)出第i階等效模型的楊氏模量。基于最小二乘法，求得多階頻率下等效楊氏模量表達(dá)式。把等效楊氏模量和密度賦予等效模型，將使整機(jī)分析分網(wǎng)過程大大簡化，網(wǎng)格數(shù)量大幅度減少，同時能有效地保證等效前后固有頻率不變。

1 PCB板等效建模方法

1.1 等效建?；舅悸?/h3>

工程上常見的PCB板如圖1a所示，包含基板及安裝在基板上的電阻、電容、功能芯片、插槽和接口等部件，由于插槽剛度較低，電阻、電容等元件尺寸較小，在設(shè)備系統(tǒng)級動態(tài)分析時可忽略它們的局部動態(tài)性能，可將原PCB板等效為如圖1b所示的均勻密度的等厚板，并將等效后的PCB板用于電子設(shè)備整機(jī)的動態(tài)分析。

圖1 PCB板結(jié)構(gòu)模型圖

PCB板的等效原則是保證等效前后固有頻率不變。實(shí)現(xiàn)方法為：1) 保持等效模型的長寬尺寸和厚度與等效前的基板相同；2) 等效模型材料的泊松比與基板相同，并將元器件質(zhì)量均勻分布在等效板上，即保持等效模型為均質(zhì)、等厚的薄板；3) 通過改變等效模型的材料楊氏模量來保證等效前后固有頻率相同。因此可建立等效關(guān)系為：

式中，f 為固有頻率；V為幾何尺寸；E為楊氏模量；ρ為密度；μ為泊松比；M0為原PCB板質(zhì)量；下標(biāo)real和equi分別表示原模型和等效模型。

從式(1)可以看出，等效后僅有Eequi為未知，即等效模型的彈性模量，稱為等效楊氏模量。

1.2 等效楊氏模量推導(dǎo)

根據(jù)振動理論[9]，結(jié)構(gòu)自由振動特征方程為：

式中，K為剛度矩陣；M為質(zhì)量矩陣；ω為固有頻率。由式(2)得到原PCB板第i階模態(tài)方程為：

式中，iω為原來PCB板第i階固有頻率；ui為第i階振型。

為求得等效楊氏模量，首先建立單位楊氏模量模型，即滿足等效原則式(1)和式(2)，且E=1的模型。根據(jù)式(3)可求得單位楊氏模量模型的模態(tài)方程為：

式中，Kus為單位楊氏模量模型的剛度矩陣；Mus為質(zhì)量矩陣；下標(biāo)us表示單位楊氏模量模型。

根據(jù)有限元理論[10]，對于均勻等厚板，剛度矩陣和單位楊氏模量剛度矩陣成正比，即有：

由等效原則式(2)可知，等效模型質(zhì)量矩陣與單位楊氏模量質(zhì)量矩陣相等，即有：

根據(jù)振動理論[11]，單位楊氏模量模型的振型(ui)us和PCB板等效模型的振型(ui)equi相同。由于模態(tài)階數(shù)不同，等效楊氏模量不同，用(Ei)equi表示第i階模態(tài)的等效楊氏模量，因此等效模型的模態(tài)方程可表示為:

式(10)等號右邊的所有參數(shù)為已知，因此可利用該式求解等效模型第i階模態(tài)的楊氏模量。工程上一般關(guān)心結(jié)構(gòu)的低階頻率，特別是基頻，所以通過式(10)求得的PCB板第一階模態(tài)等效楊氏模量已能滿足工程應(yīng)用需求。

1.3 多階頻率下等效楊氏模量推導(dǎo)

當(dāng)同時考慮多階頻率下的等效楊氏模量時，式(10)不再適用。為減小等效模型與實(shí)際模型固有頻率的相對誤差，利用最小二乘法，建立前n階頻率相對誤差為：

式中，y為頻率的相對誤差，實(shí)際上是等效模型第i階頻率等效楊氏模量與考慮多階頻率時的等效楊氏模量之間的相對誤差，所以式(11)中頻率參數(shù)可由楊氏模量參數(shù)代替得到：

式中，Eequi為考慮多階頻率的楊氏模量。

為了使 y*的值最小，需滿足：

由式(14)可知，多階頻率下等效楊氏模量是由每階模態(tài)的等效楊氏模量共同決定的，該求解方法是一種均勻化方法。

當(dāng)n=1時，式(14)可化簡為：

式(15)與式(11)相同，表明多階頻率下的等效楊氏模量對單階頻率等效也同樣適用。

從PCB板的等效建模方法可看出，當(dāng)PCB板上元器件越小，分布越均勻，等效前后頻率誤差越小，等效效果越好。

2 元器件對等效楊氏模量的影響分析

圖2 PCB板結(jié)構(gòu)模型示意圖

元器件與PCB之間的接觸面積、元器件高度對等效楊氏模量都有一定影響，本文以圖2所示算例進(jìn)行說明。設(shè)PCB板尺寸0.2 m×0.15 m×0.002 m，材料楊氏模量22 GPa，泊松比0.28，密度1 850 kg/m3。元器件位于板中央，楊氏模量26.5 GPa，泊松比為0.42，密度4 600 kg/m3。板的4個角點(diǎn)固定。等效模型尺寸為0.2 m×0.15 m×0.002 m，泊松比0.28。

2.1 接觸面積對等效楊氏模量的影響

元器件與PCB間的接觸面積不同，結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量分布不同，從而影響等效楊氏模量。對于圖2所示模型，利用單階頻率等效法，分別取不同的接觸面積S(S=a×b，見圖2)，等效楊氏模量Eequi與S的關(guān)系如圖3所示。

圖3 等效楊氏模量E equi與接觸面積S的關(guān)系圖

從圖3可看出：1) 對于第一階模態(tài)，當(dāng)a一定時，隨著b增加，等效楊氏模量的變化規(guī)律不同；當(dāng)b一定時，隨著a增加，等效楊氏模量總體呈上升趨勢，這主要是由于板結(jié)構(gòu)一階模態(tài)振幅的最大位置位于板中央，導(dǎo)致元器件所在位置是振動薄弱位置，且元器件的長邊方向與PCB長邊方向一致時，頻率越高，導(dǎo)致等效楊氏模量越高；2) 對于第二到第五階模態(tài)，當(dāng)a一定時，隨著b增加，等效楊氏模量上升；當(dāng)b一定時，隨著a增加，等效楊氏模量也上升。這主要是由于a或b的增加，增大了元器件與板間的接觸面積S，相當(dāng)于增加了它們間的接觸剛度，導(dǎo)致整體結(jié)構(gòu)剛度增加；3) 各階模態(tài)等效楊氏模量的變化規(guī)律不同，說明接觸面積S對每階模態(tài)等效楊氏模量影響不同。

利用一階等效楊氏模量作為等效模型的楊氏模量，等效模型頻率相對誤差δ與接觸面積S的關(guān)系如圖4所示。

圖4 等效頻率相對誤差δ與接觸面積S的關(guān)系

從圖4可以看出：1) 一階模態(tài)頻率相對誤差接近于0，說明等效結(jié)構(gòu)和原結(jié)構(gòu)的一階頻率非常吻合。由于工程中常常關(guān)心結(jié)構(gòu)的一階模態(tài)，因此可滿足大多數(shù)工程需要。2) 一階頻率等效時，其他每階頻率的誤差變化規(guī)律不同，說明結(jié)構(gòu)模型每階頻率對接觸面積S變化引起的剛度和質(zhì)量的分布的靈敏度不同，當(dāng)接觸面積S較大時，第二到第五階頻率誤差很大，且隨著接觸面積S的變化而變化，說明元器件接觸面積越小，頻率相對誤差越小，等效效果越好。

2.2 元器件高度對等效楊氏模量的影響

利用單階頻率等效方法，分別取不同的元器件高度，計(jì)算得到等效楊氏模量Eequi與元器件高度h的關(guān)系如圖5所示。

從圖5可看出，隨著元器件質(zhì)心遠(yuǎn)離PCB板，等效楊氏模量變化較復(fù)雜，一階頻率等效剛度以類似直線下降變化，第二到第五階頻率等效剛度總體呈上升趨勢。采用一階頻率等效的等效剛度，等效模型的頻率相對誤差δ如圖6所示。

從圖6可以看出，1) 單階頻率等效時，一階頻率相對誤差非常?。?) 第二到第五階頻率相對誤差，隨著高度h的增加而呈現(xiàn)上升趨勢，說明元器件高度越低，等效效果越好。

圖5 等效楊氏模量E equi與元器件高度h的關(guān)系圖

圖6 等效頻率相對誤差δ與元器件件高度h的關(guān)系圖

3 實(shí)例分析

本文利用ANSYS軟件對某電源模塊PCB板進(jìn)行動態(tài)分析，以驗(yàn)證等效建模方法的有效性。PCB板模型及等效模型如圖7所示。PCB板楊氏模量為22 GPa，泊松比為0.28，密度為1 850 kg/m3。原PCB板采用大小為0.001 2 m的20節(jié)點(diǎn)186單元和10節(jié)點(diǎn)187單元，共217 124個節(jié)點(diǎn)和125 590個單元。等效板采用大小為0.001 2 m的10節(jié)點(diǎn)187單元，共167 536個節(jié)點(diǎn)和84 783個單元。可見，等效后PCB板有限元模型的規(guī)模大大減小，而且劃分網(wǎng)格非常容易。

圖7 電源模塊PCB板幾何模型及等效模型圖

根據(jù)工程需要，考慮前二階頻率等效。計(jì)算得到等效楊氏模量42.152 GPa，密度3 237.6 kg/m3。等效模型的各階頻率誤差如表1所示。

表1 等效模型頻率相對誤差表

由表1可以看出，等效模型的前兩階模態(tài)頻率和原PCB模型頻率相對誤差在5%以內(nèi)，能滿足工程應(yīng)用精度要求；兩階頻率相對誤差相差很接近，說明多階頻率等效方法是一種均勻化方法，與理論推導(dǎo)一致。

用等效模型代替原PCB板進(jìn)行電源整機(jī)建模，整機(jī)模型及有限元模型如圖8所示。與原來模型相比，等效后模型節(jié)點(diǎn)數(shù)量減少49 588個，單元數(shù)量減少40 807個。

圖8 電源模塊整機(jī)模型及其等效后模型圖

前兩階頻率及相對誤差δ如表2所示。

表2 采用等效PCB板的電源頻率及其相對誤差表

從圖8和表2可以看出，采用等效模型后的有限元模型更簡單，劃分網(wǎng)格更容易，分析時間更短，且頻率的相對誤差均小于3%，既能滿足工程應(yīng)用需要，又說明了該等效方法的有效性。

4 結(jié) 束 語

基于單位楊氏模量模型，對于帶有多種小元器件的PCB板，本文提出一種PCB板動態(tài)分析等效建模方法。該方法先將原PCB板簡化為等厚度的板，由質(zhì)量相等原則得到等效密度，并且對單階頻率等效楊氏模量進(jìn)行了推導(dǎo)，然后基于最小二乘法，求得了多階頻率下等效楊氏模量的表達(dá)式。分析了元器件與PCB間接觸面積和元器件高度對等效楊氏模量的影響。應(yīng)用實(shí)例表明，采用本文的PCB板等效建模方法，能大大簡化有限元模型，同時能有效地保證工程上要求的計(jì)算精度，因此對于儀器儀表的系統(tǒng)級分析具有很高的實(shí)際應(yīng)用價值。

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編 輯 黃 莘