羅運(yùn)闊， 李會(huì)知

(1.鄭州大學(xué) 土木工程學(xué)院 河南 鄭州 450001；2.開封市通達(dá)公路工程有限公司 河南 開封 475003)

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均布荷載下一次超靜定梁的彈塑性全過程分析

羅運(yùn)闊1,2， 李會(huì)知1

(1.鄭州大學(xué) 土木工程學(xué)院 河南 鄭州 450001；2.開封市通達(dá)公路工程有限公司 河南 開封 475003)

對(duì)均布荷載加載作用下一次超靜定梁的彈塑性變形全過程進(jìn)行了分析.根據(jù)受力變形的特點(diǎn)，均布荷載下一次超靜定梁的加載過程可分成4個(gè)階段，分別是彈性階段，固支端附近塑性變形區(qū)擴(kuò)展階段，固支端保持為塑性鉸而固支端附近塑性變形區(qū)卸載階段，固支端保持為塑性鉸而梁中部出現(xiàn)塑性變形區(qū)并擴(kuò)展直至中部某點(diǎn)形成塑性鉸階段.在彈性的第1階段，彎矩內(nèi)力、撓度與外荷載是線性比例關(guān)系；在第2階段，彎矩內(nèi)力、撓度與外荷載是復(fù)雜的非線性關(guān)系；在第3階段，彎矩、撓度與外荷載是線性關(guān)系但不是比例關(guān)系；在第4階段，彎矩與外荷載的關(guān)系與第3階段相同，但撓度與外荷載是更復(fù)雜的非線性關(guān)系.給出了彈塑性全過程各階段任意點(diǎn)的彎矩和撓度計(jì)算公式，可供結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)應(yīng)用.

超靜定梁； 彈塑性； 塑性鉸； 均布荷載； 撓度

0 引言

梁的受力變形數(shù)據(jù)是結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和剛度分析的基礎(chǔ).在線彈性范圍內(nèi)，梁的受力變形分析已是成熟的理論[1].在塑性條件下，應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系是非線性的，使得超靜定梁的受力變形解析分析成為復(fù)雜的難題，現(xiàn)有研究主要依賴于數(shù)值方法來解決[2-3].曹天捷[4]、李會(huì)知[5-7]和樊友景[8]解析討論了幾種工況的超靜定梁的受力和變形.但李會(huì)知的前期研究中忽視了塑性鉸的轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)懸臂梁基本體系的否定，造成出現(xiàn)塑性鉸后的位移公式存在錯(cuò)誤.本文對(duì)跨中均布荷載作用下單跨一次超靜定梁的彈塑性加載和變形全過程進(jìn)行了分析，在出現(xiàn)塑性鉸后，采用簡支梁體系來分析，是一次完善性質(zhì)的解析研究，給出了全過程各階段任意點(diǎn)的彎矩和撓度計(jì)算公式，可供結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)者參考和應(yīng)用.

1 彈性階段

單跨一次超靜定梁和所受均布荷載如圖1.已知梁是矩形截面梁，b，h分別是梁寬和梁高，梁材料是理想彈塑性材料，材料屈服應(yīng)力是σs.梁的彎矩內(nèi)力和撓度隨均布荷載q的變化是分析梁強(qiáng)度和剛度的數(shù)據(jù)基礎(chǔ).

圖1 一次超靜定梁

利用材料力學(xué)理論[1]不難得出彈性階段的結(jié)果，約束力、彎矩內(nèi)力和撓度曲線分別是

(1)

上述各式表明彈性階段的約束力、彎矩內(nèi)力和撓度均隨外荷載q的增加按線性比例增加.當(dāng)固支端彎矩達(dá)截面彈性極限彎矩Me=bh2σs/6時(shí)，外荷載q達(dá)彈性極限qe=8Me/l2.

2 固支端附近塑性變形區(qū)擴(kuò)展階段

分析撓度w采用公式

(2)

下面以公式(2)為基本理論依據(jù)，分析圖1梁出現(xiàn)塑性變形后彎矩和撓度隨外荷載q的變化.

圖1超靜定梁的彎矩分布通過點(diǎn)A的約束力FA表達(dá)為

(3)

只要確定了FA與荷載q的關(guān)系，就確定了梁的彎矩內(nèi)力隨荷載的變化情況.

取圖2所示的懸臂梁作為基本體系來分析討論FA和q的關(guān)系.當(dāng)荷載q和FA作用下基本體系A(chǔ)點(diǎn)的撓度wA=0時(shí)，F(xiàn)A就是圖1梁的約束力.本加載階段公式(3)的彎矩如圖3，圖3的x=a處彎矩為彈性極限彎矩Me，固支端附近彈塑性段(a

(4)

圖4是基本體系只在點(diǎn)A加豎向單位荷載的彎矩圖，根據(jù)公式(2)求出點(diǎn)A的撓度wA并令wA=0，得FA和q關(guān)系如下

(5)

由式(5)可見約束力FA與荷載q是非線性關(guān)系，進(jìn)一步可知,由公式(3)表達(dá)的彎矩內(nèi)力M與荷載q也是復(fù)雜的非線性關(guān)系.

先確定本加載階段的荷載范圍.令式(3)中的點(diǎn)B彎矩FAl-ql2/2=-Mu=-1.5Me，聯(lián)立式(5)得q=13.121 6Me/l2,FA=5.060 8Me/l，再代入公式(3)得0

(6)

(7)

當(dāng)a≤x≤l時(shí)，撓度方程為

(8)

撓度公式(7)，(8)中的FA由式(5)確定，a由式(4)確定.可以看出，出現(xiàn)塑性變形后，撓度與外荷載q是非線性關(guān)系.

圖2 基本體系

圖3 彈塑性彎矩圖(qe

圖4 點(diǎn)A單位荷載彎矩圖

圖5 點(diǎn)X單位荷載彎矩圖

3 固支端保持為塑性鉸而固支端附近塑性變形區(qū)卸載階段

當(dāng)荷載q≥q1時(shí)，固支端成為塑性鉸，塑性鉸受約束轉(zhuǎn)動(dòng)，原超靜定梁結(jié)構(gòu)變成靜定結(jié)構(gòu)，等效于簡支梁，力學(xué)等效結(jié)構(gòu)如圖6.只是隨著外荷載q的增加，變成簡支的右端恒作用著彎矩Mu=1.5Me，約束力和梁的彎矩分布為

(9)

可見彎矩M與q雖是線性關(guān)系，但不是比例關(guān)系，給定外荷載q時(shí)，即可由式(9)求出梁任意位置的彎矩內(nèi)力.

雖然受力分析簡單，但撓度計(jì)算仍很復(fù)雜.由于塑性鉸引起的內(nèi)力分布發(fā)生改變，使得隨著荷載q增加，上一階段結(jié)束時(shí)的彈塑性變形區(qū)域(a1≤x≤l)發(fā)生線性卸載，當(dāng)a1≤x≤l時(shí)，曲率為

(10)

(11)

當(dāng)a1≤x≤l時(shí)，撓度方程為

(12)

撓度公式(11)，(12)表明，在本加載階段，撓度與外荷載q是線性關(guān)系但不是比例關(guān)系.

4 固支端保持為塑性鉸而梁中部塑性變形區(qū)擴(kuò)展階段

在本加載階段(q2≤q≤qu)，固支端仍保持為塑性鉸，結(jié)構(gòu)還是等效于靜定的簡支梁結(jié)構(gòu).圖9是本階段的彎矩分布圖，彎矩分布與外荷載q關(guān)系仍由式(9)表達(dá).隨著荷載增加，梁中間部分出現(xiàn)彈塑性段，設(shè)其范圍為c≤x≤b，令式(9)彎矩為Me,得

(13)

本加載階段的變形特點(diǎn)是塑性區(qū)擴(kuò)展與卸載并存.在c

與上同理可求撓度曲線，只是過程和結(jié)果更復(fù)雜.當(dāng)0≤x≤c時(shí)，撓度方程為

(14)

當(dāng)c≤x≤b時(shí)，撓度方程為

(15)

當(dāng)b≤x≤a1時(shí)，撓度方程為

(16)

當(dāng)a1≤x≤l時(shí)，撓度方程為

(17)

撓度式(14)～(17)表明，在本加載階段，撓度與外荷載q是更為復(fù)雜的非線性關(guān)系.

圖6 等效結(jié)構(gòu)

圖7 彈塑性彎矩圖

圖8 點(diǎn)X單位荷載彎矩圖

圖9 彈塑性彎矩圖(q2

5 結(jié)束語

分析了均布荷載作用下一次超靜定理想彈塑性矩形截面梁的受力變形全過程.根據(jù)受力變形的特點(diǎn)，均布荷載作用下一次超靜定梁的加載過程可分為4個(gè)階段，分別是彈性階段,固支端附近塑性變形區(qū)擴(kuò)展階段,固支端保持為塑性鉸而固支端附近塑性變形區(qū)卸載階段,固支端保持為塑性鉸而梁中部出現(xiàn)塑性變形區(qū)并擴(kuò)展直至中部某點(diǎn)形成塑性鉸階段.在彈性的第1階段，彎矩內(nèi)力、撓度與外荷載是線性比例關(guān)系.出現(xiàn)塑性變形后，彎矩內(nèi)力、撓度與外荷載不再是簡單的比例關(guān)系.在第2階段，彎矩內(nèi)力、撓度與外荷載是復(fù)雜的非線性關(guān)系.在第3階段，彎矩、撓度與外荷載是線性關(guān)系但不是比例關(guān)系.在第4階段，彎矩與外荷載的關(guān)系與第3階段相同，但撓度與外荷載是更復(fù)雜的非線性關(guān)系.本文給出了彈塑性全過程任意點(diǎn)的彎矩和撓度計(jì)算公式，可供結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)者參考和應(yīng)用.

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The Analysis of Entire Elastic-plastic Process of a Beam with One Degree of Indeterminacy under Uniformly-distributed Load

LUO Yun-kuo1,2, LI Hui-zhi1

(1.SchoolofCivilEngineering,ZhengzhouUniversity,Zhengzhou450002,China;2.KaifengTongdaHighwayEngineeringCo.Ltd.,Kaifeng475003,China)

The analysis of the entire elastic-plastic deformation process of a beam with one degree of indeterminacy under uniformly-distributed load was made. Based on the deformation feature, the up-loading process was divided into the following four stages : 1) the elastic stage, 2) the stage that beam region near the fixed end in plastic propagation state, 3) the stage that the fixed end as a plastic hinge while the plastic region near the end unloaded, and 4) the stage that the fixed end as a plastic hinge while the plastic region near the mid-point developing until the second plastic hinge occurring in the middle. In the first stage, the relationship between moment and load was proportional, so was that between deflection and the load. In the second stage, the relationship between moment and the load was complicated and nonlinear, so was that between deflection and the load. In the third stage, the relationship between moment and the load was linear but not proportion, so was that between deflection and the load. In the fourth stage, the relationship between moment and the load was the same as that in last stage, while the relationship between deflection and the load was much complicated and nonlinear. The formulae of moment and deflection of arbitrary point at each stage were derived. The formulas can be applied to engineering structure design.

statically indeterminate beam; elastic-plastic; plastic hinge; uniformly-distributed load; deflection

2014-11-16

羅運(yùn)闊(1974-),男，河南開封人，學(xué)士,主要從事土木工程研究，E-mail:luoyunkuo@163.com；通訊作者:李會(huì)知(1965-),男，河南永城人，教授，博士,主要從事結(jié)構(gòu)分析研究，E-mail:lhz6380@zzu.edu.cn.

TU323.3

A

1671-6841(2015)01-0119-06

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.01.026