甄晨光 齊曉東

摘要：討論積分上限函數(shù)的確定性，并用它討論原函數(shù)的性質(zhì)：如函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)等，補(bǔ)充證明變限函數(shù)的積分的求導(dǎo)公式。

關(guān)鍵詞：積分上限函數(shù) 單調(diào)性 奇偶性 連續(xù)性

積分上限函數(shù)是積分學(xué)中的重要概念之一，它的重要作用就是引出微積分的兩個(gè)基本定理，一是原函數(shù)的存在定理，二是證明牛頓-萊布尼茲公式。然而我們往往把教學(xué)重點(diǎn)放在如何應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算，而忽視了對(duì)原函數(shù)存在定理的進(jìn)一步探討，這也是本文討論的內(nèi)容：積分上限函數(shù)的確定性，并用它討論并用它討論原函數(shù)的性質(zhì)：如函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、連續(xù)性等，證明變限函數(shù)的積分的求導(dǎo)公式?，F(xiàn)在首先回顧原函數(shù)存在定理：

定理1 （原函數(shù)存在定理）設(shè)f（x）在[a，b]上連續(xù)，則積分上限函數(shù)？椎（x）= f（t）dt是f（x）在[a，b]上的一個(gè)原函數(shù)，即？椎′（x）=f（x），x∈[a，b]

大部分教材只介紹上面求導(dǎo)的式子，說(shuō)明積分上限函數(shù)？椎（x）= f（t）dt的導(dǎo)數(shù)是f（x），但沒(méi)有強(qiáng)調(diào)另一個(gè)關(guān)鍵的式子： f（x）dx= f（t）dt+C（1）

要注意的是不定積分 f（x）dx只能作為運(yùn)算符號(hào)，或者說(shuō)它表示一類函數(shù)的集合，不能表示f（x）的一個(gè)具體的原函數(shù)，特別當(dāng)f（x）作為一個(gè)抽象的函數(shù)時(shí)，無(wú)法用 f（x）dx來(lái)討論它的某一個(gè)原函數(shù)的性質(zhì)；而 f（t）dt的最大優(yōu)點(diǎn)在于它的確定性，表示的是f（x）的某一確定的原函數(shù)，并利用它來(lái)討論f（x）原函數(shù)的性質(zhì)：如函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、極值等。以下我們舉例說(shuō)明變上限積分函數(shù) f（t）dt的應(yīng)用以及重要性。

例1 設(shè)F（x）= e dt，則正確的是：（A）F（x）是單調(diào)遞增的；（B）F（x）是單調(diào)遞減的；（C）無(wú)法判斷F（x）的單調(diào)性。

本題顯然無(wú)法計(jì)算F（x）的具體表達(dá)式，我們根據(jù)積分上限函數(shù)F（x）的確定性，通過(guò)定積分的幾何意義進(jìn)行判斷，也可以運(yùn)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷其單調(diào)性。

解：方法（一）因?yàn)楸环e函數(shù)e 大于0，故F（x）= e dt表示的是由x軸，y軸，曲線e 所圍成的曲邊梯形的面積，進(jìn)而可以得知，隨著x的增大，函數(shù)值F（x）也增大，所以（A）是正確的選項(xiàng)。

方法（二）根據(jù)定理1得知：F′（x）=（ e ）′=e ，又因?yàn)閑 >0，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性定理得到：函數(shù)F（x）是單調(diào)遞增的。

例2 設(shè)f（x）是連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)（x）是f（x）的原函數(shù)，則（A）當(dāng)f（x）是奇函數(shù)時(shí)，F(xiàn)（x）是偶函數(shù)；（B）當(dāng)f（x）偶函數(shù)時(shí)，F(xiàn)（x）是奇函數(shù)；（C）當(dāng)f（x）是周期函數(shù)時(shí)，F(xiàn)（x）是周期函數(shù)；（D）當(dāng)f（x）是單調(diào)增函數(shù)時(shí)，F(xiàn)（x）是單調(diào)增函數(shù)。

解：現(xiàn)用變上限定積分表示f（x）的一個(gè)原函數(shù)，記？椎（x）= f（t）dt，并設(shè)其中f（x）為連續(xù)的奇函數(shù)，則

所以F（x）為偶函數(shù)，應(yīng)選（A）。從上面的例子可以看出，變上限積分函數(shù)比不定積分的最大優(yōu)越性在于函數(shù)形式的確定性。我們?cè)賮?lái)看一道類似的題目：

例3 討論下列函數(shù)的連續(xù)性

所以，函數(shù)在x=0點(diǎn)不連續(xù)，但是右連續(xù)的。

例4 設(shè)

證明：變量x不僅是積分上限，還出現(xiàn)在被積函數(shù)中，由于這個(gè)定積分是對(duì)t積分，x與t無(wú)關(guān)，故計(jì)算積分時(shí)，把x看作常數(shù)即可。

例5 證明變限函數(shù)的求導(dǎo)法則

證明：把變限積分函數(shù)記為？椎（x），即有？椎（x）= f（t）dt

根據(jù)積分區(qū)間的可加性有：？椎（x）= f（t）dt- f（t）

利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則和定理1，有：

從以上討論中可以看出積分上限函數(shù)的確定性在判斷函數(shù)性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性、連續(xù)性等）中的重要作用，通過(guò)推導(dǎo)變限函數(shù)的求導(dǎo)公式，有助于學(xué)生理解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則和原函數(shù)存在定理。筆者認(rèn)為在教學(xué)中，有必要通過(guò)一兩個(gè)例題加強(qiáng)學(xué)生在這方面的理解。

參考文獻(xiàn)：

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課題項(xiàng)目：

本文為河北省教育科學(xué)研究“十二五”規(guī)劃課題2013年度立項(xiàng)課題《以崗位需求為主線，構(gòu)建與財(cái)會(huì)專業(yè)結(jié)合的高職數(shù)學(xué)課程體系》成果之一（課題編號(hào)：13051420）。

河北交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院2012年度院級(jí)高等教育教學(xué)改革立項(xiàng)課題《構(gòu)建與財(cái)會(huì)專業(yè)結(jié)合的經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)課程體系的探索和實(shí)踐》成果之一（課題編號(hào)：2012103）。

作者簡(jiǎn)介：

甄晨光（1980-），男，河北石家莊人，研究方向：數(shù)學(xué)教育教學(xué)，講師。

齊曉東（1973-），女，河北石家莊人，研究方向：數(shù)學(xué)教育教學(xué)， 副教授。